La formule-type est la suivante, où
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
dérivables , de dérivées continues et a et b deux réels de leur intervalle de définition :
∫
a
b
u
(
x
)
v
′
(
x
)
d
x
=
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
a
b
−
∫
a
b
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
=
u
(
b
)
v
(
b
)
−
u
(
a
)
v
(
a
)
−
∫
a
b
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}}
ou encore, puisque
u
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle u'(x)\,\mathrm {d} x}
v
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle v'(x)\,\mathrm {d} x}
différentielles de
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
∫
a
b
u
d
v
=
[
u
v
]
a
b
−
∫
a
b
v
d
u
{\displaystyle \int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u}
Démonstration
La démonstration du théorème découle directement de la règle du produit :
(
u
v
)
′
=
u
′
v
+
u
v
′
{\displaystyle (uv)'=u'v+uv'}
On a donc
u
v
′
=
(
u
v
)
′
−
u
′
v
{\displaystyle uv'=(uv)'-u'v}
puis
∫
a
b
u
(
x
)
v
′
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
(
u
v
)
′
(
x
)
d
x
−
∫
a
b
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)~\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}(uv)'(x)~\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)~\mathrm {d} x}
ce qui, d'après le second théorème fondamental de l'analyse , donne l'égalité annoncée.
Soit deux fonctions dérivables u et v . La règle de la dérivation d'un produit nous donne :
d
(
u
v
)
d
x
=
u
d
v
d
x
+
v
d
u
d
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (uv)}{\mathrm {d} x}}=u{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}+v{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}}
En passant aux différentielles , on obtient :
d
(
u
v
)
=
u
d
v
+
v
d
u
{\displaystyle \mathrm {d} (uv)=u\mathrm {d} v+v\mathrm {d} u}
On réarrange ensuite l'expression de la façon suivante :
u
d
v
=
d
(
u
v
)
−
v
d
u
{\displaystyle u\mathrm {d} v=\mathrm {d} (uv)-v\mathrm {d} u}
Il suffit maintenant d'intégrer l'équation :
∫
a
b
u
d
v
=
∫
a
b
d
(
u
v
)
−
∫
a
b
v
d
u
{\displaystyle \int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=\int _{a}^{b}\mathrm {d} (uv)-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u}
On obtient alors :
∫
a
b
u
d
v
=
[
u
v
]
a
b
−
∫
a
b
v
d
u
{\displaystyle \int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u}
Dans un cas discret où les fonctions sont remplacées par des séries, il s'agit de sommation par parties .
L'un des deux choix possibles pour les fonctions
u
{\displaystyle u}
v
′
{\displaystyle v'}
I
=
∫
1
2
x
ln
x
d
x
{\displaystyle I=\int _{1}^{2}x\ln x\,\mathrm {d} x}
Si l'on choisit
u
=
ln
{\displaystyle u=\ln }
v
′
(
x
)
=
x
{\displaystyle v'(x)=x}
u
′
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle u'(x)={\frac {1}{x}}}
v
(
x
)
=
x
2
2
{\displaystyle v(x)={\frac {x^{2}}{2}}}
I
=
∫
1
2
x
ln
x
d
x
=
[
x
2
2
ln
x
]
1
2
−
1
2
∫
1
2
x
d
x
=
[
x
2
2
ln
x
]
1
2
−
1
2
[
x
2
2
]
1
2
{\displaystyle I=\int _{1}^{2}x\ln x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln x\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln x\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{1}^{2}}
En revanche, si l'on choisit
u
(
x
)
=
x
{\displaystyle u(x)=x}
v
′
(
x
)
=
ln
{\displaystyle v'(x)=\ln }
u
′
(
x
)
=
1
{\displaystyle u'(x)=1}
v
(
x
)
=
x
ln
x
−
x
{\displaystyle v(x)=x\ln x-x}
I
=
∫
1
2
x
ln
x
d
x
=
[
x
(
x
ln
x
−
x
)
]
1
2
−
∫
1
2
(
x
ln
x
−
x
)
d
x
{\displaystyle I=\int _{1}^{2}x\ln x\,\mathrm {d} x=\left[x(x\ln x-x)\right]_{1}^{2}-\int _{1}^{2}(x\ln x-x)\,\mathrm {d} x}
On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale, elle s'y ramène cependant puisque
∫
1
2
(
x
ln
x
−
x
)
d
x
=
I
−
3
/
2
{\displaystyle \int _{1}^{2}(x\ln x-x)\,\mathrm {d} x=I-3/2}
Effectuons le calcul de
∫
0
π
3
x
cos
x
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos x\,\mathrm {d} x}
u (x ) = x u' = 1v' = cosv = sinc.-à-d. à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires). Il vient :
∫
0
π
3
x
cos
x
d
x
=
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
0
π
3
−
∫
0
π
3
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
=
[
x
sin
x
]
0
π
3
−
∫
0
π
3
sin
(
x
)
d
x
=
π
3
6
+
[
cos
x
]
0
π
3
=
π
3
6
−
1
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos x\,\mathrm {d} x&=\left[u(x)v(x)\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x\\&=\left[x\sin x\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\sin(x)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}+\left[\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}-{\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}
Il s'agit de la méthode classique[ 1] primitive du logarithme naturel :
∫
e
x
ln
t
d
t
=
x
ln
x
−
x
{\displaystyle \int _{\mathrm {e} }^{x}\ln t\,\mathrm {d} t=x\ln x-x}
Une intégration par parties sur une intégrale impropre permet d'établir l'équation fonctionnelle de la fonction gamma .
Une double intégration par parties (l'intégrale obtenue par l'application de la formule se calcule elle aussi par une nouvelle intégration par parties) permet par exemple de montrer[ 1]
∫
e
x
sin
x
d
x
=
e
x
(
sin
x
−
cos
x
)
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {e} ^{x}\sin x\,\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {e} ^{x}\left(\sin x-\cos x\right)}{2}}+C}
∫
e
x
cos
x
d
x
=
e
x
(
sin
x
+
cos
x
)
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {e} ^{x}\cos x\,\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {e} ^{x}\left(\sin x+\cos x\right)}{2}}+C}
C est une constante d'intégration.
modifier
Cette méthode également nommée « DI method » en anglais consiste à tracer un tableau avec trois colonnes, une colonne de signes + et - alternés, une colonne D et une colonne I, avec dans la colonne D des dérivations successives et dans la colonne I des intégrations successives. Cette méthode se base sur l'intégration par parties, et est surtout utile lorsqu'il s'agit de réaliser des intégrations par parties successives. Elle est présentée dans le livre[ 2] [ 3] [ 4]
Les produits s'effectuent suivant une diagonale. Ainsi, pour intégrer
x
↦
x
3
cos
x
{\displaystyle x\mapsto x^{3}\cos x}
Étapes
+/-
Dérivées (D)
Primitives (I)
Produits
0
x
3
{\displaystyle x^{3}}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
1
−
3
x
2
{\displaystyle 3x^{2}}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
x
3
sin
(
x
)
{\displaystyle x^{3}\sin(x)}
2
+
6
x
{\displaystyle 6x}
−
cos
x
{\displaystyle -\cos x}
+
3
x
2
cos
(
x
)
{\displaystyle +3x^{2}\cos(x)}
3
−
6
{\displaystyle 6}
−
sin
x
{\displaystyle -\sin x}
−
6
x
sin
(
x
)
{\displaystyle -6x\sin(x)}
4
+
0
{\displaystyle 0}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
−
6
cos
(
x
)
{\displaystyle -6\cos(x)}
∫
x
3
cos
x
d
x
=
x
3
sin
(
x
)
+
3
x
2
cos
(
x
)
−
6
x
sin
(
x
)
−
6
cos
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int x^{3}\cos x\,\mathrm {d} x=x^{3}\sin(x)+3x^{2}\cos(x)-6x\sin(x)-6\cos(x)+C}
Étapes
+/-
Dérivées
Primitives
Produits
0
e
2
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{2x}}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
1
−
2
e
2
x
{\displaystyle \mathrm {2} e^{2x}}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
e
2
x
sin
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {e} ^{2x}\sin(x)}
2
+
4
e
2
x
{\displaystyle \mathrm {4} e^{2x}}
−
cos
x
{\displaystyle -\cos x}
+
2
e
2
x
cos
(
x
)
{\displaystyle +\mathrm {2} e^{2x}\cos(x)}
(ça boucle)
∫
e
2
x
cos
x
d
x
=
e
2
x
sin
(
x
)
+
2
e
2
x
cos
(
x
)
+
∫
−
4
e
2
x
cos
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \mathrm {e} ^{2x}\cos x\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{2x}\sin(x)+\mathrm {2} e^{2x}\cos(x)+\int -\mathrm {4} e^{2x}\cos(x)\,\mathrm {d} x}
5
∫
e
2
x
cos
x
d
x
=
e
2
x
sin
(
x
)
+
2
e
2
x
cos
(
x
)
+
C
{\displaystyle 5\int \mathrm {e} ^{2x}\cos x\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{2x}\sin(x)+\mathrm {2} e^{2x}\cos(x)+C}
On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C1 par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable).
Plus généralement, si u et v sont n fois différentiables et si leurs dérivées n -ièmes sont réglées , on dispose de la « formule d'intégration par parties d'ordre n » [ 5]
∫
a
b
u
(
x
)
v
(
n
)
(
x
)
d
x
=
[
∑
k
=
0
n
−
1
(
−
1
)
k
u
(
k
)
v
(
n
−
k
−
1
)
]
a
b
+
(
−
1
)
n
∫
a
b
u
(
n
)
(
x
)
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v^{(n)}(x)\,\mathrm {d} x=\left[\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-k-1)}\right]_{a}^{b}+(-1)^{n}\int _{a}^{b}u^{(n)}(x)v(x)\,\mathrm {d} x}
Si, sur [a , b ] , u est absolument continue et g est intégrable , alors
∫
a
b
u
g
=
[
u
v
]
a
b
−
∫
a
b
u
′
v
{\displaystyle \int _{a}^{b}ug=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'v}
pour toute fonction v telle que
∀
x
∈
[
a
,
b
]
v
(
x
)
=
v
(
a
)
+
∫
a
x
g
{\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad v(x)=v(a)+\int _{a}^{x}g}
La démonstration[ 6] presque partout et en utilisant l'absolue continuité de v et uv .
L'intégration par parties peut être étendue aux fonctions de plusieurs variables en appliquant une version appropriée du théorème fondamentale de l'analyse (par exemple une conséquence du théorème de Stokes comme le théorème du gradient ou le théorème de la divergence ) à une opération généralisant la règle de dérivation d'un produit .
Il existe donc de nombreuses versions d'intégrations par parties concernant les fonctions à plusieurs variables, pouvant faire intervenir des fonctions à valeurs scalaires ou bien des fonctions à valeurs vectorielles .
Certaines de ces intégrations par parties sont appelées identités de Green .
Un exemple faisant intervenir la divergence
modifier
Par exemple, si u est à valeurs scalaires et V à valeurs vectorielles et toutes deux sont régulières , on a la règle de la divergence d'un produit
div
(
u
V
)
=
u
div
V
+
grad
u
⋅
V
.
{\displaystyle \operatorname {div} (u\,\mathbf {V} )=u\,\operatorname {div} \mathbf {V} +\operatorname {grad} u\cdot \mathbf {V} .}
Soit
Ω
{\displaystyle \Omega }
ouvert de
R
d
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
borné et dont la frontière
Γ
=
∂
Ω
{\displaystyle \Gamma =\partial \Omega }
lisse par morceaux . Appliquer le théorème de la divergence donne:
∫
Γ
u
V
⋅
n
d
Γ
=
∫
Ω
div
(
u
V
)
d
Ω
=
∫
Ω
u
div
V
d
Ω
+
∫
Ω
grad
u
⋅
V
d
Ω
{\displaystyle \int _{\Gamma }u\,\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} \Gamma =\int _{\Omega }\operatorname {div} (u\,\mathbf {V} )\,\mathrm {d} \Omega =\int _{\Omega }u\,\operatorname {div} \mathbf {V} \,\mathrm {d} \Omega +\int _{\Omega }\operatorname {grad} u\cdot \mathbf {V} \,\mathrm {d} \Omega }
où n est la normale sortante unitaire à
Γ
{\displaystyle \Gamma }
∫
Ω
u
div
(
V
)
d
Ω
=
∫
Γ
u
V
⋅
n
d
Γ
−
∫
Ω
grad
(
u
)
⋅
V
d
Ω
{\displaystyle \int _{\Omega }u\,\operatorname {div} (\mathbf {V} )\,\mathrm {d} \Omega =\int _{\Gamma }u\,\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} \Gamma -\int _{\Omega }\operatorname {grad} (u)\cdot \mathbf {V} \,\mathrm {d} \Omega }
On peut donner des hypothèses plus faibles: la frontière peut être seulement lipschitzienne et les fonctions u et V appartenir aux espaces de Sobolev
H
1
(
Ω
)
{\displaystyle H^{1}(\Omega )}
H
1
(
Ω
)
d
{\displaystyle H^{1}(\Omega )^{d}}
Soit
(
e
1
,
e
2
,
…
,
e
d
)
{\displaystyle \left(e_{1},e_{2},\ldots ,e_{d}\right)}
base canonique de
R
d
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
u i et v e i où u et v sont des fonctions scalaires régulières, on obtient une nouvelle formule d'intégration par parties
∫
Ω
u
∂
v
∂
x
i
d
Ω
=
∫
Γ
u
v
n
i
d
Γ
−
∫
Ω
∂
u
∂
x
i
v
d
Ω
{\displaystyle \int _{\Omega }u\,{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} \Omega =\int _{\Gamma }u\,v\,n_{i}\,\mathrm {d} \Gamma -\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\,v\,\mathrm {d} \Omega }
où n = (n 1 ,....,n d ).
Considérons maintenant un champ de vecteurs régulier
U
=
u
1
e
1
+
⋯
+
u
n
e
n
{\displaystyle \mathbf {U} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +u_{n}\mathbf {e} _{n}}
En appliquant la formule d'intégration par parties ci-dessus à u i et v e i et en sommant sur i , on obtient encore une nouvelle formule d'intégration par parties
∫
Ω
U
⋅
grad
v
d
Ω
=
∫
Γ
v
U
⋅
n
d
Γ
−
∫
Ω
v
div
U
d
Ω
{\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {U} \cdot \operatorname {grad} v\,\mathrm {d} \Omega =\int _{\Gamma }v\,\mathbf {U} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} \Gamma -\int _{\Omega }v\,\operatorname {div} \mathbf {U} \,\mathrm {d} \Omega }
La formule correspondante au cas où U dérive d'un potentiel u régulier:
U
=
grad
u
{\displaystyle \mathbf {U} =\operatorname {grad} u}
est appelée première identité de Green :
∫
Ω
grad
u
⋅
grad
v
d
Ω
=
∫
Γ
v
grad
u
⋅
n
d
Γ
−
∫
Ω
v
Δ
u
d
Ω
{\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {grad} u\cdot \operatorname {grad} v\,\mathrm {d} \Omega =\int _{\Gamma }v\,\operatorname {grad} u\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} \Gamma -\int _{\Omega }v\,\Delta u\,\mathrm {d} \Omega }
↑ a et b Voir les exemples de la leçon « Intégration par parties » sur Wikiversité .
↑ Thomas, G. B.; Finney, R. L. (1988). Calculus and Analytic Geometry (7th ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. (ISBN 0-201-17069-8 .
↑ Horowitz, David (1990). https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/Horowitz307-311.pdf (PDF). The College Mathematics Journal. 21 (4): 307–311. doi:10.2307/2686368
↑ Cette méthode est illustrée en vidéo sur la chaîne YouTube nommée blackpenredpen : Integration by parts, DI method, VERY EASY et une présentation plus détaillée se trouve sur la version anglophone de Wikipédia :en:Integration by parts#Tabular integration by parts
↑ N. Bourbaki , Fonctions d'une variable réelle 1re éd. 1949) (lire en ligne ) no 5.↑ (en) Stanisław Hartman (de) Jan Mikusiński , The Theory of Lebesgue Measure and Integration , Pergamon , 1961 (lire en ligne ) , p. 103
Sur les autres projets Wikimedia :
J.-C. Michel, « L'intégration par parties gecif.net
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2749a28228f3ab485f192b5caa5b299a6ace5ecd)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dca4070771533ce1cc32a6506c458bcbb4d7840)
![{\displaystyle I=\int _{1}^{2}x\ln x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln x\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln x\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6fb074895e79b4a7c471bc0c4eafcccee00955d)
![{\displaystyle I=\int _{1}^{2}x\ln x\,\mathrm {d} x=\left[x(x\ln x-x)\right]_{1}^{2}-\int _{1}^{2}(x\ln x-x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d086479c001c14a6b673ed5bdf1c17c3f159d4cb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos x\,\mathrm {d} x&=\left[u(x)v(x)\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x\\&=\left[x\sin x\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\sin(x)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}+\left[\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}-{\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d5fc3cd4270eb7ea9ca8496c795bb9452fb568)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v^{(n)}(x)\,\mathrm {d} x=\left[\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-k-1)}\right]_{a}^{b}+(-1)^{n}\int _{a}^{b}u^{(n)}(x)v(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343110bf4aa1a90381d0b326e163f23e39e7ea6d)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}ug=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e7faf995d714a1b4f42617a81cbf38a8220877)
![{\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad v(x)=v(a)+\int _{a}^{x}g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b623317222e3361d41b647ba0a54dc0d1a5a3e4)
