Intégrale de Riemann

construction classique de l'intégrale d'une fonction réglée de la variable réelle

En mathématiques et plus particulièrement en analyse réelle, l'intégrale de Riemann est une façon de définir l'intégrale, sur un segment, d'une fonction réelle. En termes géométriques, cette intégrale s'interprète comme l'aire du domaine sous la courbe représentative de la fonction, comptée algébriquement.

Interprétation géométrique de l'intégrale de la fonction f.

Le procédé général utilisé pour définir l'intégrale de Riemann est l'approximation par des fonctions en escalier, pour lesquelles la définition de l'aire sous la courbe est aisée. Les fonctions, définies sur un segment, pour lesquelles cette définition est possible sont dites intégrables au sens de Riemann (ou Riemann-intégrables). C'est le cas notamment des fonctions monotones ou continues par morceaux, ou même seulement réglées.

La notion d'intégrale établie par Bernhard Riemann se base sur ce que l'on appelle aujourd'hui les sommes de Riemann[1],[2]. Le mathématicien Gaston Darboux a ultérieurement défini une notion d'intégrale, quant à elle, basée sur les sommes de Darboux (ou de manière équivalente sur les fonctions en escalier)[2],[3]. Il s'avère que ces deux approches donnent exactement la même notion d'intégrale.

Définition

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Aire sous une courbe approchée par une suite de rectangles.

Soit   un segment inclus dans  . Une subdivision de ce segment est la donnée d'une suite finie de points   telle que  . Une subdivision marquée est la donnée d'une telle subdivision et d'une suite associée   telle que   pour tout  . Le pas d'une subdivision est la distance maximale entre deux   consécutifs, c'est-à-dire,  . On note   l'ensemble des subdivisions marquées de   dont le pas est inférieur ou égal à  .

La définition originelle par Riemann de son intégrale utilisait les sommes de Riemann :

Définition (Intégrale de Riemann) — Soit une fonction  . On dit que cette fonction est Riemann-intégrable si la limite des sommes de Riemann

 

converge. Dans ce cas, la limite est appelée l'intégrale (au sens de Riemann) de la fonction   sur   et est notée

 .

Précisons le sens de la limite évoquée dans la définition. Dire qu'une fonction   est intégrable d'intégrale   (au sens de Riemann) c'est dire que, pour tout réel  , il existe un réel   tel que pour toute subdivision marquée   de pas inférieur ou égal à   on a

 Une approche équivalente à celle de Riemann présentée ci-dessus passe par l'intégrale de Darboux. La définition donnée par Riemann est équivalente à celle de Darboux même si cela n'est pas immédiat et nécessite une preuve. L'approche de Darboux pour définir l'intégrale de Riemann est préférée à celle originellement effectuée par ce dernier dans de nombreux ouvrages d'introduction à l'analyse.

Propriétés

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Toute fonction Riemann-intégrable est bornée[4].

Théorème (bornes) — Soit   une fonction. Si   est Riemann-intégrable alors elle est bornée. De plus on a

 .

À noter que, dans le formalisme de Darboux, les fonctions sont supposées être bornées dès le début afin de garantir l'existence des sommes de Darboux. Cette hypothèse n'est pas nécessaire avec le formalisme de Riemann. Puisque ces deux approches sont équivalentes, il fallait donc bien que l'intégrabilité au sens de Riemann implique l'existence de bornes finies.

Restrictions

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L'intégrale de Riemann se comporte bien vis-à-vis de la restriction d'une fonction : si une fonction est Riemann-intégrable sur un segment, alors elle l'est encore sur tout segment inclus[5].

Théorème (restriction) — Soit   une fonction. Si   est Riemann-intégrable sur   alors pour tout  , sa restriction sur   est Riemann-intégrable.

Réciproquement, si une fonction est bornée et intégrable sur tout segment strictement inclus, alors elle est intégrable sur le segment entier[6].

Théorème (restriction réciproque) — Soit   une fonction. Si   est bornée et pour tout  , sa restriction sur   est Riemann-intégrable alors   est Riemann-intégrable sur  .

La première propriété est pratique car permet de considérer les intégrales restreintes   pour tout   et toute fonction   Riemann-intégrable. Cela permet de justifier l'existence des intégrales mentionnées dans la relation de Chasles. Cela permet aussi de justifier l'existence de la fonction  pour une fonction   Riemann-intégrable.

Relation de Chasles

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La relation de Chasles permet de découper une intégrale en plusieurs morceaux. Cela peut s'avérer utile dans l'étude d'une intégrale en autorisant à observer l'intégrale sur plusieurs parties plus petites sur lesquelles l'analyse est simplifiée.

Théorème (relation de Chasles) — Soit   une fonction Riemann-intégrable. Pour tout   :

 .

Un simple raisonnement par récurrence implique que la relation de Chasles peut être répétée plusieurs fois si l'on décompose le segment en une subdivision. Plus précisément, si   est Riemann-intégrable et si   est une subdivision de   alors 

Linéarité et stabilité

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Une propriété clef de l'intégrale est sa linéarité.

Théorème (linéarité) — Soit   deux fonctions Riemann-intégrables et   deux réels. Alors la fonction   est Riemann-intégrable et

 .

L'intégrabilité au sens de Riemann est donc stable par combinaison linéaire. Elle est aussi stable par produit : le produit de deux fonctions Riemann-intégrables est Riemann-intégrable.

Théorème (stabilité par produit) — Soit   deux fonctions Riemann-intégrables. Alors la fonction   est Riemann-intégrable.

Bien que le produit soit intégrable, il est faux de dire que l'intégrale du produit est égal au produit des intégrales. Par exemple si l'on prend   et   alors ces deux fonctions sont intégrables sur   mais 

Un produit de fonction peut être intégrable sans qu'aucun membre du produit ne le soit. Par exemple, en prenant   l'indicatrice des rationnels et  , on a que ni  , ni   ne sont intégrables sur  , pourtant leur produit, qui vaut 0, est bien intégrable sur ce segment.

La stabilité par produit est spécifique à l'intégrale de Riemann sur un segment. Cette propriété n'est en général pas vérifiée pour l'intégrale de Riemann généralisée à un intervalle quelconque. Elle ne l'est pas non plus pour l'intégrale de Lebesgue. Par exemple si l'on prend   sur   alors ces fonctions sont intégrables sur   au sens des intégrales généralisées de Riemann et aussi au sens des intégrales de Lebesgue, cependant leur produit ne l'est pas.

La Riemann-intégrabilité est aussi stable par composition avec une fonction continue.

Théorème (stabilité par composition) — Soit   une fonction Riemann-intégrable et   une fonction continue. Alors la fonction   est Riemann-intégrable sur  .

Positivité, croissance et Inégalité triangulaire

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L'intégrale de Riemann est positive dans le sens où l'intégrale d'une fonction Riemann-intégrable positive est positive. De manière plus générale, l'intégrale de Riemann est croissante, c'est-à-dire :

Théorème (croissance) — Soit   deux fonctions Riemann-intégrables telles que  . Alors

 .

La positivité vient simplement en utilisant la croissance avec   et en constatant que l'intégrale de la fonction nulle est nulle par linéarité.


L'inégalité du théorème suivant peut s'apparenter à l'inégalité triangulaire pour l'intégrale de Riemann. En effet, par une simple récurrence, l'inégalité triangulaire classique implique que pour une somme finie de nombres réels on a  En passant de la somme à l'intégrale (qui s'interprète comme une sorte de somme infinie) on obtient alors le théorème suivant :

Théorème (inégalité triangulaire) — Soit   une fonction. Alors   est Riemann-intégrable si et seulement si   l'est aussi. Dans ce cas on a l'inégalité

 .

Ce théorème s'obtient en appliquant la propriété de croissance, en observant que   et  .

Le fait que l'intégrabilité de   équivaille à celle de   reste vrai, par définition, pour les intégrales généralisées de Riemann à un intervalle quelconque et pour l'intégrale de Lebesgue. En revanche dire que l'intégrale impropre de Riemann de   existe et est finie n'implique pas forcément que   est intégrable sur un intervalle non fermé. Un exemple connu est la fonction   qui admet une intégrale impropre de Riemann finie sur   mais n'y est pas intégrable. Pour l'intégrale de Lebesgue, l'intégrabilité équivaut encore à l'existence d'une intégrale finie.

Théorèmes de convergence

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L'intégrale d'une limite uniforme est la limite des intégrales. Plus précisément

Théorème de convergence uniforme — Pour tout  , soit   une fonction Riemann-intégrable et soit  . Supposons que   converge uniformément vers  , c'est-à-dire que

 .

Alors   est Riemann-intégrable et

 .

Encore une fois, cette propriété est spécifique à l'intégrale de Riemann sur un segment. Elle devient fausse en général sur un intervalle quelconque lorsque l'on considère l'intégrale de Riemann généralisée ou encore l'intégrale de Lebesgue. Par exemple les fonctions    sont bien intégrables sur   pour tout entier   et convergent uniformément vers  . Cependant cette dernière n'est pas intégrable sur   (ni au sens de Riemann généralisé, ni au sens de Lebesgue). Le théorème suivant peut s'apparenter au théorème de convergence dominée (TCD) pour l'intégrale de Lebesgue. Seule la notion de convergence simple est requise (ce qui est plus faible que la notion de convergence uniforme). Il faut cependant ajouter une condition de domination pour obtenir la convergence des intégrales. La différence avec le TCD est que la limite est ici supposée Riemann-intégrable alors qu'elle n'a pas besoin d'être supposée Lebesgue-intégrable dans le TCD[7].

Théorème de convergence simple — Pour tout  , soit   une fonction Riemann-intégrable et soit   Riemann-intégrable. Supposons que   converge simplement vers  , c'est-à-dire que

 .

Supposons de plus qu'il existe   tel que

 .

Alors on a la convergence des intégrales :

 .

Pour toute intégrale de la forme   avec   :

  • Si  , alors :  
  • Si  , alors :  

Fonctions en escalier et fonctions réglées

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Une fonction en escalier sur un segment   est une fonction   telle qu'il existe une subdivision   de ce segment telle que   est constante, sur chaque sous-intervalle   de la subdivision. Pour une telle fonction on a 

  correspond à la valeur prise par   sur  .


En particulier, une fonction constante pouvant être vue comme une fonction en escalier d'une seule marche, on a 

Une manière de définir l'intégrale de Darboux, qui est équivalente à l'intégrale de Riemann, est de passer par les fonctions en escalier pour lesquelles on définit l'intégrale avec la formule ci-dessus. Cette formule peut donc être vue comme une définition ou une propriété en fonction du formalisme choisi.

Comme le stipule le théorème de convergence uniforme, toute limite, pour la norme uniforme, d'une suite de fonction Riemann-intégrable sur un segment   est Riemann-intégrable. Les fonctions réglées, constituant exactement toutes les limites uniformes possibles de suites de fonctions en escaliers, sont donc toutes Riemann-intégrables. En particulier, toute fonction continue ou juste continue par morceaux sur   (ou même seulement bornée et continue sauf en un nombre fini de points) est Riemann-intégrable, ainsi que toute fonction monotone (ou même seulement monotone par morceaux).

Théorèmes fondamentaux de l'analyse

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Soit   une fonction Riemann-intégrable. On définit la fonction 

De manière générale la fonction   est continue, elle est même lipschitzienne[8].

Théorème (lipschitzianité de F) — Si   alors   est  -lipschitzienne et donc continue sur  .

Il est faux en général de dire que   est dérivable partout, en revanche elle l'est en tout point de continuité de  . Cela aboutit au premier théorème fondamental de l'analyse.

1er théorème fondamental de l'analyse — Si   est continue en un point   alors   est dérivable en   et

 .

Si   est continue sur   alors   est une primitive de  . Si   est réglée, alors son ensemble de discontinuité est au plus dénombrable et donc   est une primitive généralisée de  . De manière générale, puisque   est Riemann-intégrable, son ensemble de discontinuité est négligeable pour la mesure de Lebesgue et donc   est dérivable sur un ensemble de complémentaire négligeable. Le deuxième théorème fondamental de l'analyse donne une manière efficace de calculer l'intégrale d'une fonction dès lors que l'on connaît l'une de ses primitives.

2e théorème fondamental de l'analyse — Si   est une primitive de   sur   alors

 .

Théorèmes de la moyenne

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Les deux théorèmes classiques suivants sont dus au mathématicien français Pierre-Ossian Bonnet[9],[10].

1er théorème de la moyenne — Soit   une fonction continue et   une fonction Riemann-intégrable de signe constant. Alors il existe   tel que

 .

2e théorème de la moyenne — Soit   une fonction positive décroissante et   une fonction Riemann-intégrable. Alors il existe   tel que

 

  désigne la limite à droite de   en  .

Intégration par parties

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Le théorème suivant est un outil indispensable de calcul d'intégrales.

Théorème (intégration par parties) — Si   et   sont deux fonctions de classe   sur le segment   alors

 .

Changement de variable

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Le théorème suivant est aussi un outil incontournable de calcul d'intégrales.

Théorème (changement de variable) — Soit   un intervalle,   une fonction dérivable de dérivée Riemann-intégrable et   une fonction continue. Alors

 .

Structure

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Plusieurs des propriétés ci-dessus (à savoir : linéarité, stabilité par produit, positivité et théorème de convergence uniforme) peuvent être synthétisées par le théorèmes suivant.

Théorème (algèbre de Banach) — L'ensemble des fonctions intégrables sur   forme une  -algèbre de Banach (pour la norme de la convergence uniforme), sur laquelle l'application   est une forme linéaire positive (donc continue).

Il est fréquent de doter l'espace des fonctions continues sur un segment d'un produit scalaire associé à l'intégrale.

Théorème (espace hilbertien) — L'ensemble des fonctions continues sur   muni du produit scalaire

 

forme un espace de Hilbert.

Il est nécessaire de considérer l'ensemble des fonctions continues et pas seulement des fonctions Riemann-intégrables pour que la fonction   soit définie (c'est-à-dire  ). En effet on a le résultat suivant

Théorème (intégrale nulle) — Soit   une fonction continue positive telle que

 .

Alors  .

Sans l'hypothèse de continuité, cela devient faux. Par exemple la fonction qui vaut 1 en 0 et 0 partout ailleurs est positive et intégrable sur n'importe quel segment et son intégrale y est nulle. Cependant cette fonction n'est pas constamment nulle.

Généralisations

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Fonctions à valeurs dans ℂ ou ℂn

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On peut généraliser la notion d'intégrale de Riemann à une fonction   à valeurs complexes en posant

 

  désigne la partie réelle de   et   sa partie imaginaire. La condition pour que cette intégrale existe est que les parties réelles et imaginaires de   soient toutes deux Riemann-intégrables.

De la même manière on peut généraliser la notion d'intégrale de Riemann à une fonction   à valeurs dans   en posant

 

La plupart des propriétés de l'intégrale de Riemann pour des fonctions à valeurs réelles restent, mutatis mutandis, valables pour ces généralisations.

Intégrales impropres

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On peut généraliser la notion d'intégrale de Riemann en intégrant, non plus sur un segment, mais plutôt sur un intervalle réel quelconque.

Intégrale de Lebesgue

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Une autre manière de généraliser l'intégrale de Riemann est de considérer un procédé d'intégration plus fort, par exemple celui de Lebesgue. D'une part, la notion d'intégrale de Lebesgue est plus forte dans le sens où elle ne se restreint pas qu'à des fonctions définies sur un segment réel. D'autre part, même en se restreignant aux fonctions définies sur un segment, l'intégrale de Lebesgue reste plus générale comme l'atteste le théorème suivant[11],[12].

Théorème (Riemann   Lebesgue) — Soit  . Si   est Riemann-intégrable alors elle est mesurable (pour la tribu borélienne), elle est Lebesgue-intégrable et son intégrale au sens de Riemann est égale à celle au sens de Lebesgue.

La réciproque est fausse. Par exemple la fonction indicatrice des rationnels sur le segment   est bornée et Lebesgue-intégrable (son intégrale au sens de Lebesgue valant 0). Pourtant elle n'est pas Riemann-intégrable. L'intégrale de Lebesgue est donc strictement plus forte que celle de Riemann sur un segment réel. En revanche, sur un intervalle quelconque, il ne faut pas croire que l'intégrale de Lebesgue est plus générale que l'intégrale impropre de Riemann. Par exemple la fonction   ne possède pas d'intégrale au sens de Lebesgue sur   mais y possède une intégrale impropre de Riemann convergente. Le théorème suivant donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit Riemann-intégrable[13].

Théorème (critère de Lebesgue)[14] — Soit   une fonction bornée. Alors   est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité a une mesure de Lebesgue nulle.

L'ensemble des discontinuités peut être de mesure nulle sans être fini ou dénombrable, comme pour la fonction caractéristique de l'ensemble de Cantor, qui n'est donc pas réglée[15]. On remarque que la mesure de Lebesgue de l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction existe toujours car ce dernier est toujours un borélien[16].

Théorème (discontinuités = borélien) — Soit   une fonction quelconque. Alors l'ensemble des points de discontinuité de   est un ensemble borélien, c'est-à-dire qu'il appartient à la tribu borélienne de  .

Comparaison avec d'autres procédés d'intégration

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Un autre aspect de l'intégrale de Riemann est qu'elle ne concerne dans un premier temps que les fonctions bornées, sur un intervalle borné. Il faut une deuxième définition si l'une de ces conditions n'est pas vérifiée : voir Intégrale impropre. Dans le cadre de l'intégration au sens de Lebesgue il n'y a qu'une seule définition et par exemple   est une intégrale de Lebesgue au sens strict tandis que comme intégrale de Riemann elle est une intégrale impropre. De même pour  . Cependant les intégrales au sens de Lebesgue sont toujours automatiquement absolument convergentes. Ainsi, l'intégrale   n'est ni une intégrale de Riemann au sens propre, ni une intégrale de Lebesgue, mais elle est une intégrale généralisée de Riemann (ou de Lebesgue), et sa valeur est π/2. En désignant par   la somme de   et de la fonction indicatrice des rationnels positifs on voit que   donne un exemple d'une intégrale de Lebesgue généralisée qui n'existe pas en tant qu'intégrale de Riemann. Sa valeur est encore π/2. On obtient un procédé d'intégration plus général et plus satisfaisant, notamment vis-à-vis du passage à la limite, en introduisant l'intégrale de Lebesgue ou celle de Kurzweil-Henstock.

Une différence importante entre l'intégrale de Riemann et celle de Lebesgue est que dans cette dernière, on y remplace les fonctions en escalier par les fonctions étagées qui sont des combinaisons linéaires finies de fonctions indicatrices d'ensembles qui ne sont pas nécessairement des intervalles. La longueur de l'intervalle est remplacée par la mesure de l'ensemble.

Notes et références

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  1. L'intégrale de Riemann a été introduite dans l'article de Bernard Riemann « Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe » (Sur la représentabilité d'une fonction par une série trigonométrique). Riemann a présenté ce travail à l'université de Göttingen en 1854 comme mémoire d'habilitation. Il a été publié en 1868 dans les Actes de la Société royale des sciences de Göttingen, vol. 13, p. 87-132, aperçu sur Google Livres. Pour la définition par Riemann de son intégrale, voir la section 4, « Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit » (Sur le concept d'une intégrale définie et le domaine de sa validité), p. 101-103. Une traduction du mémoire de Riemann a été présentée par Richard Dedekind : B. Riemann, « Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique », Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, t. 5,‎ , p. 20-48 (lire en ligne).
  2. a et b Jean-François Burnol, « Notes d'un cours de DEUG à l'université de Lille reproduisant le texte de Riemann ».
  3. G. Darboux, « Mémoire sur les fonctions discontinues », dans Ann. Sci. E.N.S., vol. 4, 1875, p. 57-112.
  4. Presque tous les ouvrages ne définissent l'intégrabilité et l'intégrale de Riemann que pour des fonctions a priori bornées, mais toute fonction qui est intégrable au sens (de Riemann ou de Darboux) donné ici est nécessairement bornée : cf. (en) John Srdjan Petrovic, Advanced Calculus: Theory and Practice, CRC Press, (lire en ligne), p. 149-150 ou (en) Pete L. Clark, « Honors Calculus », , p. 152-176, en particulier l'exercice 4.1 p. 171.
  5. Ramis, Warusfel et al. 2014, p. 553 (prop. 7).
  6. Ramis, Warusfel et al. 2014, p. 562 (prop. 20).
  7. Jean-François Burnol, « Le Théorème de la convergence dominée pour les fonctions Riemann-intégrables », .
  8. Ramis, Warusfel et al. 2014, p. 601 (prop. 85).
  9. « Formules de la moyenne », sur bibmath.net.
  10. Hervé Le Ferrand, « Autour de la seconde formule de la moyenne : un article de Paul Mansion paru dans la revue Mathesis en 1885 », Bibnum [En ligne], Mathématiques,‎
  11. « Intégration », sur editions-ellipses.fr.
  12. (en) « Riemann Integrable implies Lebesgue Integrable », sur math.stackexchange.com.
  13. (en) « Folland 2.28 questions about equivalence between Riemann and Lebesgue », sur math.stackexchange.com.
  14. Henri-Léon Lebesgue, « Leçons sur l'intégration et la recherche de solutions primitives », sur gallica.bnf.fr, , p. 29.
  15. Cet exemple « pathologique » se généralise : tout ensemble Fσ (c'est-à-dire toute réunion d'une suite de fermés) de [a, b] est l'ensemble des points de discontinuité d'une certaine application bornée de [a, b] dans ℝ.
  16. (en) « A set of discontinuity points for a function is a borel set », sur math.stackexchange.com.

Articles connexes

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  NODES
Note 5