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Bac à sable

Sources lampes / luminaires

Jules Blondin, ≪ Électricité et chemins de fer : Cent ans de progrès ferroviaire par l'électricité ≫ , 1969[1]

Eclairage Public et Maitrise de la Demande en Eletricite, Techniques Ingénieur [2]

Sources intégration, différentielles, etc

Forme différentielle | Forme différentielle de degré un | Différentielle | Différentielle totale | Dérivée extérieure | Intégration (mathématiques) | Intégrale impropre | Intégrale de Riemann | Intégrale de Lebesgue | Intégrale de Gauss | | |

Cours université de Grenoble.

Cours université de Bordeaux

Cours université d'Orsay

Cours université Toulouse

TI

--

Soit le flux $\Phi _{A}$ dans un cône de base formée par une surface $S_{A}$se présentant sous un angle solide $\Omega _{A}$

$\Phi _{A}=\int _{S_{A}}\int _{\Omega _{A}}L(\theta ,\varphi )\,{\vec {\Omega }}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} ^{2}S\,\mathrm {d} ^{2}\Omega =\int _{\Omega _{A}}I(\theta ,\varphi )\mathrm {d} ^{2}\Omega =\int _{\Omega _{A}}\mathrm {d} ^{4}\Phi$

$\Phi _{A}=\int _{\Omega _{A}}I(\theta ,\varphi )\mathrm {d} \Omega _{A}=\int _{\Omega _{A}}\mathrm {d} \Phi$

Je ne résiste toute même pas à vous présenter ma version. En supposant le cas particulier où I = cte sur toute la sphère et qu'on s'intéresse à un cône d'angle au sommet variable (qui passe à travers un diaphragme, par exemple, situé à une distance variable). $\Phi =I\ \Omega =I\ 2\pi \ (1-\cos \alpha )$. Ici $\Psi =2\pi$ et $\Theta =\alpha$ (j'aurais pu prendre une portion du cône pour garder deux variables...). Si on approche le diaphragme, l'angle augmente, l'angle solide augment, le flux augmente. Tous sont des fonctions de la distance. Le flux et l'angle solide sont des fonctions de $\alpha$. Le flux est une fonction de $\Omega$. $\mathrm {d} \Omega =2\pi \ \sin \alpha \ \mathrm {d} \alpha$ est une différentielle. $\mathrm {d} \Phi =I\ \mathrm {d} \Omega =I\ 2\pi \ \sin \alpha \ \mathrm {d} \alpha$ L'intensité est la dérivée du flux par rapport à l'angle solide.

Vecteur normal en un point régulier

Définition

Soit une surface définie par un paramétrage

$\mathrm {M} (\lambda ,\mu )=\left(x(\lambda ,\mu ),y(\lambda ,\mu ),z(\lambda ,\mu )\right)$

avec des fonctions x, y, z de classe C¹. Le point de paramètre (λ, μ) est dit régulier lorsque les vecteurs dérivés partiels en ce point sont indépendants. On peut alors former leur produit vectoriel

$\mathrm {N} (\lambda ,\mu )={\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial \lambda }}(\lambda ,\mu )\wedge {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial \mu }}(\lambda ,\mu )$

qui constitue un vecteur normal à la surface (non nécessairement unitaire).

Element de surface

Surface (physique)

Une surface en physique peut généralement être paramétrée par deux paramètres indépendants u et v. Pour tout point $\mathrm {M} (u,v)$ appartenant à cette surface, le vecteur position ${\overrightarrow {\mathrm {OM} }}$ (où O désigne une origine fixe quelconque) a pour différentielle :

$\mathrm {d\,{\overrightarrow {OM}}} =\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial u}}\right)\mathrm {d} u+\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial v}}\right)\mathrm {d} v$.

Les vecteurs $(\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}/\partial u)$ et $(\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}/\partial v)$, indépendants presque partout, définissent le plan tangent à la surface en M. Une variation élémentaire $(\mathrm {d} u,\mathrm {d} v)$ des deux paramètres forme l'élément de surface (ou surface élémentaire) ${\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}$ (ou simplement ${\overrightarrow {\mathrm {d} S}}$ si l'on na pas besoin de rappeler que deux variables varient indépendamment), vecteur défini par :

${\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}=\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial u}}\right)\wedge \left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$.

Le module d'un vecteur position s'exprimant en mètres (m), celui d'un élément de surface s’exprime en mètres carrés (m²). Sur le plan de sa grandeur d'orientation, la surface élémentaire est un pseudovecteur, donc de dimension L²·1_y.

---

${\overrightarrow {OM}}={\begin{pmatrix}R\cos \phi \sin \theta \\R\sin \phi \sin \theta \\R\cos \theta \end{pmatrix}}\,,\,\,0\leq \phi <2\pi \;,\;\;0\leq \theta <\pi$

${\overrightarrow {OM}}={\begin{pmatrix}R{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos {\phi }\\R{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin {\phi }\\R\mu \end{pmatrix}}\,,\quad \mathrm {d} \Omega =\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \phi$

$\mathrm {d\,{\overrightarrow {OM}}} =\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial \theta }}\right)\mathrm {d} \theta +\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial \phi }}\right)\mathrm {d} \phi$

$\mathrm {d\,{\overrightarrow {OM}}} ={\begin{pmatrix}R\cos \phi \cos \theta \\R\sin \phi \cos \theta \\-R\sin \theta \end{pmatrix}}\mathrm {d} \theta +{\begin{pmatrix}R\sin \phi \sin \theta \\-R\cos \phi \sin \theta \\0\end{pmatrix}}\mathrm {d} \phi$

-------- Calcul intégral ----------

Théorème fondamental de l'analyse

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ $(a,b\in \mathbb {R} )$, la fonction $F:x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$.

Conséquence ː on en déduit que pour toute primitive $F$ de $f$, $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$.

Primitive

Une primitive d'une fonction $f$ d'une variable réelle définie sur un intervalle $I$ est une fonction $F$, définie et dérivable sur $I$, dont la dérivée est $f$, autrement dit :

$\forall x\in I\quad F'(x)=f(x).$

Primitive généralisée

Une primitive généralisée d'une application $f:I\rightarrow E$, où $I$ est un intervalle réel et $E$ un espace vectoriel normé, est une application continue $F:I\rightarrow E$ telle que, sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable, $F'=f$.

Cela signifie que $F'(x)=f(x).$ "presque partout", ou plus précisément sauf pour un ensemble de $x$ fini ou dénombrable. Par exemple, la fonction valeur absolue $|x|$ est une primitive de la fonction "signe de $x$", sauf en $x=0$.

Intégrale définie et indéfinie

« Soit $f(x)$ une fonction bornée intégrale définie dans $(a,b)$ ; la fonction $F(x)=\int _{a}^{x}f(x)\;\mathrm {d} x+K$ est l'intégrale indéfinie de $f(x)$. »

« Comme l'expliquera Lebesgue, le concept de l'intégrale indéfinie, c'est celui d'une fonction de la borne supérieure de sommation dans l'expression qu'on obtient, à partir de l'intégrale définie sur un intervalle, lorsqu'on rend cet intervalle indéterminé en substituant, à la valeur réelle de la coordonnée de son extrémité, une variable x. Par cette substitution, l'expression ordinaire,

$\int _{a}^{b}f(t)\;\mathrm {d} t$,

de l'intégrale définie, devenue

$\int _{a}^{x}f(t)\;\mathrm {d} t$,

ne désigne plus un nombre, mais une fonction généralement exprimée comme fonction de $x$, notée en conséquence $x\rightarrow F(x)$. Le concept qui exprimerait sans doute le mieux la nature véritable des deux intégrales serait celui de fonction d'intervalle, faisant correspondre, à tout intervalle $X$ un nombre réel $F(X)$. D'Archimède à Riemann, les diverses définitions sont fondées sur l'intégrabilité de toute fonction d'intervalle pourvu qu'elle soit additive : c'est le cas, chez Cauchy et chez Riemann, des fonctions dont ils somment les valeurs, c'est à dire, respectivement :

$x\rightarrow (x_{k}-x_{k-1})\,f(x_{k})$, et $x\rightarrow (x_{k}-x_{k-1})\,f(x_{k_{0}})$, $x_{k_{0}}$appartenant à l'intervalle $(x_{k-1},x_{k})$.

L'intégrale indéfinie comme l'intégrale définie sont en fait des opérateurs : ils font correspondre à une fonction respectivement une autre fonction et un nombre. Le concept d'intégrale indéfinie est donc celui d'une relation entre deux fonctions, dont l'une est la dérivée de l'autre : ce caractère d'inversion réciproque, par ses potentialités calculatoires, explique son élection au premier rang par les fondateurs du calcul : ce qui ne va pas sans ambiguïté, notamment chez Leibniz qui met d'autre part en avant une définition sommatoire de l'intégrale. L'intégrale définie est une forme linéaire : d'où sans doute la raison mathématique réelle de l'antériorité logique qu'elle acquiert, définitivement, avec Cauchy. »

Intégrale impropre ou généralisée

Soit $f:[a,b[\to \mathbb {R}$ (où a est réel mais b peut être infini) une fonction continue ou, plus généralement, localement intégrable, c'est-à-dire intégrable sur tout compact de [a, b[. Si la limite

$\lim _{x\to b^{-}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$

existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de f sur [a, b[.

Calcul différentiel

Différentielle

On appelle différentielle d'ordre 1 (est-il nécessaire de préciser ??) d'une fonction en un point $a$ (ou dérivée de cette fonction au point $a$) la partie linéaire de l'accroissement de cette fonction entre $a$ et $a+h$ lorsque $h$ tend vers 0.

Autrement dit, il s'agit de l'approximation linéaire (approximation du premier ordre) de l'accroissement infinitésimal de la fonction au point $a$.

sur $\mathbb {R}$

À partir du développement limité d'ordre 1 ː

$f(a+h)-f(a)=f'(a)\,h+h\,\epsilon (h)$ avec ${\underset {h\rightarrow 0}{\mathrm {lim} }}\ \epsilon (h)=0$ (sur $\mathbb {R}$).

La différentielle de la fonction $f$ au point $a$ est donnée par ː

$\omega _{a}={\underset {h\rightarrow 0}{\mathrm {lim} }}\ f(a+h)-f(a)={\underset {h\rightarrow 0}{\mathrm {lim} }}\ f'(a)\,h$.

(Quand commence-t-on à introduire la notation $\mathrm {d}$ ?)

On étend la notion de différentielle d'une fonction en un point à un ensemble de points $x$ ce qui fait apparaître une fonction notée $\mathrm {d} f$ nommée différentielle ː

$\mathrm {d} f(x)=f(x+\mathrm {d} x)-f(x)=f'(x)\,\mathrm {d} x$, avec $\mathrm {d} x\rightarrow 0$.

Aussi, la dérivée de $f$ peut s'écrire ː $f'(x)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)$.

sur $\mathbb {R} ^{2}$

En utilisant la même approximation, la fonction différentielle d'une fonction $f$ de deux variables s'exprime à partir des dérivées partielles ː

$\mathrm {d} f(x,t)=f(x+\mathrm {d} x,t+\mathrm {d} t)-f(x,t)={\frac {\partial f(x,t)}{\partial x}}~\mathrm {d} x+{\frac {\partial f(x,t)}{\partial t}}~\mathrm {d} t$, avec $\mathrm {d} x\rightarrow 0$ et $\mathrm {d} t\rightarrow 0$.

Remarque ː la différentielle $\mathrm {d} f$ d'une fonction $f$ est la 1-forme différentielle exacte admettant $f$ comme primitive.

Forme différentielle de degré r ou r-forme différentielle

« Soit $U$ un ouvert de $\mathbb {R} ^{n}$ et $r$ un entier compris entre 0 et $n$.

Une r-forme différentielle sur $U$ est une application $\omega$ : $U\rightarrow \Lambda ^{r}\,(\mathbb {R} ^{n})$ de classe ${\mathcal {C}}^{\infty }$.

$\omega (x)=\sum _{1\leq i_{1}<...<i_{r}\leq n}f_{i_{1},...,i_{r}}\,\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge ...\wedge \mathrm {d} x_{i_{r}}$ »

Remarque ː la notation ∧ désigne le produit extérieur.

• si α est de degré k, on a : $\mathrm {d} \left(\alpha \wedge \beta \right)=\mathrm {d} \alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge \mathrm {d} \beta$.
• $\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{i}=0$.
• $\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{j}=-\mathrm {d} x_{j}\wedge \mathrm {d} x_{i}$.

Remarque ː une forme différentielle de degré $r$ sera intégrée sur un espace de dimension $r$.

Remarque ː

• une 0-forme différentielle $\omega \in \Omega ^{0}$ est une fonction $f$ ;
• une 1-forme différentielle $\omega \in \Omega ^{1}$ a une expression de la forme ː
  • $\omega (x)=f(x)\,\mathrm {d} x$ (sur $\mathbb {R}$) ;
  • $\omega (x,y)=f_{x}(x,y)\,\mathrm {d} x+f_{y}(x,y)\,\mathrm {d} y$ (sur $\mathbb {R} ^{2}$) ;
  • $\omega (x,y,z)=f_{x}(x,y,z)\,\mathrm {d} x+f_{y}(x,y,z)\,\mathrm {d} y+f_{z}(x,y,z)\,\mathrm {d} z$ (sur $\mathbb {R} ^{3}$) ;
  • $\omega (x,y,z,t)=f_{x}(x,y,z,t)\,\mathrm {d} x+f_{y}(x,y,z,t)\,\mathrm {d} y+f_{z}(x,y,z,t)\,\mathrm {d} z+f_{t}(x,y,z,t)\,\mathrm {d} t$ (sur $\mathbb {R} ^{4}$) ;
• une 2-forme différentielle $\omega \in \Omega ^{2}$ a une expression de la forme ː
  • $\omega (x,y)=g_{xy}(x,y)\,\mathrm {d} x\wedge dy$ (sur $\mathbb {R} ^{2}$) ;
  • $\omega (x,y,z)=g_{xy}(x,y,z)\,\mathrm {d} x\wedge dy+g_{yz}(x,y,z)\,\mathrm {d} y\wedge dz+g_{zx}(x,y,z)\,\mathrm {d} z\wedge dx$ (sur $\mathbb {R} ^{3}$) ;
• une 3-forme différentielle $\omega \in \Omega ^{3}$ a une expression de la forme ː
  • $\omega (x,y,z)=g(x,y,z)\ \mathrm {d} x\wedge dy\wedge dz$ (sur $\mathbb {R} ^{3}$).

---------- Forme différentielle de degré 1 ou 1-forme différentielle -----------

Définitions

Pour tout $x=(x_{1},...,x_{n})$ d'un ouvert $U\in \mathbb {R} ^{n}$, toute 1-forme différentielle peut s'écrire ː

$\omega (x)=f_{1}(x)\,\mathrm {d} x_{1}+...+f_{n}(x)\,\mathrm {d} x_{n}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathrm {d} x_{i}$.

Elle est une 1-forme différentielle fermée si $\forall \ i,j\leqslant n$,

${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x)={\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(x)$.

Elle est une 1-forme différentielle exacte si elle est la différentielle d'une fonction $f$. Autrement écrit ː

$\omega (x)=\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x)\ \mathrm {d} x_{1}+...+{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(x)\ \mathrm {d} x_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)\ \mathrm {d} x_{i}$,

c'est-à-dire qu'il existe une fonction $f$ telle que $\forall \ i\leqslant n$, $f_{i}(x)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)$.

Remarque ː on dit qu'une 1-forme différentielle exacte est une différentielle^{[réf. nécessaire]}.

Propriété ː

Propriété ː si elle est exacte, elle est fermée car d'après le théorème de Schwarz, ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)(x)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}\right)(x)$.

Intégrale d’une 1−forme sur d’un arc orienté

Arc orienté dans $\mathbb {R} ^{2}$

On choisit un paramétrage de l'arc orienté ${\overset {\curvearrowright }{\gamma }}$ autrement dit un chemin

$x(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t))$

$\int _{\overset {\curvearrowright }{\gamma }}\omega =\int _{a}^{b}f_{1}(x)\mathrm {d} x_{1}+f_{2}(x)\mathrm {d} x_{2}$

$\int _{\overset {\curvearrowright }{\gamma }}\omega =\int _{a}^{b}\left[f_{1}(x)\ x_{1}'(t)+f_{2}(x)\ x_{2}'(t)\right]\mathrm {d} t$

Remarque ː cette intégrale est la circulation du vecteur ${\overrightarrow {V}}(x)={\binom {f_{1}(x)}{f_{2}(x)}}$ le long de ${\overset {\curvearrowright }{\gamma }}$.

$\int _{\overset {\curvearrowright }{\gamma }}\omega =\int _{\overset {\curvearrowright }{\gamma }}{\overrightarrow {V}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} l}}$

Propriété ː si le champ de vecteurs dérive d'un gradient, c'est-à-dire qu'il existe un champ scalaire $A(x)$ tel que

${\overrightarrow {V}}(x)={\overrightarrow {\nabla }}A(x)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x_{1}}}(x)\\{\frac {\partial A}{\partial x_{2}}}(x)\end{pmatrix}}$,

alors

$\int _{\overset {\curvearrowright }{\gamma }}\omega =\int _{a}^{b}{\frac {\partial A}{\partial x_{1}}}(x)\ \mathrm {d} x_{1}+{\frac {\partial A}{\partial x_{2}}}(x)\ \mathrm {d} x_{2}=\int _{a}^{b}\mathrm {d} A(x)=A(b)-A(a)$.

Remarque ː $\omega$ est la différentielle de la fonction $A(x)$ ː c'est donc une différentielle exacte.

Arc orienté dans $\mathbb {R} ^{3}$

Même raisonnement

$\int _{\overset {\curvearrowright }{\gamma }}\omega =\int _{a}^{b}\left[f_{1}(x)\ x_{1}'(t)+f_{2}(x)\ x_{2}'(t)+f_{3}(x)\ x_{3}'(t)\right]\mathrm {d} t$

${\overrightarrow {V}}(x)={\begin{pmatrix}f_{1}(x)\\f_{2}(x)\\f_{3}(x)\end{pmatrix}}{}{}$

Si

${\overrightarrow {V}}(x)={\overrightarrow {\nabla }}A(x)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A(x)}{\partial x_{1}}}\\{\frac {\partial A(x)}{\partial x_{2}}}\\{\frac {\partial A(x)}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}{}{}$

alors

$\int _{\overset {\curvearrowright }{\gamma }}\omega =\int _{a}^{b}{\frac {\partial A(x)}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}+{\frac {\partial A(x)}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2}+{\frac {\partial A(x)}{\partial x_{3}}}\mathrm {d} x_{3}=\int _{a}^{b}\mathrm {d} A(x)=A(b)-A(a)$

---------- Dérivée extérieure ------------

En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de degré quelconque.

Pour toute variété différentielle M, Ω(M) désigne l'algèbre graduée des formes différentielles sur M. Il existe un unique opérateur linéaire $\mathrm {d} :\Omega (M)\to \Omega (M)$, appelé dérivée extérieure, vérifiant :

• si ω est de degré k alors dω est de degré k + 1 ;
• en notant ∧ le produit extérieur, si α est de degré k, on a : $\mathrm {d} \left(\alpha \wedge \beta \right)=\mathrm {d} \alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge \mathrm {d} \beta$ ;
• le carré de d est nul : d(dω) = 0 ;
• pour toute 0-forme, c'est-à-dire toute fonction lisse f, la 1-forme df est la différentielle de f.

Les éléments du noyau de d sont appelés les formes fermées, et ceux de son image les formes exactes.

Exemple

Pour une 1-forme sur $\mathbb {R} ^{2}$,

$\omega =P{\rm {d}}x+Q{\rm {d}}y$,

on a :

${\rm {d}}\omega ={\rm {d}}P\land {\rm {d}}x+{\rm {d}}Q\land {\rm {d}}y=\left({\frac {\partial P}{\partial x}}{\rm {d}}x+{\frac {\partial P}{\partial y}}{\rm {d}}y\right)\land {\rm {d}}x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}{\rm {d}}x+{\frac {\partial Q}{\partial y}}{\rm {d}}y\right)\land {\rm {d}}y=\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right){\rm {d}}x\wedge {\rm {d}}y$,

ce qui correspond exactement à la 2-forme qui apparaît dans le théorème de Green.

Citations

En général

« Expression dans une carte

Pour tout $x=(x_{1},...,x_{n})$ d'un ouvert $U$ ː

$\omega (x)=f_{1}(x)\,\mathrm {d} x_{1}+...+f_{n}(x)\,\mathrm {d} x_{n}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathrm {d} x_{i}$ »

Exacte

« On dit qu'une forme différentielle $\omega$ est exacte si $\omega$ est la différentielle d'une fonction $f$ ; on dit alors que $f$ est une primitive de $\omega$ ».

« Une forme différentielle $\omega$ est exacte s'il existe une fonction $f$, de classe $C^{1}$, de $U$ dans $\mathbb {R}$ telle que : $\mathrm {d} f=\omega$. On dit alors que $f$ est une primitive de $\omega$ sur $U$.

En physique, $\omega$ exacte signifie que ${\overrightarrow {V}}$ est un champ de gradients. »

Fermée

« On dit que $\omega$ est fermée si ${\frac {\partial P_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial P_{j}}{\partial x_{i}}}$.

Pour que soit exacte, il est nécessaire qu'elle soit fermée.»

« En physique, cette condition signifie que ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\overrightarrow {V}}={\overrightarrow {0}}$. »

---------- Forme différentielle de degré 2 ou 2-forme différentielle -----------

« Une forme différentielle de degré 2 sur D est une expression de la forme :

$\omega (x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}f_{ij}\,\mathrm {d} x_{i}\wedge dx_{j}$

où les $f_{ij}(x)$ sont des fonctions continues de $U$ dans $\mathbb {R}$. »

Pour $\mathbb {R} ^{2}$ $(n=2)$

$\omega (x)=f_{11}\,\mathrm {d} x_{1}\wedge dx_{1}+f_{12}\,\mathrm {d} x_{1}\wedge dx_{2}+f_{21}\,\mathrm {d} x_{2}\wedge dx_{1}+f_{22}\,\mathrm {d} x_{2}\wedge dx_{2}$

$\omega (x)=(f_{12}-f_{21})\,\mathrm {d} x_{1}\wedge dx_{2}$

$\omega (x)=g_{12}\mathrm {d} x_{1}\wedge dx_{2}$

-----

${\overrightarrow {V}}={\begin{pmatrix}V_{x}\\V_{y}\end{pmatrix}}$

$\omega =V_{x}\ \mathrm {d} x+V_{y}\ \mathrm {d} y$

$*\omega =\mathrm {d} \left(V_{x}\ \mathrm {d} x+V_{y}\ \mathrm {d} y\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\overrightarrow {V}}\ \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$

$*\omega =\mathrm {d} \left(V_{x}\ \mathrm {d} x+V_{y}\ \mathrm {d} y\right)=\mathrm {d} V_{x}\wedge \mathrm {d} x+\mathrm {d} V_{y}\wedge \mathrm {d} y$

$*\omega =\left({\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}\ \mathrm {d} x+{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\ \mathrm {d} y\right)\wedge \mathrm {d} x+\left({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}\ \mathrm {d} x+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}\ \mathrm {d} y\right)\wedge \mathrm {d} y$

$*\omega =\left({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\right)\ \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$

Pour $n=3$

${\begin{aligned}\omega (x)=&\ \quad f_{11}\,\mathrm {d} x_{1}\wedge dx_{1}+f_{12}\,\mathrm {d} x_{1}\wedge dx_{2}+f_{13}\,\mathrm {d} x_{1}\wedge dx_{3}\\\ &+f_{21}\,\mathrm {d} x_{2}\wedge dx_{1}+f_{22}\,\mathrm {d} x_{2}\wedge dx_{2}+f_{23}\,\mathrm {d} x_{2}\wedge dx_{3}\\\ &+f_{31}\,\mathrm {d} x_{3}\wedge dx_{1}+f_{32}\,\mathrm {d} x_{3}\wedge dx_{2}+f_{33}\,\mathrm {d} x_{3}\wedge dx_{3}\end{aligned}}$

$\omega (x)=(f_{12}-f_{21})\,\mathrm {d} x_{1}\wedge dx_{2}+(f_{23}-f_{32})\,\mathrm {d} x_{2}\wedge dx_{3}+(f_{31}-f_{13})\,\mathrm {d} x_{3}\wedge dx_{1}$

$\omega (x)=g_{12}\,\mathrm {d} x_{1}\wedge dx_{2}+g_{23}\,\mathrm {d} x_{2}\wedge dx_{3}+g_{31}\,\mathrm {d} x_{3}\wedge dx_{1}$

---

${\overrightarrow {V}}={\begin{pmatrix}V_{x}\\V_{y}\\V_{z}\end{pmatrix}}$

$\omega =V_{x}\ \mathrm {d} x+V_{y}\ \mathrm {d} y+V_{z}\ \mathrm {d} z$

$*\omega =V_{x}\ \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+V_{y}\ \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+V_{z}\ \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$

$*\omega =\mathrm {d} \left(V_{x}\ \mathrm {d} x+V_{y}\ \mathrm {d} y+V_{z}\ \mathrm {d} z\right)=\mathrm {d} V_{x}\wedge \mathrm {d} x+\mathrm {d} V_{y}\wedge \mathrm {d} y+\mathrm {d} V_{z}\wedge \mathrm {d} z$

$*\omega =\left({\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}\ \mathrm {d} x+{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\ \mathrm {d} y+{\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}\ \mathrm {d} z\right)\wedge \mathrm {d} x+\left({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}\ \mathrm {d} x+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}\ \mathrm {d} y+{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\ \mathrm {d} z\right)\wedge \mathrm {d} y+\left({\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\ \mathrm {d} x+{\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}\ \mathrm {d} y+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}\ \mathrm {d} z\right)\wedge \mathrm {d} z$

$*\omega =\left({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+\left({\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\right)\ \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\right)\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x$

Paramétrage de la surface par les points$\mathrm {M} (\lambda ,\mu )=\left(x(\lambda ,\mu ),y(\lambda ,\mu ),z(\lambda ,\mu )\right)$

Le vecteur normal à la surface (élémentaire) $\mathrm {S} (\lambda ,\mu )={\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial \lambda }}(\lambda ,\mu )\wedge {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial \mu }}(\lambda ,\mu )$

Exemple pour un disque

$x(r,\theta )=x_{0}+r\,\cos \theta$, $\mathrm {d} x(r,\theta )=\cos \theta \ \mathrm {d} r-r\,\sin \theta \ \mathrm {d} \theta$

$y(r,\theta )=y_{0}+r\,\sin \theta$, $\mathrm {d} y(r,\theta )=\sin \theta \ \mathrm {d} r+r\,\cos \theta \ \mathrm {d} \theta$

$z(r,\theta )=z_{0}=\mathrm {cte}$

$*\omega =\left({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$ ??????????

$\mathrm {d} \mathrm {S} (\lambda ,\mu )={\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial r}}(r,\theta )\wedge {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial \theta }}(r,\theta )$ produit vectoriel ici

Intégrale d’une 2−forme sur une surface

Surface dans $\mathbb {R} ^{2}$

Définition

Soit $D$ un domaine de $\mathbb {R} ^{2}$, et $\omega (x)=g_{12}(x)\ \mathrm {d} x_{1}\wedge dx_{2}$ une 2-forme sur $D$. On définit intégrale de $\omega$ sur $D$ par :

$\int \!\int _{D}g_{12}(x)\,\mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}$.

Surface dans $\mathbb {R} ^{3}$

On choisit un paramétrage de la surface

$(t,s)\in D$

$x(t,s)=(x_{1}(t,s),x_{2}(t,s),x_{3}(t,s))$ $\in \mathbb {R} ^{3}$

$D$ est un domaine de $\mathbb {R} ^{2}$ compatible avec l'orientation de la surface.

La normale à la surface

${\overrightarrow {\nu }}(t,s)={\frac {\partial x}{\partial t}}(t,s)\wedge {\frac {\partial x}{\partial s}}(t,s)$

où le symbole ∧ désigne le produit vectoriel de deux vecteurs de $\mathbb {R} ^{3}$.

Dans l'expression

$\omega (x)=g_{12}\,\mathrm {d} x_{1}\wedge dx_{2}+g_{23}\,\mathrm {d} x_{2}\wedge dx_{3}+g_{31}\,\mathrm {d} x_{3}\wedge dx_{1}$

on remplace

$f_{ij}(x)$ par $f_{ij}(x(t,s))$ et

$\mathrm {d} x_{i}$ par ${\partial x_{i} \over \partial t}(t,s)\ \mathrm {d} t+{\partial x_{i} \over \partial s}(t,s)\ \mathrm {d} s$.

${\begin{alignedat}{2}\omega (x)=&\ \ \ g_{12}\,\left({\partial x_{1} \over \partial t}(t,s)\ \mathrm {d} t+{\partial x_{1} \over \partial s}(t,s)\ \mathrm {d} s\right)\wedge \left({\partial x_{2} \over \partial t}(t,s)\ \mathrm {d} t+{\partial x_{2} \over \partial s}(t,s)\ \mathrm {d} s\right)\\\,&+g_{23}\,\left({\frac {\partial x_{2}}{\partial t}}(t,s)\ \mathrm {d} t+{\partial x_{2} \over \partial s}(t,s)\ \mathrm {d} s\right)\wedge \left({\partial x_{3} \over \partial t}(t,s)\ \mathrm {d} t+{\partial x_{3} \over \partial s}(t,s)\ \mathrm {d} s\right)\\\,&+g_{31}\,\left({\partial x_{3} \over \partial t}(t,s)\ \mathrm {d} t+{\partial x_{3} \over \partial s}(t,s)\ \mathrm {d} s\right)\wedge \left({\partial x_{1} \over \partial t}(t,s)\ \mathrm {d} t+{\partial x_{1} \over \partial s}(t,s)\ \mathrm {d} s\right)\\\end{alignedat}}$

.${\begin{alignedat}{2}\omega (x)=&\ \ g_{12}\left({\partial x_{2} \over \partial t}(t,s)-{\partial x_{1} \over \partial s}(t,s)\right)\ \mathrm {d} t\ \mathrm {d} s\\&+g_{23}\left({\partial x_{2} \over \partial t}(t,s)\ {\partial x_{3} \over \partial s}(t,s)-{\partial x_{3} \over \partial t}(t,s)\ {\partial x_{2} \over \partial s}(t,s)\right)\ \mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} s\\&+g_{31}\left({\partial x_{1} \over \partial s}(t,s)-{\partial x_{3} \over \partial t}(t,s)\right)\ \mathrm {d} t\ \mathrm {d} s\\\end{alignedat}}$

$\omega (x)=F(t,s)\ \mathrm {d} t\ \mathrm {d} s$

---------- Forme différentielle de degré 3 ou 3-forme différentielle -----------

$\omega (x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}f_{ijk}\,\mathrm {d} x_{i}\wedge dx_{j}\wedge dx_{k}$

Remarque ː les formes de degré 3 dans $\mathbb {R} ^{2}$ sont toutes nulles.

Pour $n=3$

$\omega (x)=g\ \mathrm {d} x_{i}\wedge dx_{j}\wedge dx_{k}$

Intégrale d’une 3−forme sur un volume

$\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{D}\omega =\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{D}g\ \mathrm {d} x_{i}\ dx_{j}\ dx_{k}$

---------- Questions différentielles -----------

« Les physiciens qualifient les différentielles de fonction d'état de « différentielle totale exacte ».

Expliquons ici les trois termes de cette expression : différentielle, totale, exacte.

• D'abord, le terme « forme » présent dans la définition mathématique a disparu, car dans le contexte de la thermodynamique — et de la physique en général — il n'apporte rien.

• Le physicien postule (en fait il construit la quantité physique comme ça) que la différentielle de la fonction d'état qui l'intéresse est une forme différentielle exacte. Elle est donc fermée.

• Enfin, cette fonction différentielle est construite à partir des variables physiques choisies par le physicien. C'est sur ce choix qu'il faut entendre le terme « totale » : le choix des variables physiques choisies permet de couvrir la totalité des variations observables de la quantité physique.

La locution du physicien « différentielle totale exacte » se traduit en mathématicien « forme différentielle exacte ». L'adjectif « total » désignant le fait que toute la réalité physique observable est contenue dans la fonction différenciée. »

N'étant point savant, je me reporte à mes manuels. Ils me disent tous qu'ils définissent dS et dΦ comme aire et flux élémentaires. Je me reporte à Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck, 2013, p. 235 « élémentaire 2. [Math] ». Une grandeur « que l'on peut considérer comme infiniment petite. On peut alors généralement la représenter par un élement différenciel noté dA, δA ou d A, si la grandeur de départ est notée A, etc. ». représenter par un élément différenciel ne signifie pas est un élément différenciel. Par ailleurs la grandeur ne peut pas être aussi infiniment petite que dans le monde idéal des maths ; elle doit être suffisamment grande pour que les lois dont il est question s'y appliquent : c'est le même système que pour le point matériel en mécanique, ou la particule matérielle en acoustique. La mathématisation excessive ne sert qu'à obscurcir la compréhension de la notion, en s'éloignant de toute considération des objectifs et des méthodes de la discipline. PolBr 14 avril 2017 à 15:34 (CEST)

Comme malgré mon ignorance, je cherche où ça me gratte, je ressort de sous le lit dont il calait un pied Bernard Diu, La mathématique du physicien, Paris, Odile Jacob, 2010, p. 159sq « différences et sommes, différencielles et intégrales » qui m'encourage dans mon appréciation précédente. PolBr 14 avril 2017 à 15:44 (CEST)

---------- Flux -----------

« Le flux (ou débit) d'une grandeur extensive à travers une surface est la quantité de cette grandeur qui travers la surface par unité de temps »

« Le flux d'un champ de vecteurs à travers un élément de surface ds (orientée) est la grandeur A cos α ds, où α désigne l'angle entre le vecteur du champ (de module A) et la normale (orientée) à la surface. »

---------- Disc -----------

je suis presque convaincu que vous vous méprenez et que je vais vous convaincre. Alors, je creuse.

L'article Primitive rappelle que $F$ est une primitive de $f$ si $F'(x)=f(x)$. Il rappelle également la propriété suivante ː si $F$ est une primitive d'une fonction intégrable $f$, alors : $F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x$. Exactement comme vous l'avez énoncé plus haut, ce qui signifie que toutes les primitives sont égales à une constante près.

Pour revenir à l'analogie avec distance et vitesse. Quand vous écrivez ː$x=\int _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)dt=x'(t_{2})-x'(t_{1})$, $t_{1}$ et $t_{2}$ restent des variables et la distance parcourue est une fonction de ces deux variables. Cette fonction, évidemment est bien pratique pour connaître une distance particulière en fixant les bornes, mais elle définit toute les distances et en cela elle est plus intéressante qu'une distance particulière ː c'est cette fonction qu'il convient d'étudier (son analogue étant le flux, la fonction, pas un flux particulier). Alors montrons que $x$ est bien la primitive de $v$.

$\mathrm {d} x=x(t_{1}+\mathrm {d} t_{1},t_{2}+\mathrm {d} t_{2})-x(t_{1},t_{2})$ selon l'expression d'un différentielle d'une fonction à deux variables.

Notons $\tau =t_{2}-t_{1}$, alors $\mathrm {d} \tau =\mathrm {d} t_{2}-\mathrm {d} t_{1}$. En revanche la notation $F(x)=\int f(x)\mathrm {d} x$, que vous avez utilisé, ne définit pas rigoureusement la fonction $F$, elle n'est d'ailleurs pas présente dans l'article ː en l'absence de bornes de l'intégrale, elle correspondrait à une infinité de fonction dont la dérivée est identique, et donc égales entre elles à une constante près. C'est là un détail.

Différence Lagrange Euler

Dynamique_des_fluides#Choix_d'une_description_du_fluide

Mécanique_des_milieux_continus#Expression_de_la_dérivée_particulaire

Mini manuel de Mécanique des fluides sur Google Livres parle du produit contracté page 58

« Dérivée convective correspondant à la description lagrangienne » Hydrodynamique physique sur Google Livres ; Hydrodynamique physique sur Google Livres

Divers

Histoire à lire ː [3]

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les sciences et les techniques échappent à la nécessité de l'échantillonnage, à condition de ne s'intéresser qu'à des grandeurs à une seule dimension, qui seules peuvent trouver un équivalent analogique électrique

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Lucarne d'entrée diaphragme de champ [4]

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de la puissance rayonnée pondérée par l'efficacité lumineuse spectrale K(λ)