Composición de funcións

En álxebra abstracta, a composición de funcións é unha operación matemática que consiste na aplicación sucesiva de dúas funcións. Para iso, aplícase sobre o valor a función máis próxima ao mesmo, e ao resultado do cálculo aplícase finalmente a outra función.

g ∘ f, é a aplicación resultante da aplicación sucesiva de f e de g. No exemplo, (g ∘ f)(a)=@.

Usando a notación matemática, a función composta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x pertencente a X.

g ∘ f denomínase composición de f e g. Nótese que non se nomea seguindo a orde de escritura, senón a orde na que se aplican as funcións ao valor.

Definición

De xeito formal, dadas dúas funcións f: X → Y e g: e → Z, onde a imaxe de f está contida no dominio de g, defínese a función composición (g ∘ f ): X → Z como (g ∘ f)(x) = g (f(x)), para todos os elementos de X.

${\begin{array}{ccccc}X&\rightarrow &e&\rightarrow &Z\\x&\mapsto &f(x)&\mapsto &g(f(x))\end{array}}$

Tamén se pode representar de graficamente empregando a categoría de conxuntos, mediante un diagrama conmutativo:

Propiedades

• A composición de funcións é asociativa, é dicir:

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

• A composición de funcións en xeral non é conmutativa, é dicir:

$(g\circ f)\neq (f\circ g)$

Por exemplo, dadas as funcións numéricas f(x)=x+1 e g(x)=x², entón f(g(x))=x²+1, mentres que g(f(x))=(x+1)².

• A inversa da composición de dúas funcións é:

$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

Exemplo

Dadas as funcións:

$f(x)=x^{2}\,$

$g(x)=\sin(x)\,$

a función compuesta de g e de f que se expresa:

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(\sin(x))^{2}=\sin ^{2}(x)\,$

A interpretación de (f ∘ g) aplicada á variable x significa que primeiro hai que aplicar g a x, co que se obtén un valor de paso

$z=g(x)=\sin(x)\,$

E despois aplícase f a z para obter

$e=f(z)=z^{2}=\sin ^{2}(x)\,$

Función ben definida

A función composta está ben definida porque cumpre coas dúas condicións de existencia e unicidade, propias de toda función:

1. Condición de existencia: dado x, coñécense (x, f(x)), posto que se coñece a función f, e dado calquera elemento y de B tamén se coñece (y, g(y)), pois se coñece g. Polo tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, e así (g ∘ f) cumpre a condición de existencia.
2. Condición de unicidade: como f e g son funcións ben definidas, para cada x o valor de f(x) é único, e para cada f(x) tamén o é o de g( f(x)).

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Composición de funcións (ampliación).^{[Ligazón morta]}
• "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.