Utilisateur:Gigowatts/Brouillon coordonnées orthogonales

En mathématiques, système de coordonnées orthogonales est défini comme un ensemble de d coordonnées q = (q¹, q², ..., q^d) pour lesquelles les surfaces de coordonnées se croisent à angle droit (note: les indices en hauteur ne sont pas des exposants; ils doivent être interprétés avec la convention d'Einstein). Une surface de coordonnées associée à q^k est une courbe, surface, ou hypersurface sur laquelle q_k est une constante. Par exemple, le système de coordonnées cartésiennes tridimensionnel (x, y, z) est un système de coordonnées orthogonal, puisque les surfaces de coordonnées x = constante, y = constante, et z = constante sont des plans qui se croisent à angle droit les uns des autres, c'est à dire qui sont perpendiculaires. Le système de coordonnées orthogonales est un cas particulier mais très courant des systèmes de coordonnées curvilignes.

Motivation

Une Transformation_conforme agissant sur une grille rectangulaire. On note que l'orthogonalité des lignes de la grille est conservée par la transformation.

Alors les opérations vectorielles et les lois physiques sont souvent plus facile à établir en coordonnées cartésiennes, les coordonnées orthogonales non-cartésiennes sont souvent préférées lorsque la géométrie du problème permet d'exprimer plus facilement la solution d'un problème comme par exemple les problèmes aux limites (résolution d'équation aux dérivées partielles) que l'on rencontre en mécanique quantique, mécanique des fluides, électromagnétisme, diffusion d'espèces chimiques ou encore pour la résolution de l'équation de la chaleur.

Le principal avantage d'un systèmes de coordonnées non-cartésiennes est qu'on peut le choisir pour tirer parties des symétries du problème. Par exemple, considérons l'onde de pression due à une explosion ponctuelle; cette onde se propage dans toutes les directions de l'espace tri-dimensionnel de telle sorte que l'onde de pression peut être caractérisée uniquement par la distance au point d'explosion en fonction du temps, ce qui devient un problème unidimensionnel en coordonnées sphériques. Citons un autre exemple, le mouvement d'un fluide dans un tube à section circulaire : en coordonnées cartésiennes, on doit résoudre un une équation aux dérivées partielles en dimension 2 avec des conditions aux limites alors qu'en coordonnées cylindriques, le problème devient unidimensionnel et ne met en œuvre qu'une équation différentielle ordinaire.

Les systèmes de coordonnées orthogonales sont préférés aux coordonnées curvilignes pour leur simplicité : de nombreuses complications techniques apparaissent lorsque les coordonnées ne sont pas orthogonales. A titre d'exemple, de nombreux problèmes (modélisés avec des équations différentielles) peuvent être résolus par la méthode dite de séparation des variables qui permet de convertir un problème complexe en dimension d en d problèmes unidimensionnels chacun étant potentiellement beaucoup plus simple à résoudre. De nombreux problèmes peuvent être ramenés à la résolution de l'équation de Laplace ou l'équation d'Helmholtz qui sont respectivement séparables dans 13 et 11 systèmes de coordonnées orthogonales.

Les coordonnées orthogonales ne présentent jamais de termes non-nuls en dehors de la diagonale dans leur tenseur métrique. En d'autres termes, le carré de la distance infinitésimale ds² peut toujours être exprimé comme une somme pondérée des carrés des différentielles des coordonnées

$ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\,dq^{k}\right)^{2}$

où d est la dimension et les facteurs d'échelle (ou poids)

$h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|$

sont les racines carrées des termes diagonaux du tenseur métrique, soit encore les normes des vecteurs de la base locale $\mathbf {e} _{k}$ décrite ci-dessous. Ces facteurs d'échelles h_i sont utilisés pour exprimer les opérateurs différentiels usuels dans le nouveau système de coordonnées, e.g., le gradient, le laplacien, la divergence et le rotationnel.

Pour générer un système de coordonnées orthogonales en dimension 2, on peut simplement prendre l'image par une transformation conforme d'une grille 2D de coordonnées cartésiennes (x, y). On peut former un nombre complexe z = x + iy à partir des nombres réels x et y, i étant la racine carrée de -1. Près d'un point z₀ où la dérivée d'une fonction holomorphe f est non nulle, f est une transformation conforme. Si on écrit w = f(z) = u + iv, alors les courbes isovaleurs de u et v se croisent à angle droit, de la même manière que les lignes à x constant, ou y constant.

On peut créer un système de coordonnées orthogonales en 3 dimension et plus à partir d'un système de coordonnées orthogonales en 2 dimension que l'on prolonge dans une nouvelle dimension (e.g. les coordonnées cylindriques) ou par rotation du système 2D autour d'un axe de symétrie. Notons qu'il existe des systèmes de coordonnées orthogonales en 3D qui ne peuvent pas être obtenus par l'une de ces méthodes comme les coordonnées ellipsoidales. Une manière plus générale d'obtenir un système de coordonnées orthogonales consiste à partir des surfaces à coordonnées constantes puis à construire les trajectoires orthogonales associées.

Vecteurs de base

Base covariante

En coordonnées cartésiennes, les vecteurs de base sont fixés (constants). Dans le cas plus général des coordonnées curvilignes, on définit en chaque point de l'espace une base dont les vecteurs ne sont généralement pas constants (ils changent quand on varie le point de l'espace considéré). Ce qui caractérise les coordonnées orthogonales est que ces vecteurs de base sont toujours orthogonaux entre eux en tout point de l'espace. En d'autres termes,

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j$

Ces vecteurs de base sont par définition les vecteurs tangents des courbes obtenues en faisant varier une seule coordonnées, les autres étant maintenues fixées:

Visualisation d'un système de coordonnées orthogonales. On peut voir les courbes paramétrées par une coordonnée, les autres coordonnées étant fixées, ainsi que les vecteurs de bases en un point de l'espace donné. On note que les vecteurs de bases n'ont pas la même norme: on leur demande seulement d'être orthogonaux.

$\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}$

où r est un point donné et qⁱ est la coordonnée pour laquelle on identifie le vecteur de base. In d'autres termes, la courbe où l'on fixe toutes les coordonnées sauf une peut être vue comme une courbe paramétrée par cette coordonnée, et la dérivée de la courbe par rapport au paramètre est exactement le vecteur de base associé à la coordonnée considérée dans le système de coordonnées orthogonales.

On remarque que les vecteurs n'ont pas nécessairement la même norme. Les fonctions appellées facteur d'échelle sont simplement les normes $h_{i}$ des vecteurs de base ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ (cf la table ci-dessous). Les facteurs d'échelle sont encore appellés parfois coefficients de Lamé, mais il ne faut pas les confondre avec les coefficients définis en mécanique des milieux continus dans le cadre de l'élasticité linéaire.

Les vecteurs de base une fois normalisés (i.e. de norme unité) sont notés avec un chapeau:

${\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{\left|{\mathbf {e} }_{i}\right|}}$

Base contravariante

Les vecteurs de base mentionnés précédemment sont des vecteurs covariants. Dans le cas d'un système de coordonnées orthogonales, la base de vecteurs contravariants est facile à identifier puisque chaque vecteur est un vecteur de la base covariante mais avec une norme inversée (pour cette raison les deux bases sont dites réciproque l'un de l'autre):

$\mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}$

cela résulte du fait que, par définition, $\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}$, en utilisant le symbole de Kronecker. On note que:

${\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}={\hat {\mathbf {e} }}^{i}$

Le système de coordonnées orthogonales est muni à présent de trois base de vecteurs: la base covariante e_i, la base contravariante eⁱ, et la base canonique normalisée êⁱ. Alors qu'un vecteur est une quantité qui peut être définie indépendemment d'un système de coordonnée, les composantes du vecteur sont évidemment liées à la base choisie pour le représenter.

Afin d'éviter toute confusion, les composantes du vecteur x dans la base e_i sont notées xⁱ, tandis que les composantes dans la base eⁱ sont x_i:

$\mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}$

La position des indices suit la convention de sommation d'Einstein. Le symbole de somme Σ (Sigma majuscule) et les indices de début et fin de la somme (i = 1, 2, ..., d), sont omis. Le passage des composantes d'une base à l'autre est défini alors par:

$h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}.$

Algèbre vectorielle

L'addition de vecteur et la multiplication par un scalaire se fait composante par composante comme en coordonnées cartésiennes. Cependant un soin particulier doit être apporté pour les autres opérations vectorielles.

Il convient de rappeller que dans le cas générale la base de vecteurs d'un système de coordonnées orthogonales varie d'un point à l'autre, cela doit être pris en considération pour définir les opérations suivantes.

Produit scalaire

Le produit scalaire en coordonnées cartésiennes (espace euclidien avec une base orthonormale) est défini par la somme des produits des composantes. En coordonnées orthogonales, le produit scalaire de deux vecteurs x et y prend la forme bien connue lorsque les composantes des vecteurs sont exprimées dans une base normalisées:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}$

C'est une conséquence immédiate du fait que la base locale est une base orthonormale.

En utilisant les composantes des bases covariantes ou contravariante,

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}$

Ceci peut se déduire par exemple en 2d en utilisant la décomposition sur une base normalisée:

${\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}$

Produit vectoriel

Le produit vectoriel en coordonnées cartésiennes 3D est donné par:

$\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}$

La formule ci-dessus reste valide dans un système de coordonnées orthogonales pourvu que les vecteurs de base soient normalisés.

Pour construire le produit vectoriel en coordonnées orthogonales avec une base covariante or contravvariante, on doit là encore utiliser des vecteurs de base normalisés:

$\mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}$

qui, en développant, devient,

$\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}$

On peut obtenir une notation plus compacte en utilisant le tenseur de Levi-Civita qui permet également de simplifier la généralisation aux systèmes de coordonnées non-orthogonales et en dimension supérieure.

Analyse vectorielle

Dérivée

Considérons un déplacement infinitésimal

$d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}$

Par définition, le gradient d'une fonction f (ou tenseur) vérifie la relation:

$df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}$

On rappelle également la définition de l'opérateur nabla:

$\nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$

qui reste valable en coordonnées curviligne.

Eléments différentiels

En notant dr un déplacement infinitésimal et ê_i les vecteurs de base normalisés, on peut déterminer les éléments différentiels suivant.

Elément differentiel	Vecteurs	Scalaires
élément linéaire	Vecteur tangent à la courbe iso-qi: $d{\boldsymbol {\ell }}=h_{i}dq_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}dq_{i}$	longueur infinitésimale $d\ell ={\sqrt {d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} }}={\sqrt {h_{1}^{2}\,dq_{1}^{2}+h_{2}^{2}\,dq_{2}^{2}+h_{3}^{2}\,dq_{3}^{2}}}$
élément de surface	Normale à la surface iso-qk: ${\begin{aligned}d\mathbf {S} &=(h_{i}dq_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\times (h_{j}dq_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\\&=dq_{i}dq_{j}\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}\right)\\&=h_{i}h_{j}dq_{i}dq_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}\end{aligned}}$	$dS_{k}=h_{i}h_{j}\,dq^{i}\,dq^{j}$
Elément de volume	Non disponible	${\begin{aligned}dV&=|(h_{1}\,dq_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1})\cdot (h_{2}\,dq_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2})\times (h_{3}\,dq_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3})|\\&=|{\hat {\mathbf {e} }}_{1}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\times {\hat {\mathbf {e} }}_{3}|h_{1}h_{2}h_{3}\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}\\&=J\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}\\&=h_{1}h_{2}h_{3}\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}\end{aligned}}$

où

$J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{3}}}\right)\right|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q_{1},q_{2},q_{3})}}\right|=h_{1}h_{2}h_{3}$

est le jacobien (déterminant de la matrice jacobienne), et que l'on peut interpréter géométriquement comme la déformation du cube infiniment petit dxdydz vers le volume image en coordonnées orthogonales.

Intégration

En utilisant l'élément linéaire défini précédemment, l'intégrale curviligne le long de la courbe $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ d'un vecteur F est:

$\int _{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {C}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {C}}F_{i}\,dq^{i}$

On définit l'infiniment petit de surface $dA$ pour une isosurface à q_k constant :

$dA=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}\,$

De la même manière l'infiniment petit de volume:

$dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}$

où le symbole Π (Pi majuscule) désigne un produit tout comme Σ désigne une somme. On note que le produit des facteurs d'échelle est égal au jacobien.

A titre d'exemple, l'intégrale de surface d'une fonction vectorielle F sur une surface isovaleur q¹ = constante $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ en 3D s'écrit:

$\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}$

On note que F¹/h₁ est la composante de F normale à la surface.

Opérateurs d'analyse vectorielle en 3 dimensions

Ces opérateurs sont représentés dans la base normalisées: $F_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}$.

Operator	Expression
Gradient d'un champ scalaire	$\nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}$
Divergence d'un champ de vecteurs	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(F_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(F_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(F_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]$
Rotationnel d'un champ de vecteur	${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\[10pt]&+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial q^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{2}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{3}}}\\h_{1}F_{1}&h_{2}F_{2}&h_{3}F_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$
Laplacien d'un champ scalaire	$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right)\right]$

On peut simplifier les expressions ci-dessus en utilisant le symbole de Levi-Civita, en définissant $H=h_{1}h_{2}h_{3}$, et en admettant une sommation sur les indices répétés:

Operateur	Expression
Gradient d'un champ scalaire	$(\nabla \phi )_{k}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}$
Divergence d'un champ de vecteurs	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h_{k}}}F_{k}\right)$
Rotationnel d'un champ de vecteur	$\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)_{k}={\frac {h_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{H}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h_{j}F_{j}\right)$
Laplacien d'un champ scalaire	$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h_{k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)$

Systèmes de coordonnées orthogonales usuels

Voici quelques exemples de systèmes de coordonnées orthogonales. L'intervalle de définition est mentionné dans la colonne des coordonnées.

Coordonnées curvillignes (q1, q2, q3)	Transformation depuis les coordonnées cartésiennes (x, y, z)	Facteurs d'échelle
Coordonnées sphériques $(r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}&=r\\h_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}$
Coordonnées cylindriques $(r,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=r\cos \phi \\y&=r\sin \phi \\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=r\end{aligned}}$
Coordonnées cylindriques paraboliques $(u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
Coordonnées paraboloïdales $(u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=uv\end{aligned}}$
Coordonnées cylindriques elliptiques $(u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
Coordonnées sphériques étirées $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$
Coordonnées sphériques applaties $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$
Coordonnées ellipsoïdales ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}$	${\frac {x^{2}}{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q_{i}}}=1$ où $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i})}}}$
Coordonnées bipolaires $(u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
Coordonnées toroïdales $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
Coordonnées canoniques ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}$	${\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}$

Voir aussi

• Coordonnées curvilignes
• Tenseur
• Champ de vecteurs
• Système de coordonnées obliques

Références

• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, pp. 164–182.

• Morse and Feshbach, Methods of Theoretical Physics, Volume 1, McGraw-Hill, 1953

• Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172–192.

• Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud (2003) Tensor Analysis, pp. 81 – 88.

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