Séparatrice

En mathématiques, une séparatrice est la frontière séparant deux modes de comportement des solutions d'une équation différentielle.

Exemples

Pendule simple

Soit l'équation différentielle décrivant le mouvement d'un pendule simple :

${d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0.$

où $\ell$ désigne la longueur du pendule, $g$ l'accélération de pesanteur et $\theta$ l'angle entre le pendule et et la verticale. Dans ce système, la quantité H donnée par l'équation ci-dessous, appelée hamiltonien, est conservée :

$H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta .$

Ceci posé, on peut tracer une courbe à H constant dans l'espace des phases du système. L'espace des phases est représenté par un graphique avec $\theta$ le long de l'axe horizontal et ${\dot {\theta }}$ sur l’axe vertical (schéma à droite). Le type de courbe résultante dépend de la valeur de H .

L'espace des phases pour le pendule simple. La séparatrice (en rouge) sépare les trajectoires oscillantes du pendule (à l'intérieur), de celles qui correspondent à des rotations complètes autour du point d'attache (à l'extérieur).

• Si $H<-{\frac {g}{\ell }}$ alors aucune courbe n'existe (car ${\dot {\theta }}$ est alors imaginaire).
• Si $-{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}$ alors la courbe sera une courbe simple fermée, presque circulaire pour H petit, et prend la forme d'un « œil » lorsque H s'approche de la limite supérieure. Ces courbes correspondent au balancement périodique du pendule d’un côté à l’autre.
• Si ${\frac {g}{\ell }}<H$ alors la courbe est ouverte, et cela correspond au pendule décrivant un cercle complet autour de son point d'attache.

Dans ce système la séparatrice est la courbe qui correspond à $H={\frac {g}{\ell }}$. Elle sépare — d'où son nom — l'espace des phases en deux zones distinctes, chacune avec un type de mouvement différent. La région à l'intérieur de la séparatrice présente toutes les courbes d'espace de phase qui correspondent au pendule oscillant d'avant en arrière, tandis que la région à l'extérieur de la séparatrice présente toutes les courbes d'espace de phase qui correspondent au pendule décrivant des cercles complets autour de son point d'attache.

Liens externes

• Séparatrice de MathWorld.