Infinito

O infinito ou infindo é o concepto de falta de límite e falta de fronteira no tamaño, cantidade ou extensión.

Tipos

Pódese distinguir entre infinito potencial e infinito real.

Infinito potencial é usado para procesos que poden, en principio, continuar para sempre, ou para obxectos que poden, en principio, medrar sen parar. Por exemplo, a secuencia 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... é potencialmente infinita: é doado ver como estendela para alén de toda fronteira. En matemáticas, se unha función medra máis que calquera valor cando o argumento se aproxima a un valor dado, dicimos que o límite é infinito, que se representa co símbolo $\infty$ . O anterior é tamén un exemplo de infinito potencial. O concepto de infinito potencial acéptase xeralmente e non presenta controversias.

Por outro lado, discútese se unha entidade completa e existente pode ter tamaño infinito, que se pode chamar infinito real, ou infinito completo. En matemáticas, os conxuntos infinitos reais foron primeiramente considerados por Georg Cantor. En 1873 atopou moita resistencia. Cantor foi alén e observou que os conxuntos infinitos poden mesmo ter tamaños diferentes, distinguindo entre conxuntos infinitos contables e incontables, e desenvolveu a súa teoría de números cardinais baseado nesta observación. A súa visión prevaleceu e as matemáticas modernas aceptan o infinito real. Certos sistemas numéricos estendidos, tales como os números surreais, incorporan os números (finitos) ordinarios e os números infinitos de diferentes tamaños.

A nosa intuición aprendida con conxuntos finitos falla cando lidamos con conxuntos infinitos. Un exemplo é o Paradoxo do Grand Hotel de Hilbert.

Un cuestión intrigante é se o infinito real existe no noso universo físico: Existen infinitas estrelas? O universo ten volume infinito? O espazo medra sen parar? Esta é unha importante cuestión aberta en cosmoloxía. Observe que a cuestión de ser infinito está loxicamente separada da de non ter fronteiras. A superficie bidimensional da Terra, por exemplo, é finita, aínda que non teña fronteiras. Se se anda/navega/dirixe en liña recta, retórnase ao punto exacto da partida. O universo, polo menos a principio, podería operar de forma similar; se se saíse cunha súa nave espacial sempre na mesma dirección e se voase tempo suficiente, talvez pase exactamente polo punto de onde saíu.

Outra cuestión é se o concepto matemático de infinito ten algunha relación co concepto relixioso de Deus. Esta cuestión foi feita tanto por Cantor, co seu concepto de Infinito Absoluto que el igualaba a Deus, como tamén por Kurt Gödel coa súa "proba ontolóxica" da existencia dunha entidade que el relacionaba con Deus.

Teoría de conxuntos

Os conxuntos finitos teñen unha propiedade "intuitiva" que os caracteriza: "dada unha parte propia dos mesmos, esta contén un número de elementos menor que todo o conxunto". É dicir, non pode establecerse unha bixección entre unha parte propio do conxunto finito e todo o conxuntos. Porén, esa propiedade non a teñen os conxuntos infinitos, e dise formalmente que :

Un conxunto $A\;$ é infinito se existe un subconxunto propio $B\;$ de $A\;$ , é dicir, un subconxunto $B\subset A$ tal que $A\neq B$ , tal que existe unha bixección $f:A\to B$ entre $A\;$ e $B\;$ .

A idea de cardinalidade dun conxunto baséase nesta noción de bixección. Dos conxuntos entre os que se pode establecer unha bixección dise que que teñen a mesma cardinalidade. Para un conxunto finito a súa cardinalidade pode representarse por un número natural.

Primeira definición positiva de conxunto infinito

A primeira definición positiva de conxunto infinito foi dada por Georg Cantor e baséase na seguinte observación: se un conxunto S é finito e T é un subconxunto propio, non é posible construír unha bixección entre S e T. Por exemplo, se S = {1,2,3,4,5,6,7,8} e T = {2,4,6,8} non é posible construír unha bixección entre S e T, porque de ser así terían a mesma cardinalidade.

Un conxunto é infinito se é posible encontrar un subconxunto propio do mesmo que teña a mesma cardinalidade que o conxunto orixinal. Consideremos o conxunto dos números naturais ℕ={1,2,3,4,5,...}, que é un conxunto infinito. Para verificar esta afirmación é necesario atopar un subconxunto propio e construír unha bixección entre ambos. O conxunto dos enteiros positivos pares P={2,4,6,8,10,...} é un subconxunto propio de ℕ, e a regra de asignación $n\to 2n$ é unha bixección:

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}N&\leftrightarrow &P\\1&\leftrightarrow &2\\2&\leftrightarrow &4\\3&\leftrightarrow &6\\4&\leftrightarrow &8\end{bmatrix}}.

xa que a todo elemento de ℕ lle corresponde un único elemento de P e viceversa.

Números ordinais infinitos

Os números ordinais serven para indicar unha posición nun conxunto ordenado (primeiro, segundo, terceiro elemento...). O exemplo máis é o dos números naturais, que se definen rigurosamente así: Denótase $0\,$ o conxunto baleiro:

$0=\{\}=\varnothing$

denótase $1\,$ o conxunto que só contén $0\,$ :

$1=\{0\}=\{\varnothing \}$

logo denótase $2\,$ o conxunto que só contén $0\,$ e $1\,$ :

$2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$

E así sucesivamente:

$3=\{0,1,2\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\},\qquad (n+1)=n\bigcup \{n\}$

Por construción, 0 está incluído en 1, que á súa vez está incluído 2, xa que obviamente:

$n\subseteq n\bigcup \{n\}=(n+1)$

A inclusión permite converter os ordinais nun conxunto ben ordenado (dous elementos distintos sempre se poden comparar) entre estes conxuntos que se prefire, por costume, escribir "<", o que dá as relacións 0 < 1 < 2 < 3. Dicir que un ordinal é (estritamente) menor ca outro significa, cando se consideran ambos como conxuntos, que está incluído no outro.

Se a e b son ordinais, entón aUb, a unión dos conxuntos, tamén é un ordinal. En particular, se son ordinais finitos (conxuntos finitos) correspondentes aos naturais a e b, entón a∪b corresponde ao maior dos dous, a ou b. En xeral, se os conxuntos a_i son ordinais, onde i toma todos os valores dun conxunto I, entón a = ∪a_i tamén o será e se o conxunto I non é finito, tampouco o será a. Obtéñense así ordinais infinitos.

Co fin de formalizar adecuadamente a discisión, é necesario definir rigurosamente a noción de "infinito", para podelo aplicar aos ordinais. Dous conxuntos ben ordenados A e B son isomorfos (con relación á orde) se existe unha función bixectiva f entre ambos que respecta a orde: se a < a' en A, entón f(a) < f(a) en B. Resulta obvio constatar que se A é un conxunto ordenado con n elementos (n enteiro natural) entón A é isomorfo a_n = {0, 1, 2, ..., n-1}. Abonda con renomear cada elemento de A para obter A = {a₀, a₁, a₂, ..., a_n-1}. Un isomorfismo é simplemente un cambio de nome. Un ordinal é finito se cada unha das súas partes non baleiras ten un elemento máximo; polo tanto todo natural é un ordinal finito. Dise que un conxunto ordenado é finito se é isomorfo a un ordinal finito, us sexa a un natural.

Para introducir os ordinais infinitos, é preciso dar a definición exacta dun ordinal:

Un conxunto A totalmente ordenado (pola inclusión) é un ordinal se e só se cada elemento de A é tamén un subconxunto de A

Xa se viu que é o caso dos naturais: por exemplo, o conxunto 2 = {0, 1} admite 1= {0}, como elemento e polo tanto tamén como subconxunto.

Todo conxunto ben ordenado é isomorfo a un ordinal. Isto é obvio no caso finito, e demóstrase por indución transfinita que o é no caso infinito. Ou sexa, renomeando os elementos dun conxunto ben ordenado sempre obtemos un ordinal.

Primeiro ordinal infinito

Se tomamos unha unión finita de ordinais finitos, fabricamos un ordinal finito. Para obter o primeiro ordinal infinito temos que reunir un número non finito de ordinais finitos. Facéndoo sempre se cae no mesmo conxunto, construído cando se reúnen todos os ordinais finitos, é dicir os naturais. O conxunto de todos os naturais, ℕ, é entón o primeiro ordinal infinito, e notarase neste contexto ω (omega).

Para visualizar os ordinais, resulta práctico representar cada un por un punto dunha sucesión crecente converxente, como por exemplo u_n = 1 - 1/(n+1). Isto dá algo semellante a:

X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX........

Escollamos un punto da sucesión, e miremos cantos puntos están máis á esquerda. No exemplo hai catro, e polo tanto trátase de u₄, o que corresponde ao ordinal 4. Para representar o ordinal w, resulta natural engadir á sucesión previa un punto 'O' situado exactamente no límite da sucesión:

X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...O

Á esquerda de u_ω hai unha infinidade de puntos e polo tanto ω é infinito. Se escollemos calquera outro punto da sucesión á súa esquerda xa non ocorre o mesmo, o que proba que ω é o primeiro ordinal infinito. Despois de ω aparecerían ω+1, ω+2… que se representan engadindo á dereita un ou máis puntos, ao principio afastados e logo máis próximos entre si:

X________X________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...O_______X_____X

O último punto debuxado corresponde a ω+2.

Máis xeralmente, para sumar dous ordinais A e B cámbianse os nomes dos elementos para que sexan todos distintos e logo xúntanse os conxuntos A e B, poñendo B á dereita de A, é dicir impoñendo que cada elemento de B sexa maior que todos os de A. Construímos así ω+1… e podemos construír tamén así 1+ω, denotando Y o elemento de 1 e X os de ω:

Y__________X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...

A simple vista obsérvase que ω e 1+ω son moi similares e de feito a función x →x - 1 é un isomorfismo entre eles (1+ω ten dous elementos chamados 0: 0_A e 0_B. O primeiro fai o papel de -1 na función). Polo tanto corresponden ao mesmo ordinal: 1+ω = ω. Ese non é o caso de ω+1, que é distinto de ω porque o seu conxunto ω+1 ten un elemento máximo (O, no debuxo) mentres que o conxunto ω non o ten (o límite dos naturais non é natural).

O punto ω (o O do debuxo) non ten antecesor, é dicir, non existe un n tal que n+1=ω: dise que ω é un ordinal límite. Cero ten tamén esta propiedade, mais non merece este nome. Como ω +1 ≠ 1+ ω, a adición non é conmutativa nos ordinais.

Do mesmo modo se constrúe ω + ω que se nota loxicamente 2ω. A multiplicación defínese a partir da adición como para os naturais.

Unha vez que se representou nω, con n natural, non resulta difícil imaxinar o que será ω•ω, escrito ω². Logo pódese definir ωⁿ, con n natural, e tomando o límite, ω^ω, ten tantos elementos como a recta real.

A sucesión $\omega ^{\omega ^{{\dots }^{\omega }}}$ ten como límite $\varepsilon _{0}$ .

Números cardinais infinitos

O cardinal dun conxunto é o número de elementos que contén. Esta noción é polo tanto distinta do ordinal, que caracteriza o lugar dun elemento nunha sucesión. "Cinco" difire de "quinto" aínda que obviamente existe unha relación entre ambos. Dise que dous conxuntos teñen o mesmo cardinal se existe unha bixección entre eles. Contrariamente aos ordinais, esta bixección non ten que respectar a orde (ademais, os conxuntos non teñen que ser ordenados).

Como xa se ten unha variedade de conxuntos (os ordinais) pódense ver os seus cardinais respectivos. Os ordinais finitos tamén son cardinais: entre dous conxuntos con n e m elementos, m e n distintos, non pode haber bixección, polo que teñen cardinais distintos. Pero este non é o caso dos ordinais infinitos: Por exemplo, $\omega$ e $\omega +1$ están en bixección pola función:

\omega +1\to \omega

x\to x+1

e

\omega \to 0

, esta bixección non respecta a orde e por iso dous ordinais distintos poden corresponder a un mesmo cardinal.

Adoita denotarse #A o cardinal de A. Chámase $\aleph _{0}$ (alef₀) o cardinal de ω, ou sexa o cardinal do conxunto dos naturais. Alef (א) é a primeira letra do alfabeto hebreo.

Se A e B son conxuntos, entón # (A × B) = #A • #B</math>, onde × designa o produto cartesiano dos conxuntos e "•" é o produto dos cardinais definidos por esta fórmula. O conxunto das partes dun conxunto A, P(A) está en bixección co conxunto das funcións de A a {0,1}, conxunto que se escribe como 2^A, como caso particular de Y^X que denota o conxunto das aplicacións de X en Y.

O cardinal de ℝ, conxunto dos reais, é polo tanto $2^{\aleph _{0}}$ , porque ℝ está en bixección coas partes de ℕ, por medio da escritura decimal dos reais.

Non se pode decidir, cos axiomas clásicos se existe un cardinal maior que $\aleph _{0}$ e menor que $2^{\aleph _{0}}$ , é dicir se existe un conxunto con máis elementos que ℕ pero con menos elementos que ℝ. A hipótese do continuo, que é un axioma adicional, considera que non.