Fracción (matemáticas)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Fracción.

En matemáticas, unha fracción (do latín fractus, -a, um, 'roto', adxectivo que é o participio pasado de frango, frēgi, fractum, 'romper', 'quebrar') é a expresión dunha cantidade dividida entre outra.

Diversas fraccións poden ter o mesmo valor (chamadas fraccións equivalentes); o conxunto de todas as fraccións equivalentes denomínase número racional. É a división racional que hai entre o numerador e o denominador.

Vocabulario

Nunha fracción, o numerador é o termo matemático que define ao número dunha fracción que representa o número de partes congruentes que se consideraron despois de dividir a unidade (sempre maior que 0) en tantas partes iguais como indica o denominador.

A fracción quedará claramente definida mediante a parella de termos numerador e denominador. Normalmente, ámbolos dous aparecen xuntos para representar á fracción e son distinguíbeis pola súa localización na fracción: o numerador ocupa unha posición superior e o denominador, inferior. No caso de atoparse ámbolos dous á mesma altura, ocuparán as posicións de esquerda e dereita, respectivamente.

Pódese dicir que o denominador dá nome, denomina, á fracción, e clasifícaa como: medio, terzo, cuarto, quinto, sexto, dezaseisavo, etc. segundo se o seu denominador é 2,3,4,5,6,16, etc.

${\frac {3}{4}}+{\frac {1}{4}}=1$ tres cuartos máis un cuarto

Representación das fraccións

As fraccións pódense representar de diversas formas; así, a fracción "tres dividido entre catro", "tres entre catro", "tres partido por catro" ou "tres cuartos" pode escribirse de calquera destas formas:

• ${\dfrac {3}{4}}$
• 3 ÷ 4
• 3 : 4
• 3 / 4
• ³/₄ (¾)

Neste exemplo, o número 3 chámase numerador e o 4 denominador. As fraccións son números racionais, o que significa que o numerador e o denominador son números enteiros. O seu valor, en forma decimal, é 0,75, o mesmo resultado que se obtén ao dividir 3 entre 4.

No caso dunha representación gráfica, pódese trazar un círculo dividido en catro partes iguais, das que se retiraría unha das catro partes: as tres partes sobrantes representan a fracción ¾.

Clasificación das fraccións

Cronoloxía

Ano	Acontecemento
1800 a. C.	Os babilonios utilizan fraccións.
1650	Os exipcios fan uso de fraccións de unidade.
100 d. C.	Os chineses inventan un sistema que permite calcular con fraccións.
1202	Leonardo de Pisa (Fibonacci) difunde a notación de fracción con barra.
1585	Simon Stevin expón unha teoría sobre as fraccións decimais.
1700	Uso xeneralizado da liña fraccionaria.

Existen diversas formas para clasificar as fraccións, entre as que están as seguintes:

• Segundo a relación entre o numerador e o denominador:
  • Fracción propia: fracción que ten o denominador maior que o numerador: ⅓, ⅜, ¾…
  • Fracción impropia: fracción na que o numerador é maior que o denominador: ¹³/₆, ¹⁸/₈, ⁵/₂…
• Segundo a relación entre os denominadores:
  • Fraccións homoxéneas: fraccións que teñen o mesmo denominador: ¼ e ¾
  • Fraccións heteroxéneas: fraccións que teñen diferentes denominadores: ¼ e ⅔
• Segundo a relación entre o numerador e o denominador:
  • Fracción reducíbel: fracción na que o numerador e o denominador non son primos entre si e pode simplificarse: ⁶/₁₂
  • Fracción irredutíbel: fracción na que o numerador e o denominador son primos entre si e, por tanto, non pode simplificarse: ½
• Outras clasificacións:
  • Fracción unitaria: fracción común de numerador 1.
  • Fracción exipcia: sistema de representación das fraccións no antigo Exipto no que cada fracción se expresa como suma de fraccións unitarias.
  • Fracción aparente ou enteira: fracción que representa calquera número pertencente ao conxunto dos enteiros: ³/₃=1, ¹⅔=4…

Exemplo de fracción aparente.

• • Fracción decimal: fracción cuxo denominador é unha potencia de dez. Tamén pode ser unha fracción expresada en base 10, en contraposición coas fraccións binarias e demais, que están expresadas noutros sistemas de numeración.
  • Fracción mixta: suma dun enteiro e unha fracción propia. As fraccións mixtas pódense expresar como fraccións impropias: 3¼
  • Unha fracción irracional é, dado que todas as fraccións deben poder ser expresadas como fraccións vulgares, un termo autocontraditorio. Un número irracional é, por definición, non racional, é dicir, non pode expresarse como unha fracción vulgar.
  • Unha fracción continua é unha expresión como esta:

$x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}$

onde os a_i son enteiros positivos.

• • Fracción composta: fracción cuxo numerador ou denominador (ou os dous) contén á súa vez fraccións.
  • Fracción parcial: fracción que pode usarse para descompoñer unha función racional.
  • Fracción como razón: fracción que serve para responder á pregunta en que relación están?, xa que pon de manifesto a relación que manteñen un par de números que poden provir dunha comparación.

Fracción dunha cantidade

De querermos dividir unha cantidade en varias partes e indicar un número destas partes, podemos facelo mediante fraccións, dividindo a cantidade polo denominador e multiplicando o resultado polo numerador. Así, se queremos indicar ¾ (tres cuartos, ou tres cuartas partes) de 453, hai que dividir 453 entre o denominador (neste caso, 4) e multiplicar o resultado polo numerador (neste caso, 3). O número obtido é a fracción que queremos indicar.

Operacións con fraccións

Amplificación e simplificación de fraccións

A amplificación dunha fracción consiste en multiplicar o numerador e o denominador por un mesmo número enteiro. Da mesma maneira, a simplificación dunha fracción consiste en dividir o numerador e o denominador entre un mesmo número enteiro, que xeralmente será un dos seus factores comúns. En ambos os casos, obtense unha fracción equivalente.

Exemplos:

• ${\frac {2}{3}}={\frac {2\cdot 4}{3\cdot 4}}={\frac {8}{12}}$ (Nesta amplificación da fracción ⅔, multiplícase numerador e denominador por 4)
• ${\frac {10}{25}}={\frac {\frac {10}{5}}{\frac {25}{5}}}={\frac {2}{5}}$ (Aquí simplifícase 10/25 a ⅖ dividindo numerador e denominador entre 5)

Comparación de fraccións

A comparación de dúas fraccións utilízase para comprobar cal é maior. Existen varios métodos:

1. O método xeral consiste en amplificar as dúas fraccións de modo que teñan o mesmo denominador (por exemplo, que teñan o mínimo común múltiplo (MCM) das fraccións orixinais.
   • Por exemplo, para ${\frac {5}{12}}$ e ${\frac {3}{8}}$, o MCM de 12 e 8 é 24, polo que bastaría con multiplicar (amplificar) a primeira fracción nun factor de 2 e a segunda nun factor de 3. Obtense ${\frac {5}{12}}={\frac {10}{24}}$, que é maior que ${\frac {3}{8}}={\frac {9}{24}}$
2. Se o numerador das dúas fraccións é o mesmo, a fracción co menor denominador é maior cá outra. Isto é bastante natural: se temos dúas tortas iguais, unha para repartir entre máis persoas que a outra, a que se reparta entre menos persoas estará partida en porcións máis grandes.
3. Se o denominador das dúas fraccións é o mesmo, a fracción co maior numerador é maior cá outra.

Suma e resta de fraccións

Para sumar ou restar fraccións, temos dous casos:

Teñen o mesmo denominador

Entón súmanse ou réstanse os numeradores e deixase o denominador común.

• Exemplo 1: ${\frac {2}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {5}{7}}$

É posíbel que o resultado poida simplificarse.

• Exemplo 2: ${\frac {7}{12}}-{\frac {1}{12}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}$

Teñen distinto denominador

Entón hai que amplificar as fraccións para que teñan o mesmo denominador e despois sumar (ou restar).

• Fórmula típica para a suma: ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}$
• Fórmula típica para a resta: ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}-{\frac {bc}{bd}}={\frac {ad-bc}{bd}}$
• Exemplo 1: ${\frac {2}{7}}+{\frac {1}{3}}={\frac {6}{21}}+{\frac {7}{21}}={\frac {6+7}{21}}={\frac {13}{21}}$

Observación: En realidade, non fai falta amplificar as fraccións de modo que o denominador resultante sexa o produto dos denominadores das fraccións iniciais. Basta con tomar o mínimo común múltiplo dos denominadores:

• Fórmula para a suma: ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot {\frac {mcm(b,d)}{b}}+c\cdot {\frac {mcm(b,d)}{d}}}{mcm(b,d)}}$
• Fórmula para a resta: ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot {\frac {mcm(b,d)}{b}}-c\cdot {\frac {mcm(b,d)}{d}}}{mcm(b,d)}}$
• Exemplo 2: ${\frac {7}{8}}-{\frac {5}{12}}={\frac {7\cdot 3-5\cdot 2}{24}}={\frac {21-10}{24}}={\frac {11}{24}}$

Ao final da operación, pode que sexa preciso realizar outra simplificación.

Produto e cociente de fraccións

Para multiplicar dúas fraccións basta con multiplicar os numeradores por unha parte e os denominadores por outra:

• Fórmula para o produto: ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}$
• Exemplo: ${\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{2}}={\frac {3\cdot 5}{4\cdot 2}}={\frac {15}{8}}$

No cociente de fraccións, o numerador da fracción resultante é o produto do numerador da fracción dividindo polo denominador da fracción divisor, mentres que o denominador é igual ao denominador da fracción dividendo multiplicado polo numerador da fracción divisor. Outra maneira de imaxinalo é que dividir entre un número é o mesmo que multiplicar polo inverso dese número, polo que o cociente entre dúas fraccións é igual ao produto da primeira fracción polo inverso da segunda:

• ${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$

Véxase tamén

Outros artigos

• Número racional.

Ligazóns externas

• Operacións con fraccións (en castelán).