Número hiperreal

En matemáticas, os números hiperreais son unha extensión dos números reais para incluír certas clases de números infinitos e infinitesimais.^[1] Un número hiperreal $x$ dise que é finito se, e só se, $|x|<n$ para algún número enteiro $n$ .^[1]^[2] $x$ dise que é infinitesimal se, e só se, $|x|<1/n$ para todos os números enteiros positivos $n$ .^[1] ^[2] O termo "hiperreal" foi introducido por Edwin Hewitt en 1948.

Os números hiperreais satisfán o principio de transferencia, unha versión rigorosa da lei heurística de continuidade de Leibniz. O principio de transferencia afirma que as afirmacións verdadeiras de primeira orde sobre R tamén son válidas en *R.^[3] Por exemplo, a lei conmutativa da suma, x + y = y + x, vale para os hiperreais igual que para os reais; xa que R é un corpo pechado real, tamén o é *R. Posto que $\sin({\pi n})=0$ para todos os números enteiros n, tamén se ten $\sin({\pi H})=0$ para todos os hiperenteiros $H$ . O principio de transferencia das ultrapotencias é unha consecuencia do teorema de Łoś de 1955.

A aplicación dos números hiperreais e en particular o principio de transferencia a problemas de análise chámase análise non estándar. Unha aplicación inmediata é a definición dos conceptos básicos da análise como a derivada e a integral de forma directa, sen pasar por complicacións lóxicas de múltiples cuantificadores. Así, a derivada de f(x) pasa a ser $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ por un infinitesimal $\Delta x$ , onde st(⋅) denota a función parte estándar, que "redondea" cada hiperreal finito ao real máis próximo. Do mesmo xeito, a integral defínese como a parte estándar dunha suma infinita adecuada.

Principio de transferencia

A idea do sistema hiperreal é estender os números reais R para formar un sistema *R que inclúa números infinitesimais e infinitos, mais sen mudar ningún dos axiomas elementais da álxebra. Calquera declaración da forma "para calquera número x ..." que é certo para os reais tamén é certa para os hiperreais. Por exemplo, o axioma que indica "para calquera número x, x + 0 = x " aplica para ambos os sistemas. O mesmo é certo para a cuantificación de varios números, por exemplo, "para calquera número x e y, xy = yx." Esta capacidade de trasladar enunciados dos reais aos hiperreais chámase principio de transferencia. Non obstante, as declaracións da forma "para calquera conxunto de números S ..." non poden transferirse. As únicas propiedades que difiren entre os reais e os hiperreais son aquelas que dependen da cuantificación sobre conxuntos ou outras estruturas de nivel superior, como funcións e relacións, que normalmente se constrúen a partir de conxuntos. Cada conxunto, función e relación real ten a súa extensión hiperreal natural, satisfacendo as mesmas propiedades de primeira orde. Os tipos de oracións lóxicas que obedecen a esta restrición na cuantificación denomínanse enunciados na lóxica de primeira orde.

O principio de transferencia, porén, non significa que R e *R teñan un comportamento idéntico. Por exemplo, en *R existe un elemento ω tal que

1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .

mais non hai tal número en R. (Noutras palabras, *R non é Arquimediano.) Isto é posíbel porque a inexistencia de ω non se pode expresar como un enunciado de primeira orde.

Uso na análise

Diferenciación

Un dos usos fundamentais do sistema numérico hiperreal é dar un significado preciso ao operador diferencial d como o emprega Leibniz para definir a derivada e a integral.

Para calquera función de valor real $f,$ o diferencial $df$ defínese como un mapa que envía cada par ordenado $(x,dx)$ (onde $x$ é real e $dx$ é infinitesimal distinto de cero) a un infinitesimal

df(x,dx):=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\ dx.

Teña en conta que a propia notación " $dx$ " usada para denotar calquera infinitesimal é consistente coa definición anterior do operador $d,$ pois se interpretamos $x$ (como se fai habitualmente) como a función $f(x)=x,$ entón para cada $(x,dx)$ o diferencial $d(x)$ será igual ao infinitesimal $dx$ .

Unha función con valor real $f$ dise que é diferenciábel nun punto $x$ se o cociente

{\frac {df(x,dx)}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)

é o mesmo para todos os infinitesimais distintos de cero $dx.$ Se é así, este cociente chámase derivada de $f$ en $x$ .

Por exemplo, para atopar a derivada da función $f(x)=x^{2}$ , sendo $dx$ un infinitesimal distinto de cero. Entón,

${\frac {df(x,dx)}{dx}}$	$=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)$
	$=2x$

Integración

Outro uso clave do sistema numérico hiperreal é dar un significado preciso ao signo integral ∫ usado por Leibniz para definir a integral definida.

Para calquera función infinitesimal $\ \varepsilon (x),\$ pódese definir a integral $\int (\varepsilon )\$ como un mapa enviando calquera triplo ordenado $(a,b,dx)$ (onde $\ a\$ e $\ b\$ son reais, e $\ dx\$ é infinitesimal do mesmo signo que $\,b-a$ ) ao valor

\int _{a}^{b}(\varepsilon ,dx):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\ dx)\right),

onde $\ N\$ satisfai calquera número hiperenteiro $\ \operatorname {st} (N\ dx)=b-a.$

Unha función con valor real $f$ dise entón que é integrábel nun intervalo pechado $\ [a,b]\$ se para calquera infinitesimal distinto de cero $\ dx,\$ a integral

\int _{a}^{b}(f\ dx,dx)

é independente da escolla de $\ dx.$ Se é así, esta integral chámase integral definida (ou antiderivada) de $f$ en $\ [a,b].$

Isto mostra que usando números hiperreais, a notación de Leibniz para a integral definida pode ser interpretada realmente como unha expresión alxébrica significativa (do mesmo xeito que a derivada pode ser interpretada como un cociente significativo).

Propiedades

Os hiperreais * R forman un corpo ordenado que contén os reais R como subcorpo. A diferenza dos reais, os hiperreais non forman un espazo métrico estándar, mais en virtude da súa orde levan unha topoloxía de orde.

A condición de ser un corpo hiperreal é máis forte que a de ser un corpo pechado real que contén estrictamente R. Tamén é máis forte que o de ser un corpo superreal no sentido de Dales e Woodin.^[4]

Propiedades dos números infinitesimais e infinitos

Os elementos finitos F de *R forman un anel local, e de feito son un anel de valoración, sendo o único ideal máximo S os infinitesimais; o cociente F/S é isomorfo aos reais. Polo tanto, temos unha correspondencia homomorfa, st(x), de F a R cuxo kernel está formado polos infinitesimais e que envía cada elemento x de F a un único número real cuxa diferenza de x está en S; é dicir, é infinitesimal. Dito doutro xeito, todo número real finito non estándar está "moi preto" dun número real único, no sentido de que se x é un real finito non estándar, entón existe un e só un número real st(x) tal que x – st(x) é infinitesimal. Este número st(x) chámase parte estándar de x, conceptualmente igual que x ao número real máis próximo. Esta operación é un homomorfismo que preserva a orde e, polo tanto, ten un bo comportamento tanto alxébricamente como teoricamente. É conservador da orde aínda que non isotónico; é dicir $x\leq y$ implica $\operatorname {st} (x)\leq \operatorname {st} (y)$ , mais $x<y$ non implica $\operatorname {st} (x)<\operatorname {st} (y)$ .

Temos, se x e y son finitos,

\operatorname {st} (x+y)=\operatorname {st} (x)+\operatorname {st} (y)

.

\operatorname {st} (xy)=\operatorname {st} (x)\operatorname {st} (y)

.

Se x é finito e non infinitesimal,

\operatorname {st} (1/x)=1/\operatorname {st} (x)

.

x é real se e só se

\operatorname {st} (x)=x

.

O mapa st é continuo con respecto á topoloxía de orde nos hiperreais finitos; de feito é localmente constante.

Corpos hiperreais

Supoñamos que X é un espazo de Tychonoff, tamén chamado espazo T_3.5, e que C(X) é a álxebra das funcións continuas de valores reais en X. Supoña que M é un ideal máximal en C(X). Entón a álxebra cociente A = C(X)/M é un corpo F totalmente ordenado que contén os reais. Se F contén estritamente R, entón M chámase ideal hiperreal (terminoloxía debida a Heitt (1948)) e F un corpo hiperreal. Teña en conta que non se está a supoñer que a cardinalidade de F sexa maior que R; de feito pode ter a mesma cardinalidade.

Notas

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Weisstein, Eric W. "Hyperreal Number". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 2024-03-20.
↑ ^2,0 ^2,1 Robinson, Abraham (1979). Selected papers of Abraham Robinson. 2: Nonstandard analysis and philosophy (en inglés). New Haven: Yale Univ. Press. p. 67. ISBN 978-0-300-02072-4.
↑ Dauben, Joseph Warren (1995). Abraham Robinson: the creation of nonstandard analysis: a personal and mathematical odyssey. Princeton legacy library. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. p. 474. ISBN 978-0-691-03745-5.
↑ Woodin, W. H.; Dales, H. G. (1996). Super-real fields: totally ordered fields with additional structure. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853991-9.

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Crowell, Brief Calculus. Un texto sobre infinitesimais.
Hermoso, Nonstandard Analysis and the Hyperreals. Unha introdución.
Keisler, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals.

[:0-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Weisstein, Eric W. "Hyperreal Number". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 2024-03-20.

[:1-2] 2,0 ^2,1 Robinson, Abraham (1979). Selected papers of Abraham Robinson. 2: Nonstandard analysis and philosophy (en inglés). New Haven: Yale Univ. Press. p. 67. ISBN 978-0-300-02072-4.

[3] Dauben, Joseph Warren (1995). Abraham Robinson: the creation of nonstandard analysis: a personal and mathematical odyssey. Princeton legacy library. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. p. 474. ISBN 978-0-691-03745-5.

[4] Woodin, W. H.; Dales, H. G. (1996). Super-real fields: totally ordered fields with additional structure. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853991-9.

[1]

[2]

[3]

[4]