Fonction inverse

En mathématiques, la fonction inverse est la fonction qui à tout réel $x$ non nul associe son inverse, noté ${\frac {1}{x}}$. Elle se note de la manière suivante :

Fonction inverse

Courbe représentative de la fonction $x\mapsto {\frac {1}{x}}$.

Notation	${\frac {1}{x}}$
Réciproque	${\frac {1}{x}}$
Dérivée	$-{\frac {1}{x^{2}}}$
Primitives	$\ln \vert x\vert +C$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	$\mathbb {R} ^{*}$
Ensemble image	$\mathbb {R} ^{*}$
Parité	impaire

Valeurs particulières

Limite en +∞	0
Limite en −∞	0

Particularités

Asymptotes	$x=0$ $y=0$
Points fixes	−1 ; 1

$f:{\begin{cases}\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*}\\x\mapsto f(x)=\displaystyle {\dfrac {1}{x}}.\end{cases}}$

Variations

Cette fonction est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty ,0[$ des réels strictement négatifs, puis strictement décroissante sur l'intervalle $]0,+\infty [$ des réels strictement positifs, avec 0 comme « valeur interdite » (pôle). Mais elle n'est pas strictement décroissante sur $\mathbb {R} ^{*}$ car si $a<0<b$, on conserve l'inégalité ${\frac {1}{a}}<0<{\frac {1}{b}}$.

La fonction inverse ne s'annule pas et n'admet pas de maximum ou minimum sur $\mathbb {R} ^{*}$, ni même sur $]-\infty ,0[$ ou sur $]0,+\infty [$.

Elle a pour limite 0 en $+\infty$ et en $-\infty$. Cette fonction permet donc de modéliser un certain nombre de comportements qui décroissent mais qui présentent une « borne inférieure » (les fonctions ne tendent pas vers $-\infty$), comme la gravitation et la force électrostatique qui sont en ${\frac {1}{r^{2}}}$.

En 0, sa limite à gauche vaut $-\infty$ et à droite, $+\infty$.

Représentation graphique

Graphe de la fonction inverse y = 1/x

La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole.

L'hyperbole d'équation $y={\frac {1}{x}}$ admet deux asymptotes : une horizontale (l'axe des abscisses, d'équation $y=0$) et une verticale (l'axe des ordonnées, d'équation $x=0$). Ces deux asymptotes étant (dans un repère orthonormal) perpendiculaires, l'hyperbole est dite équilatère (son excentricité vaut ${\sqrt {2}}$).

On remarque d'autre part que le centre de symétrie de cette hyperbole est le point $(0,0)$, ce qui traduit le fait que la fonction inverse est une fonction impaire.

On remarque enfin que cette hyperbole ($H$) possède deux axes de symétrie dont la droite d'équation $y=x$. En effet le point $(x,y)$ appartient à ($H$) si et seulement si le point $(y,x)$ appartient à ($H$) ($y={\frac {1}{x}}$ équivaut à $x={\frac {1}{y}}$. Cette propriété graphique permet de remarquer que la fonction inverse est une involution, c'est-à-dire une bijection qui est sa propre réciproque : $f\circ f=\mathrm {id} _{\mathbb {R} ^{*}}$. Ou bien encore, pour tout réel $x$ non nul, l'inverse de l'inverse de $x$ est égal à $x$.

Continuité de la fonction inverse

La fonction inverse est continue (sur ℝ*).

Dérivée de la fonction inverse

La fonction inverse est même dérivable ; sa dérivée est la fonction $f'$ définie par :

$f':{\begin{cases}\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*}\\x\mapsto f'(x)=\displaystyle -{\dfrac {1}{x^{2}}}.\end{cases}}$

Démonstration

Soit $x$ un réel non nul arbitraire. Pour tout réel $h$ tel que $0<|h|<|x|$, on a :

${\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {1}{h}}\left({\dfrac {1}{x+h}}-{\dfrac {1}{x}}\right)={\frac {1}{h}}\left({\dfrac {x-(x+h)}{x(x+h)}}\right)={\dfrac {-1}{x(x+h)}}$

donc $\lim _{h\to 0}{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\dfrac {-1}{x^{2}}}$, c'est-à-dire : $f'(x)=-{\dfrac {1}{x^{2}}}$.

Graphe de la fonction inverse inverse y = 1/x et de sa tangente en 1.

Par exemple, la dérivée de $y={\dfrac {1}{x}}$ au point d'abscisse 1 vaut $-{\dfrac {1}{1^{2}}}=-1$ donc la pente de la tangente à la courbe de la fonction inverse au point de coordonnées $(1,1)$ vaut –1.

La fonction inverse est concave sur l'intervalle $]-\infty ,0[$ et convexe sur $]0,+\infty [$.

Primitives de la fonction inverse

Le logarithme naturel, ou logarithme népérien, noté $\ln$, est défini dans l'article détaillé comme la fonction de $]0,\infty [$ dans $\mathbb {R}$ dont la dérivée est la fonction inverse, et dont la valeur en 1 est 0. Les primitives sur $]0,+\infty [$ de la fonction inverse sont donc les fonctions de la forme $x\mapsto (\ln x)+C$, où $C$ est une constante réelle arbitraire.

Fonction inverse abstraite

On peut définir de manière générale une fonction inverse $f$ dans un groupe $(G,\times )$ par

$\forall x\in G\quad f(x)=x^{-1}.$

L'inverse permet donc d'étendre aux exposants entiers négatifs la notion de puissance d'un nombre (ou d'un élément d'un groupe) en posant, pour tout entier $n$ positif : $x^{-n}=(x^{n})^{-1}$.

Extension à d'autres groupes

Plan complexe

La fonction inverse peut donc être étendue sur le plan complexe privé de l'origine par :

${\begin{aligned}f:&\ \mathbb {C} ^{*}&\to &\ \mathbb {C} ^{*}\\\ &\ z=x+\mathrm {i} y&\mapsto &\ {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-\mathrm {i} y}{x^{2}+y^{2}}}.\end{aligned}}$

Quaternions

La fonction inverse peut donc être définie pour tout quaternion non nul (au moins une des quatre composantes $x,y,z,w$ est non nulle) :

${\begin{aligned}f:&\ \mathbb {H} ^{*}&\to &\ \mathbb {H} ^{*}\\\ &\ q=x+yi+zj+wk&\mapsto &\ q^{-1}={\frac {x-yi-zj-wk}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}}.\end{aligned}}$

Voir aussi

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Multiplicative Inverse », sur MathWorld