Géométrie descriptive

La géométrie descriptive fut inventée par le mathématicien français Gaspard Monge. C'est une branche de la géométrie qui définit les méthodes nécessaires à la résolution graphique des problèmes d'intersections et d'ombres entre volumes et surfaces définis de façon géométrique dans l'espace à trois dimensions. Il s'agit, en général, de rechercher la vraie grandeur de cotes, de tracer les courbes d'intersections de solides, de déterminer la nature de courbes (ellipse, parabole, hyperbole), de développer des surfaces (conique, cylindrique, prismatique…) ou encore de dessiner un objet selon un angle de vision donné (rotation, rabattement, changement de plan dans l'espace).

Exemple  de  quatre  représentations  différentes
du  même  objet  3D

Exemples  de  longueurs  et  d’angles  en  vraie  grandeur  dans  certaines  projections,
choisies  à  cet  effet.   Ici  un  cube  et  un  dodécaèdre
de  Platon,   de  même  sphère  circonscrite,   ont  toutes
leurs  arêtes  de  longueur   a    ou    d  = φ a

Utilité

Ces problèmes sont pour une part ceux qui étaient posés dans les métiers de la taille des pierres de la charpente (exemple des escaliers débillardés, etc.), de l'usinage et, plus généralement, des métiers mettant en œuvre les métaux en feuille (tôlerie, carrosserie, dinanderie, chaudronnerie). Notons que dans ce dernier cas, l'application spécifique des principes de la géométrie descriptive prend le nom de « traçage des métaux en feuille » (ou simplement « traçage »). La géométrie descriptive a été théorisée par le mathématicien français Gaspard Monge (1746-1818), mais les méthodes de projection lui étaient antérieures.

Elle consiste donc à représenter un ou plusieurs objets de l'espace à 3 dimensions en un minimum de projections orthogonales pour en lever l'ambiguïté et conserver, pour le problème posé, le maximum de propriétés utiles (conservation d'angles et de longueurs).

Les projections sont toutes orthogonales.  Leurs plans sont choisis en fonction de l’objet à décrire,  ou du problème posé.  Par exemple une projection qui ne déforme pas certains angles peut être intéressante.  Souvent deux projections suffisent,  leur nombre dépasse rarement trois.  Les conventions suivantes facilitent la lecture d’une figure en géométrie descriptive.

• Le plan ou la vue de dessus :  une projection sur un plan horizontal,  se présente en bas de l’ensemble des dessins ;
• En haut,  une projection de la figure sur un plan vertical,  appelée l’élévation frontale ou la vue de face,  correspond à la vue de dessus par des verticales de rappel,  en traits fins parfois rouges ;
• Souvent nommée  XY  en géométrie descriptive,  ou  LT  en traçage,  un éventuel trait horizontal appelé  « ligne de terre » représente l’intersection des plans des précédentes projections,  il sépare alors les deux projections précédentes ;
• Souvent placée à droite des deux vues précédentes,  une autre projection de la figure sur un plan vertical,  qui est perpendiculaire à celui de la vue de face dans le cas d’une vue de profil,  une autre élévation correspond à la première par des horizontales de rappel ;
• Les arêtes visibles sont en traits pleins,  et des pointillés tracent d’autres arêtes,  signifiant qu’elles sont cachées par des objets considérés comme opaques ;
• Des traits fins de couleur bleue peuvent signaler des segments non rapetissés par la projection,  ou “en vraie grandeur”.

Le « dessin géométral », couramment appelé dessin industriel,  met aussi en œuvre la géométrie descriptive,  avec des conventions un peu différentes.

Représentation des points d'intersection d'une droite quelconque avec un cône oblique à base elliptique

Épure réalisée au moyen de deux vues, une vue frontale et une vue horizontale, ces deux vues étant séparées par une ligne de terre (LT), les points d'intersection sont représentés en {G,H}.

Détermination, à l'aide d'une épure de traçage, des points de l'intersection (G et H) d'une droite quelconque et d'un cône.

Explication de l'épure au moyen d'une représentation en perspective :

Représentation des points G et H de l'intersection d'une droite quelconque avec un cône.

Représentation d'une intersection entre deux volumes

Exemple du tracé manuel d'une intersection cône/sphère.

L'intersection de deux volumes (par exemple un perçage débouchant en surface ou bien deux pièces soudées) suit souvent une courbe « complexe ». Le dessin de cette courbe nécessite de repérer les points sur deux projections : le point appartient aux deux volumes, une des vues va donner sa cote, l'autre vue son éloignement.

La construction de cette courbe va se faire « point par point », avec la méthode du plan auxiliaire.

Voir aussi

Articles connexes

• Propriétés métriques des droites et des plans
• Traçage (chaudronnerie)
• Lorsque l'on considère les projections coniques sur deux plans qui ne sont pas perpendiculaires, on peut retrouver les coordonnées d'un point en trois dimensions au moyen de la géométrie épipolaire.

Liens externes

• Adrien Javary, Traité de géométrie descriptive, 1881 (sur Gallica) :
  • Cônes et cylindres, sphère et surfaces du second degré
  • La ligne droite, le plan, les polyèdres