Curva de Koch

A curva de Koch, folerpa de neve de Koch ou estrela de Koch é unha curva xeométrica e un dos primeiros fractais en seren descritos. Aparece por primeira vez nun artigo de 1906, titulado "Une méthode geométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courves planes", de autoría do matemático sueco Helge von Koch.

As sete primeiras iteracións da curva ou folerpa de neve de Koch.

Construción

Constrúese a partir dun triángulo equilátero. Eric Haines desenvolveu o mesmo concepto en tres dimensións, o que resultou nun fractal con volume dunha folerpa de neve.

Podemos imaxinar a súa construción a partir dun segmento de recta que será sometido a alteracións recorrentes (iteracións), como se describe a continuación:

1. Divídese o segmento de recta en tres segmentos de igual lonxitude.
2. Deséñase un triángulo equilátero (facendo un ángulo de π/3 radiáns, ou sexa, 60 graos), en que o segmento central, referido no primeiro paso, servirá de base.
3. Apágase o segmento que serviu de base ao triángulo do segundo paso.

Despois de facer isto, o resultado será semellante á sección lonxitudinal dun sombreiro de bruxa.

Procedendo da mesma forma para cada un dos catro segmentos que fican, fórmanse 16 novos segmentos máis pequenos.

A curva de Koch é o límite para o que tende esta construción, repetindo as operacións referidas, sucesivamente, para cada segmento.

A seguinte figura representa as seis primeiras etapas de construción. A última curva é unha boa aproximación da curva final.

Se considerarmos cada paso, notamos que para pasar dunha liña para a seguinte, substituímos tres segmentos por catro de igual lonxitude, ou sexa, a lonxitude total multiplícase por 4/3. O límite da sucesión xeométrica de razón 4/3 é o infinito, o que significa que a figura final (ou para que tende esta sucesión) terá unha lonxitude infinita (designado por Mandelbrot como "infinito interno").

Esta característica, típica dos fractais, sumada ao feito de que a curva parece ter unha certa espesura debido ás constantes mudanzas de dirección, suxire que esta figura non é realmente unidimensional (non é exactamente unha liña, dotada só de lonxitude). A súa dimensión estará entre 1 (da recta) e 2 (do plano). Observando a figura: se ampliásemos (a través dunha homotecia ) tres veces a sección A'B' obteríamos exactamente a sección AB. Na curva final é fácil verificar que a sección A'C é catro veces superior á AB.

Sábese que unha homotecia de razón tres multiplica as lonxitudes por 3, as superficies por 3² = 9, e os volumes por 3³ = 27 (o que, xeneralizando, permite calcular o "volume" dun obxecto de dimensión d por 3^d). Entón, como temos 3^d = 4 para a curva de Koch (como se viu no parágrafo anterior), dá:
d = log. 4 /log. 3 = 1,26186...