Anneau de Cohen-Macaulay

En algèbre commutative, un anneau de Cohen-Macaulay est un anneau noethérien qui n'est pas nécessairement régulier, mais dont la profondeur est égale à sa dimension de Krull. Une singularité de Cohen-Macaulay est une singularité dont l'anneau local est un anneau de Cohen-Macaulay. Les anneaux portent le nom d'Irvin Cohen et Francis Macaulay.

Dans la hiérarchie des anneaux, on a les inclusions suivantes :

Anneau universellement caténaire $\supset$ anneau de Cohen-Macaulay $\supset$ anneau de Gorenstein $\supset$ anneau d'intersection complète $\supset$ anneau local régulier.

Définitions

Suite régulière

Soit $M$ un module sur un anneau $R$ ; un élément $a\in R$ est dit régulier si $a\cdot x=0$ pour un $x\in M$ implique $x=0$ .

Une suite $(a_{1},\dotsc ,a_{n})$ d'éléments $R$ est appelée suite $M$- régulière si les conditions suivantes sont remplies :

• $M\neq (a_{1},\dotsc ,a_{n})M$ ;
• Pour $i<m$ l'image de $a_{i+1}$ dans $M/(a_{1},\dotsc ,a_{i})M$ n'est pas un diviseur de zéro.

Profondeur d'un module

Soit $M$ un module sur un anneau $R$ ; la profondeur $\mathrm {prof} (M)$ de $M$ est la longueur maximale d'une suite $M$-régulière d'éléments de $R$ .

Dimension d'un module

La dimension $\dim(M)$ d'un module $M$ sur un anneau $R$ est la dimension de Krull de $R/\mathrm {Ann} (M)$, où $\mathrm {Ann} (M)$ est l'annulateur de $M$.

Pour un module $M$ de type fini sur un anneau noethérien, on a :

$\dim(M)=\max\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Ass} (M)\}=\max\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Supp} (M)\}$

où $\operatorname {Ass} (M)$ désigne l'ensemble des à idéaux premiers associés à $M$, et $\operatorname {Supp} (M)$ le support du module.

Pour un module de type fini $M$ sur un anneau local noethérien $R$ on a l'inégalité :

$\operatorname {prof} (M_{m})\leq \min\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Ass} (M)\}\leq \dim(M)$.

Cohen-Macaulay

Un module de type fini $M$ sur un anneau noethérien $R$ est appelé un module de Cohen-Macaulay si pour tous les idéaux maximaux $m$ de $R$ on a :

$\mathrm {prof} (M_{m})=\dim(M_{m})$.

$R$ est un anneau de Cohen-Macaulay si $R$ en tant que module, est un module de Cohen-Macaulay.

Exemples d'anneaux de Cohen-Macaulay

• La localisation d'un anneau de Cohen-Macaulay.
• Un anneau noethérien de dimension 0 ou, de manière équivalente, un anneau artinien.
• Un anneau noethérien de dimension 1 réduit.
• Un anneau noethérien de dimension 2 normal.
• Un anneau noethérien régulier, comme les entiers $\mathbb {Z}$, ou l'anneau des polynômes $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ sur un corps $K$, ou un anneau de séries formelles $K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$
• Un anneau de Gorenstein.
• L'anneau des invariants $R^{G}$, où $R$ est un anneau de Cohen-Macaulay sur un corps de caractéristique 0 et $G$ est un groupe fini ou plus généralement un groupe algébrique linéaire dont la composante identité est un groupe réductif. C'est le théorème de Hochster-Roberts (en).
• Un anneau de Cohen-Macaulay est un anneau caténaire.
• Un anneau déterminant (« determinantal ring » en anglais). Soit $R$ le quotient d'un anneau local régulier $S$ par l'idéal $I$ engendré par les mineurs de taille $r\times r$ des matrices $p\times q$ à éléments dans $S$. Si la codimension (ou hauteur) de $I$ est égale à la codimension $(p-r+1)(q-r+1)$, alors $R$ est appelé un anneau déterminant. Dans ce cas, $R$ est un anneau de Cohen-Macaulay De même, les anneaux de coordonnées des variétés déterminantes sont des anneaux de Cohen-Macaulay.
• Anneaux de polynômes :

1. L'anneau $K[x]/(x^{2})$ est de dimension 0 et donc est de Cohen–Macaulay, mais il n'est pas réduit et donc n'est pas régulier.
2. Le sous-anneau $K[t^{2},t^{3}]$ de l'anneau de polynômes $K[t]$, ou sa localisation ou sa complétion en $t=0$, est un domaine de dimension 1 qui est Gorenstein et donc Cohen–Macaulay, mais il n'est pas régulier. Cet anneau peut auss être vu comme l'anneau des coordonnées de la courbe cubique $y^{2}=x^{3}$ sur $K$.
3. Le sous-anneau $K[t^{3},t^{4},t^{5}]$ de l'anneau des polynômes $K[t]$, ou sa localisation ou complétion en $t=0$, est un domaine de dimension 1 qui est Cohen–Macaulay mais n'est pas Gorenstein.

• Les singularités rationnelles sur un corps de caractéristique zéro sont des singularités de Cohen-Macaulay.
• Les variétés toriques sur n'importe quel corps sont des variétés de Cohen-Macaulay. Le programme du modèle minimal fait un usage important des variétés avec des singularités de type klt (pour Kawamata log terminal) ; en caractéristique zéro, ce sont des singularités rationnelles et donc des singularités de Cohen-Macaulay. Un analogue des singularités rationnelles en caractéristique positive est la notion de 'F-singularité rationnelle ; là encore, de telles singularités sont des singularités de Cohen-Macaulay.
• Soit $X$ une variété projective de dimension $n\geq 1$ sur un corps, et soit $L$ un faisceau sur $X$. L'anneau de section de $L$

$R=\bigoplus _{j\geq 0}H^{0}(X,L^{j})$

est Cohen-Macaulay si et seulement si le groupe de cohomologie $H^{i}(X,L^{j})$ est nul pour tout $1\leq i\leq n-1$ et tous les entiers j. Il s'ensuit, par exemple, que le cône affine $\operatorname {Spec} R$ sur une variété abélienne $X$ est Cohen-Macaulay lorsque $X$ est de dimension 1, mais pas lorsque $X$ a une dimension d'au moins 2 (car $H^{1}(X,O)$ n'est pas nul).

Exemples géométriques

• Soit $K$ un corps ; la variété algébrique composée de l'axe des X et de l'axe des Y, est décrite par l'anneau de coordonnées $K[x,y]/(x\cdot y)$. Le point d'intersection est décrit par l'anneau

$R=(K[x,y]/(x\cdot y))_{(x,y)}$

C'est une singularité parce que $R$ est unidimensionnel, mais l'idéal maximum de $R$ ne peut être engendré que par deux éléments. D'un autre côté, $R$ est un anneau de Cohen-Macaulay (et même de Gorenstein), puisque l'idéal maximal ne contient pas que des diviseurs de zéro.

• Une singularité plus compliquée est dans l'anneau

$K[x,y]/(x^{2},x\cdot y)$

L'anneau local associé à la singularité

$(K[x,y]/(x^{2},x\cdot y))_{(x,y)}$

n'est pas un anneau de Cohen-Macaulay. Il est unidimensionnel, mais l’idéal maximal n’est constitué que de diviseurs de zéro, il n’y a donc pas de suite régulière.

Bibliographie

• Michael Francis Atiyah et Ian Grant Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley publ, coll. « Addison-Wesley series in mathematics », 1969 (ISBN 978-0-201-00361-1)

• Winfried Bruns et Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay Rings, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (n^o 39), 1993 (ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956)
• Irvin Cohen, « On the structure and ideal theory of complete local rings », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 59, n^o 1,‎ 1946, p. 54–106 (ISSN 0002-9947, DOI 10.2307/1990313 , JSTOR 1990313, MR 0016094)
• (en) « Cohen–Macaulay ring », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, vol. 150, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1995 (ISBN 978-0-387-94268-1, DOI 10.1007/978-1-4612-5350-1, MR 1322960)
• William Fulton, Introduction to Toric Varieties, Princeton University Press, 1993 (ISBN 978-0-691-00049-7, DOI 10.1515/9781400882526, MR 1234037)
• William Fulton, Intersection Theory, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. » (n^o 2), 1998, 2^e éd. (ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323)
• Robin Hartshorne, Algebraic geometry, Springer, coll. « Graduate texts in mathematics », 1977 (ISBN 978-0-387-90244-9)
• János Kollár et Shigefumi Mori, Birational Geometry of Algebraic Varieties, Cambridge University Press, 1998 (ISBN 0-521-63277-3, DOI 10.1017/CBO9780511662560, MR 1658959)
• János Kollár, Singularities of the Minimal Model Program, Cambridge University Press, 2013 (ISBN 978-1-107-03534-8, DOI 10.1017/CBO9781139547895, MR 3057950)

• Ernst Kunz, Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie: mit 185 Übungsaufgaben, Vieweg, coll. « Vieweg-Studium Aufbaukurs Mathematik », 1980 (ISBN 978-3-528-07246-9)

• Francis Sowerby Macaulay, The Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge University Press, 1916 (ISBN 1-4297-0441-1, DOI 10.3792/chmm/1263317740, MR 1281612, lire en ligne)
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 1989 (ISBN 978-0-521-36764-6, MR 0879273)

• Karl Schwede et Kevin Tucker, « A survey of test ideals », dans Progress in Commutative Algebra 2, Berlin, Walter de Gruyter, 2012 (Bibcode 2011arXiv1104.2000S, MR 2932591, arXiv 1104.2000), p. 39–99.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cohen–Macaulay ring » (voir la liste des auteurs).