Dodecaedro

Un dodecaedro (do grego δώδεκα, ‘doce’ e ἕδρα; ‘asento’, ‘posición’, en xeometría ‘cara’) é un poliedro de doce caras, convexo ou cóncavo. As súas caras han de ser polígonos de once lados ou menos. Se as doce caras do dodecaedro son pentágonos regulares, iguais entre si, o dodecaedro é convexo e denomínase regular, sendo entón un dos chamados sólidos platónicos.

Recentes investigacións científicas propuxeron que o espazo dodecaédrico de Poincaré sería a forma do Universo e no ano 2008 estimouse a orientación óptima do modelo no ceo.

Dodecaedro regular

Modelo para armar un dodecaedro regular.

Cálculo de dimensións fundamentais

• Radio externo: $r_{u}={\frac {\sqrt {6}}{4}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}\cdot a\approx 1.401258538\cdot a$
• Radio interno: $r_{i}={\frac {a}{4}}{\sqrt {\frac {50+22{\sqrt {5}}}{5}}}\approx 1.113516364\cdot a$

En todo poliedro regular, o número de caras máis o número de vértices, é igual ao número de arestas máis 2. Coñécese como característica de Euler, unha propiedade topolóxica.

$C+V=A+2\,$

onde: C = número de caras; V = número de vértices; A = número de arestas

Área

Animación dun dos desenvolvementos do dodecaedro.

A área total das súas caras, A (que é 12 veces a área dunha delas, A_c) é igual a:

$A=12\cdot {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}\cdot a^{2}=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\cdot a^{2}\approx 20,65\cdot a^{2}$

Tamén se pode calcular con esta fórmula baseada en parte na trigonometría:

$A={\frac {15l^{2}}{tan36^{o}}}$

Volume

Para un dodecaedro de aresta A, pódese calcular o seu volume V mediante a seguinte fórmula:

$V={\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\cdot a^{3}\approx 7,66\cdot a^{3}$

Ángulos diedros

Os ángulos entre cada par de caras son:

$\alpha =180-\arccos \left(\tan {18}\times \tan {54}\right)=116,57^{o}$

Propiedades particulares

Simetría

Dado dun xogo de rol en forma de dodecaedro.

Un dodecaedro regular ten seis eixes de simetría de orde cinco, as rectas que unen os centros de caras opostas; quince eixes de simetría de orde dous, as rectas que unen os centros de arestas opostas; quince planos de simetría, que conteñen cada parella de arestas opostas coplanarias; e un centro de simetría. Isto fai que este corpo teña unha orde de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).

Os elementos de simetría anteriores definen un dos grupos de simetría icosaédricos, o denominado I_h segundo a notación de Schöenflies.

O dodecaedro ten tamén dez eixes de simetría de orde tres: as rectas que unen cada par de vértices opostos. Subdividindo cada cara do dodecaedro en triángulos pódense construír domos xeodésicos.

Aplicacións

Nos xogos de rol o dado de doce caras é un dodecaedro regular. A súa notación escrita es «D12». Úsanse dodecaedros de Rubik e calendarios dodecaedros. Tamén é a forma máis usual para a construción das fontes sonoras omnidireccionais usadas para realizar ensaios acústicos de illamento a ruído aéreo.

Véxase tamén

Outros artigos

• Dodecaedro romo
• Dodecaedro truncado
• Dodecaedro triaumentado