Problème d'empilage de blocs

En statique (et en mathématiques récréatives), le problème d'empilage de blocs (aussi le problème d'empilage de livres, ou d'autres dénominations similaires) est une devinette concernant l'empilage possible de blocs sur le bord d'une table. Au lieu d'empilements de blocs, on rencontre aussi des étalements de cartes à jeux.

Les huit premiers blocs de la solution du problème d'empilement de blocs de même largeur, avec surplombs indiqués.

Description

Le problème d'empilement de blocs est le puzzle suivant :

Comment poser $N$ blocs rectangulaires et rigides sur le bord d'une table de manière à maximiser le surplomb.

Historique

Un empilement de pièces de monnaie ; la pièce du haut est entièrement hors de la région au-dessus de la pièce la plus basse.

Le problème d'empilement de blocs a une longue histoire, à la fois en mécanique et comme problème de récréation mathématique. Dans leurs articles , Paterson et ses coauteurs fournissent une longue liste de références sur ce problème qui est traité dans des écrits de mécanique remontant jusqu'au milieu du XIX^e siècle. Il fait aussi partie sous une autre forme des récréations mathématiques étudiées par Martin Gardner par exemple.

Variantes

Empilage simple

Dans le modèle à empilage simple (single-wide problem), il y a un seul bloc à chaque niveau. Quand les blocs sont tous identiques et rectangulaires, le surplomb maximal $d_{N}$ pour $N$ blocs est

$d_{N}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{i}}={\frac {1}{2}}H_{N}$.

C'est la moitié de la somme partielle de la série harmonique. Les premiers termes sont :

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$d_{N}$	1/2	3/4	11/12	25/24	137/120	49/40	363/280	761/560	7129/5040

Ces nombres forment les suites  A001008 et  A002805 de l'OEIS. Comme la série harmonique diverge, le surplomb maximum tend vers l'infini avec $N$, ce qui signifie que l'on peut réaliser des surplombs arbitrairement grands à condition d'empiler un nombre suffisant de blocs. Asymptotiquement, le surplomb maximal est

${\frac {1}{2}}\ln \,N$.

Empilage multiple

Comparaison de l’empilement simple (en haut) et de l'empilement multiple (en bas) avec 3 blocs.

Empilage surplombant maximal avec 20 blocs identiques.

Lorsque l'on utilise plusieurs blocs à chaque niveau le contrepoids intervient pour permettre de réaliser des surplombs plus grands. Déjà avec trois blocs, deux blocs au dessus du premier niveau peuvent se contrebalancer et donnent un surplomb de 1, alors que dans le cas simple, le surplomb est au plus 11/12. Paterson et Zwick, puis Paterson, Peres, Winkler et Zwick ont montré le surplomb maximal que l'on peut atteindre est asymptotiquement

$c{\sqrt[{3}]{N}}$

ce qui contraste avec le cas simple où le surplomb est proportionnel au logarithme du nombre de blocs. Pour des petits nombres de blocs, il existe des solutions plus optimales.

Robustesse

Hall 2005 étudie le problème de l'empilement en tenant compte de contraintes physiques, telles la robustesse des matériaux, les coins éventuellement arrondis, la précision du placement des blocs, et introduit certaines variantes comme des forces de frottement non nulles entre des blocs adjacents.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « block-stacking problem » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• John F. Hall, « Fun with stacking blocks », American Journal of Physics, vol. 73, n^o 12,‎ 2005, p. 1107-1116 (DOI 10.1119/1.2074007).
• Mike Paterson et Uri Zwick, « Overhang », Amer. Math. Monthly, vol. 116, n^o 1,‎ 2009, p. 19-44 (MR 2011b:68182, arXiv 0710.2357, lire en ligne) — Une première version est parue dans « Overhang », Proceedings of the 17th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA’06), Philadelphie, Society for Industrial and Applied Mathematics,‎ 2006, p. 231-240.
• Mike Paterson, Yuval Peres, Peter Winkler et Uri Zwick, « Maximum overhang », Amer. Math. Monthly, vol. 116, n^o 9,‎ 2009, p. 763-787 (MR 2011b:68183, arXiv 0707.0093, lire en ligne).
• (en) Martin Gardner, Martin Gardner’s Sixth Book of Mathematical Games from "Scientific American", W.H. Freeman & Co Ltd, janvier 1971, 6^e éd., 262 p. (ISBN 978-0-7167-0944-2).

Lien externe

• (en) Eric W. Weisstein, « Book Stacking Problem », sur MathWorld