Somme directe

En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe désigne des ensembles munis de certaines structures, souvent construits à partir du produit cartésien d'autres ensembles du même type, et vérifiant la propriété universelle de la somme (ou « coproduit ») au sens des catégories.

Somme directe interne de sous-espaces vectoriels

Somme directe de deux sous-espaces vectoriels

Soient F₁ et F₂ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E. On dit que F₁ et F₂ sont en somme directe si, pour tout élément u de la somme F₁ + F₂, il existe un unique couple (u₁, u₂) de F₁×F₂ tel que u = u₁ + u₂. En d'autres termes, F₁ et F₂ sont en somme directe si la décomposition de tout élément de F₁ + F₂ en somme d'un élément de F₁ et d'un élément de F₂ est unique.

On dit aussi dans ce cas que la somme F₁ + F₂ est directe, et on la note alors F₁ ⊕ F₂.

F₁ et F₂ sont en somme directe si et seulement s'ils vérifient l'une des propriétés équivalentes suivantes, où 0 désigne le vecteur nul de E :

• pour tout u₁ de F₁ et u₂ de F₂, u₁ + u₂ = 0 ⇒ u₁ = u₂ = 0 ;
• F₁∩F₂ = {0} ;
• il existe une base de F₁ et une base de F₂ qui, mises bout à bout, forment une base de F₁ + F₂ ;
• n'importe quelles bases de F₁ et de F₂, mises bout à bout, forment une base de F₁ + F₂.

Cas de la dimension finie : lorsque F₁ et F₂ sont de dimensions finies, la somme F₁ + F₂ est directe si et seulement si dim(F₁) + dim(F₂) = dim(F₁ + F₂).

Sous-espaces supplémentaires : deux sous-espaces F₁ et F₂ de E sont dits supplémentaires lorsque E = F₁ ⊕ F₂. Cela signifie que pour tout élément u de E, il existe un unique couple (u₁, u₂) de F₁×F₂ tel que u = u₁ + u₂.

Somme directe d'une famille de sous-espaces vectoriels

On peut généraliser la notion de somme directe à une famille quelconque (F_i)_i∈I de sous-espaces vectoriels de E (indexée par un ensemble I fini ou infini). On dit que cette famille est en somme directe si tout vecteur u de la somme ∑_i∈I F_i se décompose de façon unique sous la forme u = ∑_i∈I u_i avec u_i ∈ F_i presque tous nuls (c.-à-d. tous sauf un nombre fini). En d'autres termes, la famille est en somme directe si la décomposition de tout élément u de ∑_i∈I F_i en somme d'éléments des F_i est unique.

On dit aussi dans ce cas que la somme ∑_i∈I F_i est directe, et on la note alors ⊕_i∈I F_i.

Comme dans le cas de deux sous-espaces vectoriels, la famille (F_i)_i∈I est en somme directe si et seulement si elle vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

• si 0 = ∑_i∈I u_i avec u_i ∈ F_i (presque tous nuls), alors tous les u_i sont nuls ;
• il existe des bases des F_i (une pour chacun) qui, mises bout à bout, forment une base de ∑_i∈I F_i ;
• n'importe quelles bases des F_i (une pour chacun), mises bout à bout, forment une base de ∑_i∈I F_i.

Lorsque les F_i sont en somme directe on a donc, quelles que soient leurs dimensions (finies ou infinies) : dim(⊕_i∈I F_i) = ∑_i∈I dim(F_i).

Exemple : soient f un endomorphisme de E et pour chacune de ses valeurs propres λ, soit E_λ = ker(f – λid_E) le sous-espace propre associé. Alors les E_λ sont en somme directe, et si cette somme est égale à E, on dit que f est diagonalisable. Lorsque c'est le cas, on constitue une base de E de vecteurs propres pour f en concaténant une base de chacun des E_λ.

Il résulte des caractérisations équivalentes ci-dessus qu'une famille finie (F₁, … , F_n) est en somme directe si et seulement si chacun des sous-espaces est en somme directe avec la somme des précédents, c.-à-d. : $\ \forall k\in \left\{1,...,n-1\right\},\ \left(\sum _{i=1}^{k}F_{i}\right)\cap F_{k+1}=\left\{0\right\}.$

Si F₁, … , F_n sont de dimensions finies, on en déduit que (comme pour n = 2) leur somme est directe si et seulement si $\sum _{i=1}^{n}\dim F_{i}=\dim \left(\sum _{i=1}^{n}F_{i}\right).$

Remarque : la propriété d'être en somme directe est évidemment préservée par sous-familles.

Par exemple, si (F_i)_i∈I est en somme directe, alors chaque sous-famille de deux des F_i l'est, autrement dit : pour tous i et j distincts, F_i∩F_j = {0}.

La réciproque est fausse : par exemple trois droites vectorielles coplanaires ne sont jamais en somme directe, alors que deux quelconques d'entre elles le sont dès qu'elles sont distinctes.

Somme directe orthogonale

Dans un espace préhilbertien (réel ou complexe), toute famille de sous-espaces deux à deux orthogonaux (par exemple : un sous-espace F et son orthogonal F^⊥) est en somme directe. Une telle somme est appelée « somme directe orthogonale (de) ». Si l'espace préhilbertien est euclidien ou hermitien, c'est-à-dire de dimension finie, une famille de sous-espaces est en somme directe orthogonale si et seulement si, en concaténant une base orthonormée de chaque sous-espace, on constitue une base orthonormée de leur somme.

L'orthogonal F^⊥ de F, lorsqu'il lui est supplémentaire, est appelé son supplémentaire orthogonal. Une condition suffisante pour cela est que F soit complet (ce qui est réalisé en particulier s'il est de dimension finie). Cette question est liée à la possibilité d'effectuer une projection orthogonale.

Somme directe externe

Définition

Soit (E_i)_i∈I une famille d'anneaux, ou de modules sur un même anneau (par exemple des groupes abéliens ou des espaces vectoriels sur un même corps). On construit sa « somme directe externe » (ou simplement « somme directe »), notée (⊕_i∈I E_i, (ϕ_i)_i∈I), de la façon suivante :

• dans son produit direct ∏_i∈I E_i, qui est alors une structure algébrique de même type, les familles (u_i)_i∈I à support fini (c'est-à-dire dont les u_i sont presque tous nuls) forment une sous-structure, notée ⊕_i∈I E_i. (Lorsque I est fini, on a donc ⊕_i∈I E_i = ∏_i∈I E_i.)
• pour chaque indice i, le morphisme canonique ϕ_i : E_i → ⊕_j∈I E_j est défini par : pour tout x_i ∈ E_i, ϕ_i(x_i) est la famille dont la i-ème composante est x_i et les autres composantes sont nulles.

Propriété universelle

La somme directe externe est une somme au sens des catégories, c'est-à-dire que (pour des modules, par exemple) :

Soient A un anneau, (E_i)_i∈I une famille de A-modules et (⊕_i∈I E_i, (ϕ_i)_i∈I) sa somme directe externe.

Alors, pour toute famille (f_i : E_i → F)_i∈I d'applications linéaires à valeurs dans un même A-module F, il existe une unique application A-linéaire f : ⊕_i∈I E_i → F telle que pour tout indice i, f ∘ ϕ_i = f_i.

Démonstration

Par analyse-synthèse :

• Supposons qu'un tel $f$ existe. Soit $x=(x_{i})_{i\in I}\in \bigoplus _{i\in I}E_{i}$ ; par A-linéarité, on a :$f(x)=f\left(\sum _{i\in I}\phi _{i}(x_{i})\right)=\sum _{i\in I}f(\phi _{i}(x_{i}))=\sum _{i\in I}f_{i}(x_{i})$(où les sommes sont en fait finies), ce qui assure l'unicité de $f$.
• Posons donc${\begin{matrix}f:&\bigoplus _{i\in I}E_{i}&\to &F\\&(x_{i})_{i\in I}&\mapsto &\sum _{i\in I}f_{i}(x_{i})~;\end{matrix}}$ les $f_{i}$ étant linéaires, $f$ est linéaire.
  Soit $x_{i}\in E_{i}$, on a (δ_ik désignant le symbole de Kronecker) :$f\circ \phi _{i}(x_{i})=f((x_{i}\delta _{ik})_{k\in I})=\sum _{k\in I}f_{k}(x_{i}\delta _{ik})=f_{i}(x_{i})~;$ ainsi nous avons bien $f\circ \phi _{i}=f_{i}$, donc $f$ existe bien.

Liens avec la somme directe interne

La somme directe externe définie ici et la somme directe « interne » définie plus haut ont une appellation et une notation communes. Cela est justifié par les liens suivants.

• Chaque E_i se « plonge » dans la somme directe externe ⊕_j∈I E_j, par le morphisme canonique ϕ_i (injectif).
  L'image de E_i dans ⊕_j∈I E_j est un sous-module F_i isomorphe à E_i. Ces F_i sont en somme directe etla somme directe externe ⊕_i∈I E_i est égale à la somme directe « interne » ⊕_i∈I F_i(donc pour des espaces vectoriels, dim(⊕_i∈I E_i) = dim(⊕_i∈I F_i) = ∑_i∈I dim(F_i) = ∑_i∈I dim(E_i)).
• On peut, avec la notion de somme directe externe, redéfinir celle de somme directe « interne » : une famille (F_i)_i∈I de sous-modules de E est en somme directe si et seulement si le morphisme somme — qui résulte de la propriété universelle ci-dessous et va de la somme directe externe F = ⊕_i∈I F_i dans E, associant à toute famille sa somme — est injectif (autrement dit : réalise un isomorphisme de F sur ∑_i∈I F_i).

Somme directe hilbertienne

Une notion utilisée en physique (voir « Espace de Fock ») est celle de « somme directe hilbertienne » d'espaces de Hilbert. Pour toute famille $(H_{i})_{i\in I}$ d'espaces de Hilbert, cette somme $\bigoplus _{i\in I}H_{i}$ (dans la catégorie des espaces de Hilbert) existe. On peut la réaliser de deux manières :

• en complétant l'espace préhilbertien que constitue leur somme directe externe algébrique vue plus haut (si $I$ est fini, cette somme algébrique est déjà complète) ;
• plus directement, en considérant, dans l'espace vectoriel produit $\prod _{i\in I}H_{i}$, le sous-espace vectoriel $H$ constitué des familles $h=(h_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}H_{i}$ telles que $\sum _{i\in I}\|h_{i}\|^{2}$ soit sommable — ce qui implique que $h_{i}=0$ sauf pour un ensemble au plus dénombrable d'indices $i$ — et en munissant $H$ de la norme préhilbertienne définie par $\|h\|^{2}:=\sum _{i\in I}\|h_{i}\|^{2}$. On vérifie que $H$ est complet pour cette norme, qui dérive du produit scalaire défini par : $\forall h,h'\in H\quad \langle h\mid h'\rangle :=\sum _{i\in I}\langle h_{i}\mid h'_{i}\rangle$ (somme d'une série absolument convergente, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz).

Chaque $H_{i}$ est isomorphe (au sens des espaces de Hilbert, donc par une isométrie linéaire) à un sous-espace fermé de $\bigoplus _{j\in I}H_{j}$, via l'injection canonique $H_{i}\rightarrow \bigoplus _{j\in I}H_{j}$, et $\bigoplus _{j\in I}H_{j}$ est la somme directe orthogonale de tous ces sous-espaces.

Dans le cas particulier où chaque $H_{i}$ est de dimension 1, $\bigoplus _{i\in I}H_{i}$ est isomorphe à l'espace ℓ²(I).

En théorie des catégories : le paradigme des catégories linéaires

La somme directe est la somme (ou coproduit) dans la catégorie des espaces vectoriels sur un corps fixé ; c'est-à-dire, naïvement, que la somme directe consiste à « rassembler » deux espaces vectoriels en un troisième, en limitant leur « télescopage » au strict minimum, à savoir le vecteur nul (de la même façon que la réunion disjointe d'ensembles consiste à rassembler leurs éléments respectifs dans un nouvel ensemble, en évitant de télescoper des éléments identiques s'ils proviennent d'ensembles distincts).

Or, la particularité de ce coproduit est qu'il est isomorphe au produit^{[Information douteuse]}, ce qui n'est pas le cas dans toutes les catégories. Par exemple, dans la catégorie des ensembles, non seulement le produit (à savoir le produit cartésien) n'est pas isomorphe au coproduit qu'est la réunion disjointe, mais le produit est distributif sur le coproduit, de même qu'en arithmétique élémentaire le produit est distributif sur la somme.

Observant que les catégories présentent généralement l'un ou l'autre aspect — mutuellement exclusifs — William Lawvere propose d'appeler catégories distributives (en) celles dans lesquelles le produit est distributif sur le coproduit (qui, dans ce contexte, peut légitimement prendre le nom de somme), et « catégories linéaires » celles dans lesquelles, comme en algèbre linéaire, le produit et le coproduit sont isomorphes^{[Information douteuse]}.