Interval (matematiche)

Un interval (reâl) al è un sotinsiemi dai numars reâi cu la proprietât che cualsisei numar includût tra doi elements dal sotinsiemi al è ancje lui un element dal sotinsiemi. Plui in gjenerâl, si puedin definî intervai in ducj i insiemis totalmentri ordenâts come, par esempli, i numars intîrs o i numars razionâi.

Tips di interval e notazion

A sedin $a,b\in \mathbb {R}$ doi numars reâi cun $a\leq b$. Si àn chestis definizions.

• L'interval sierât di estrems $a$ e $b$ al è l'insiemi

$$[a;b]=\{\forall x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}.$$

• L'interval viert di estrems $a$ e $b$ al è l'insiemi

$$(a;b)=]a;b[=\{\forall x\in \mathbb {R} :a<x<b\}.$$ Lis dôs formis di scrivi i intervai vierts a son parimentri acetadis. I vûl ancje fat atenzion che lis stessis notazions dai intervai si doprin par altris ogjets matematics. Par esempli, la notazion $(a;b)$ e je ancje doprade par rapresentâ une copie ordenade (e.g., di coordenadis) o, plui di râr, un numar complès. Intai paîs dulà che si dopre il pont par dividi le part interie de part decimâl di un numar reâl, si use normalmentri la virgule al puest dal pont e virgule (e.g., $[a,b]$).

Lis definizions parsore si puedin ancje cumbinâ par creâ intervai semisierâts o semivierts.

• L'interval sierât a çampe e viert a diestre di estrems $a$ e $b$ al è l'insiemi

$$[a;b)=[a;b[=\{\forall x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}.$$

• L'interval viert a çampe e sierât a diestre di estrems $a$ e $b$ al è l'insiemi

$$(a;b]=]a;b]=\{\forall x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}.$$

Intal câs particolâr là che $a=b$, si à $[a;a]=\{a\}$ e $(a;a)=[a;a)=(a;a]=\emptyset$.

Ducj i intervai definîts parsore a son limitâts o finîts, o sei si pues simpri cjatâ numars plui grancj e plui piçui di ducj i elements dal interval. Cuant che nol è cussì, si fevele di intervai ilimitâts.

• L'interval sierât superiormentri ilimitât (o ilimitât a diestre) di estrem $a$ al è l'insiemi

$$[a;+\infty )=\{\forall x\in \mathbb {R} :x\geq a\}.$$

• L'interval viert superiormentri ilimitât (o ilimitât a diestre) di estrem $a$ al è l'insiemi

$$(a;+\infty )=\{\forall x\in \mathbb {R} :x>a\}.$$

• L'interval sierât inferiormentri ilimitât (o ilimitât a çampe) di estrem $a$ al è l'insiemi

$$(-\infty ;a]=\{\forall x\in \mathbb {R} :x\leq a\}.$$

• L'interval viert inferiormentri ilimitât (o ilimitât a çampe) di estrem $a$ al è l'insiemi

$$(-\infty ;a)=\{\forall x\in \mathbb {R} :x<a\}.$$

• L'interval ilimitât pes dôs bandis al coincît cun la rete reâl, ven a stâi

$$(-\infty ;+\infty )=\mathbb {R} .$$

Terminologjie

O vin za viodût che un interval sierât cui doi estrems avuâi al coincît cun un insiemi di un singul element, $[a;a]=\{a\}$. E ancjemò, che un interval viert (o semiviert) cui doi estrems avuâi al è l'insiemi vueit, $(a;a)=\emptyset$. Intai doi câs si fevele di intervai degjenerâts. Al contrari, un interval no degjenarât, ven a stâi no vueit e cun plui di un element, si dîs propri.

L'estrem inferiôr di un interval sierât a çampe al è ancje il minim di chel interval. Inte stesse maniere, l'estrem superiôr di un interval sierât a diestre al è il massim dal interval. Partant, un interval sierât e limitât (pes dôs bandis) al à minim e massim. Al è ancje impuartant ricuardâ che i intervai sierâts ilimitâts (a diestre o a çampe) si considerin sierâts par fâ sì che la nozion di interval sierât a coincidi cun la nozion topologjiche di insiemi sierât. In maniere simile, l'interval ilimitât pes dôs bandis (la rete reâl) al è un interval viert e un insiemi topologjicamentri viert. Infin, l'interval vueit al è viert e sierât al stes timp. La part interne di un interval $I$ e je il plui grant interval viert contignût in $I$; in altris peraulis, la part interne di $I$ e je formade di ducj i elements di $I$ infûr dai estrems. Al incuintri, la sieradure di un interval $I$ e je il plui piçul interval sierât che al contegni $I$ o, dite di une altre maniere, e je la union dal interval $I$ cui soi estrems.

Dât un insiemi $X$ di numars reâi, l'interval invuluç al è il plui piçul interval che al contegni ducj i elements di $X$. Ecuivalentementri, al è l'unic interval che al conten $X$ e nol conten propriementri nissun altri interval che al contegni $X$.

Proprietâts

La intersezion di doi o plui intervai e je un interval. La union di doi intervai e je un interval dome se i doi intervai di partence a àn elements comuns o se l'estrem viert di un al coincît cul estrem sierât di chel altri: $(a;b)\cup [b;c]=(a;c]$.

I intervai a son i sotinsiemis convès di $\mathbb {R}$. Duncje, l'interval invuluç di un sotinsiemi $X$ di $\mathbb {R}$ al è ancje dit invuluç convès di $X$.

I intervai a son ancje i sotinsiemis conetûts di $\mathbb {R}$. Chest al impliche che la imagjin di un interval mediant di une funzion continue di $\mathbb {R}$ a $\mathbb {R}$ e je un altri interval.

Bibliografie

• Wikipedia Contributors. Interval (mathematics), in Wikipedia, The Free Enciclopedia, 28 Dicembar 2015, <https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Interval_(mathematics)&oldid=692119288>
• Contributori di Wikipedia, Intervallo (matematica), in Wikipedia, L'Enciclopedia Libera, 28 Dicembar 2015, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Intervallo_(matematica)&oldid=71151565>
• A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. La Nomencladure des Matematichis. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997.