Constante de Boltzmann

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Constante (homónimos).

A constante de Boltzmann (k ou k_B) é a constante física que relaciona temperatura e enerxía. Chámase así polo físico austríaco Ludwig Boltzmann, quen fixo importantes contribucións á teoría da mecánica estatística, na que a constante xoga un papel importante. O seu valor experimental determinado é (en unidades do SI):

$k=\ 1.3806505(24)\times 10^{-23}$ joule/kelvin

$=\ 8.617343(15)\times 10^{-5}$ electrón-voltio/kelvin.

A constante de Stefan-Boltzmann dentro da radiación como mecanismo básico da transmisión de calor é:

$\sigma \approx 5.6697\times 10^{-8}W/m^{2}K^{4}$

Os díxitos entre paréntese son incerteza (distribución normal) nos dous díxitos menos significativos do valor medido. O factor de conversión entre os valores da constante nas dúas unidades de medida expresadas é a magnitude da carga do electrón:

$''q''=1.60217653(14)\times 10^{-19}$ coulombio por electrón

Significado físico

A constante de Boltzmann k é unha ponte entre a física macroscópica e a microscópica. De xeito macroscópico, podemos definir unha escala de temperatura absoluta como o cambio na proporción entre o produto da presión P e o volume V que un gas ideal ocupa á temperatura:

$PV\propto T$

a introdución da constante de Boltzmann transforma a ecuación, dando unha relación entre as propiedades microscópicas das moléculas,

$PV=NkT\,$

onde N é o número de moléculas de gas, e k é a constante de Boltzmann. Isto revela a kT como unha cantidade característica da física microscópica, con dimensións de enerxía, e co significado de volume × presión por molećula.

O valor numérico de k non ten un significado particular que sexa fundamental por si mesmo. Sinxelamente reflicte unha preferencia pola medida da temperatura nos familiares kelvin, baseado nas propiedades físicas observadas de xeito macroscópico na auga. O que é fundamental no senso físico é a enerxía característica kT a unha temperatura dada. O valor numérico de k mide o factor de conversión para evidenciar a enerxía microscópica E na súa relación coa escala derivada de temperaturas observable de xeito macroscópico T = E/k. Se, por exemplo, falamos da temperatura ambiente como 300 K (27 °C ou 80 °F), resulta de xeito inmediato convencionalmente unha enerxía correspondente kT de 4.14·10⁻²¹J, ou 0.026 eV, tomando entón a constante de boltzmann o valor da unidade adimensional.

En principio, os Xulios por kelvin do valor da proporcionalidade da Cte. de Boltzmann poden ser calculados, mellor que medidos, usando a definición de kelvin en termos das propiedades físicas da auga. Porén este cálculo é demasiado complexo para ser feito de xeito adecuado de sxeito corrente.

(Nota: a ecuación dos gases ideais pode tamén ser escrita como

$PV=nRT\,$

onde n = N / N_A, é o número de moléculas dividido polo Número de avogadro, número de moléculas medido en moles, e R = N_A × k, a Constante de Boltzmann multiplicada polo número de Avogadro, chamada Constante dos gases. O Traballo en termos de moles permite manexar mellor as cantidades de substancias de uso diario.

Papel na equipartición da enerxía

Dado un sistema termodinámico cunha temperatura absoluta T, a enerxía térmica debida a cada "grao de liberdade" de cada partícula microscópica é dunha magnitude de kT/2 (i.e., uns 2.07·10⁻²¹J, ou 0.013 eV á temperatura ambiente).

Aplicación á termodinámica dun gas sinxelo

Na Mecánica Clásica estatística, esta media é predicida dun xeito exacto para un gas ideal homoxéneo. Os gases ideais monoatómicos teñen 3 graos de liberdade por partícula atómica, que corresponden coas tres direccións espaciais, o que da unha enerxía total de 1.5kT por cada átomo, o que corresponde moi ben cos datos experimentais (ver Capacidade Calorífica). a enerxía térmica pode usarse para calcular a velocidade cuadrática media dos átomos, que resulta inversamente proporcional á raíz cadrada da masa atómica. Dita velocidade atopada para o valor ambiente de temperatura reflicte isto, indo de 1370 m/s para o helio, a 240 m/s para o xenon.

Podemos amosar a partir da teoría cinética que para un gas ideal a presión media P ven dada por:

$P={\frac {1}{3}}{\frac {N}{V}}m{\overline {v^{2}}}$

Substituíndo a enerxía cinética translacional media:

${\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\frac {3}{2}}kT$

obtendo:

$P={\frac {N}{V}}kT$

Co que chegamos de novo á ecuación do gas ideal.

a ecuación dos gases ideais ten asemade unha validez abondo boa para gases moleculares, pero entón a forma adecuada para a capacidade calorífica é máis ocmplicada, porque as moléculas teñen novos graos de liberdade internos. Así, ós tres graos de liberdade para a translación no caso de átomos, hai que engadirlle outros dous no caso de moléculas diatómicas (correspondentes a rotación do conxunto e vibración).

Papel no factor de Boltzmann

De xeito máis xeral, os sistemas en equilibrio cun reservorio de calor a temperatura T teñen probabilidade de ocupar estados con enerxía E cunha probabilidade que se corresponde co factor de Boltzmann:

$p\propto \exp {\frac {-E}{kT}}$

De novo, é a cantidade kT a que toma unha importancia central como manifestación da enerxía.

Consecuencas do anterior inclúen por exemplo (a parte do resultado mencionado xa para os gases ideais), a ecuación de Arrhenius da Cinética Química.

Papel na definición de entropía

Na mecánica estatística, a entropía S dun sistema illado en equilibrio termodinámico é definido como o logaritmo natural (ou neperiano) de Ω, o número de estados microscópicos diferentes dispoñibles para o sistema, dadas as condicións macroscópicas (como é a enerxía total fixada E):

$S=k\,\ln \Omega .$

Esta ecuación, que relaciona os detalles microscópicos do sistema (vía Ω) ó seu estado macroscópico (vía a entropía S), é a idea central da mecáncia estatística. A súa importancia é tal que está inscrita na tumba de Boltzmann.

A constante de proporcionalidade k aparece en relación coa igualdade entre a entropía na mecánica estatística e a entropía termodinámica de Clausius clásica:

$\Delta S=\int {\frac {dQ}{T}}$

Non embargantes, podería introducirse a entropía como:

${S^{\,'}=\ln \Omega }\;;\;\;\;\Delta S^{\,'}=\int {\frac {dQ}{kT}}$

Hai abondos máis xeitos naturais de facelo; e esta entropía reescalada (adimensional) corresponde de xeito exacto á información entrópica de Shannon, e pode polo tanto evitarse moita confusión innecesaria entre ambas.

Papel na física dos semicondutores

Nos semicondutores, a relación entre o fluxo da corrente eléctrica e o potencial electrostático a traverso dunha unión p-n depende da voltaxe característica chamda voltaxe térmica, notada como V_T. V_T depende da temperatura absoluta T (é dicir, expresada en Kelvin) como:

$V_{T}={kT \over q}$

onde q é a magnitude da carga eléctrica (en culombios) do electrón. A temperatura ambiente (T ≈ 300 K), o valor desta voltaxe é duns 26 milivoltios. Ver tamén Díodos semicondutores.

A Constante de Boltzmann en unidades de Planck

O sistema de unidades naturais de Planck está estruturado de xeito que o valor da constante de Boltzmann é 1. Con iso:

${E={\frac {1}{2}}T}\$

como a enerxía cinética media dunha molécula de gas; así temos a definición de entropía termodinámica coincidente coa da entropía da información:

$S=-\sum p_{i}\ln p_{i}$

O valor escollido para a unidade Planck de temperatura é o correspondente á enerxía da masa de Planck —correspondente a 1.41679·10³² K.

Nota histórica

Aínda que entropía e probabilidade están ligadas en primeiro lugar a Boltzmann 1877, parece que el non deu o paso de expresar a relación cunha constante específica, sendo Max Planck o primeiro en introducir k, e dar un valor exacto, na súa derivación da lei de radicaicón do corpo negro en decembro de 1900. De feito, a icona no sepulcro de Boltzmann é debido a planck.

Como Planck escribiu na conferencia do premio Nobel no 1918: “Esta constante refírese acotío como constante de Boltzmann, aínda que, no que eu coñezo, Boltzmann mesmo nunca a introduciu - unha situación peculiar, que pode explicarse polo feito de que Boltzmann, como resulta de paroladas ocasionais, nunca tivo no pensamento a posibilidade de realizar unha medida exacta da constante. Nada pode ilustrar mellor o paso positivo e axitado do progreso da experimentación estes últimos vinte anos, que o feito que dende entón, descubríronse non só un, senón unha grande cantidade de métodos para medir a masa dunha molécula con practicamente a mesma exactitude que a lograda para a masa dun planeta.” ([1])

Antes de 1900, as ecuacións que implicaban os factores de Boltzmann non foron escritas usando as enerxías da molécula e a constante de Boltzmann, senón coa constante dos gases ideais R, e as enerxías macroscópicas para as cantidades macroscópicas da substancia.