Produto vectorial

En matemática, o produto vectorial é unha operación binaria sobre vectores nun espazo vectorial. Pode ser denominado tamén como produto externo ou produto cruz. O seu resultado difire do produto escalar por ser tamén un vector, ao contrario dun escalar. O seu principal uso baséase no feito de que o resultado dun produto vectorial é sempre perpendicular a ambos os vectores orixinais, así como que o módulo do vector resultante do produto é a área do paralelogramo que conformarían os vectores do produto.

Produto vectorial.

Definición

A notación do produto vectorial entre dous vectores a e b é a × b (en manuscritos, algúns matemáticos escriben a ∧ b para evitar a confusión coa x). Podemos definilo como:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|sen\theta$

onde θ é a medida do ángulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido polos dous vectores, e n é o vector unitario perpendicular a tanto a canto b.

O problema con esta definición é que existen dous vectores unitarios que son perpendiculares a a e b simultaneamente: se n é perpendicular, entón −n tamén o é.

O resultado correcto depende da orientación do espazo vectorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vectorial a × b é definido de tal forma que (a, b, a × b) se torna destro se (i, j, k) é "a dereitas" ou zurdo se (i, j, k) é "a esquerdas".

Unha forma fácil de calcular a dirección do vector resultante é a "regra da man dereita". Se un sistema de coordenadas é destro, basta apuntar o indicador na dirección do primeiro operando e o dedo medio na dirección do segundo operando. Desta forma, o vector resultante é dado pola dirección do polgar.

Sexan dous vectores $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ no espazo vectorial $\mathbb {R} ^{3}$. O produto vectorial entre $\mathbf {a} \,$ e $\mathbf {b} \,$ dá como resultado un novo vector, $\mathbf {c} \,$. Para definir este novo vector é necesario especificar o seu módulo e dirección:

• O módulo de $\mathbf {c} \,$ está dado por

$c=a\,b\,\sin \theta$

onde θ é o ángulo determinado polos vectores a e b.

• A dirección do vector c, que é ortogonal a a e ortogonal a b, está dada pola regra da man dereita.

Produto vectorial de dous vectores

Sexan $\mathbf {u} =u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k}$ e $\mathbf {v} =v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k}$ dous vectores concorrentes de $\mathbb {R} ^{3}$, o espazo afín tridimensional segundo a base anterior.

Defínese o produto $\times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$, e escríbese $\mathbf {u} \times \mathbf {v}$, como o vector:

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}u_{y}&u_{z}\\v_{y}&v_{z}\\\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}u_{x}&u_{z}\\v_{x}&v_{z}\\\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\\\end{vmatrix}}\mathbf {k}$

No que

${\begin{vmatrix}a&c\\b&d\\\end{vmatrix}}=a\cdot d-b\cdot c$, é o determinante de orde 2.

Ou usando unha notación máis compacta, mediante o desenvolvemento pola primeira fila dun determinante simbólico de orde 3 (simbólico xa que os termos da primeira fila non son escalares):

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}u_{y}&u_{z}\\v_{y}&v_{z}\\\end{vmatrix}}\cdot \mathbf {i} -{\begin{vmatrix}u_{x}&u_{z}\\v_{x}&v_{z}\\\end{vmatrix}}\cdot \mathbf {j} +{\begin{vmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\\\end{vmatrix}}\cdot \mathbf {k}$

Que dá orixe á chamada regra da man dereita ou regra do sacarrollas: xirando o primeiro vector cara ao segundo polo ángulo máis pequeno, a dirección de $\mathbf {u} \times \mathbf {v}$ é o dun sacarrollas que xire na mesma dirección.

Exemplo

O produto vectorial dos vectores $\mathbf {a} =(2,0,1)$ e $\mathbf {b} =(1,-1,3)$ calcúlase do seguinte xeito:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\2&0&1\\1&-1&3\\\end{vmatrix}}$

Expandindo o determinante:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {i} {\begin{vmatrix}0&1\\-1&3\\\end{vmatrix}}-\mathbf {j} {\begin{vmatrix}2&1\\1&3\\\end{vmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{vmatrix}2&0\\1&-1\\\end{vmatrix}}=\mathbf {i} -5\mathbf {j} -2\mathbf {k}$

Pode verificarse facilmente que $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ é ortogonal aos vectores $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ efectuando o produto escalar e verificando que este é nulo (condición de perpendicularidade de vectores).

Véxase tamén

• Produto escalar
• Álxebra linear