Serie converxente

En matemáticas, unha serie é a suma dos termos dunha secuencia infinita de números. Máis precisamente, unha secuencia infinita $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ define unha serie S que se denota

$S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.$

A n-ésima suma parcial S_n é a suma dos n primeiros termos da secuencia; é dicir,

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

Unha serie é converxente (ou converxe) se e só se a secuencia $(S_{1},S_{2},S_{3},\dots )$ das súas sumas parciais tende a un límite; iso significa que, ao engadir un $a_{k}$ despois do outro, na orde dada polos índices, un obtén sumas parciais que se achegan cada vez máis a un número determinado. Máis precisamente, unha serie converxe, se e só se existe un número $\ell$ tal que para cada número positivo arbitrariamente pequeno $\varepsilon$, hai un enteiro (suficientemente grande). $N$ tal que para todos os $n\geq N$,

$\left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .$

Se a serie é converxente, o número (necesariamente único) $\ell$ chámase suma da serie.

A mesma notación

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$

úsase para a serie e, se é converxente, para a súa suma. Esta convención é semellante á que se usa para a suma: a + b que denota a operación de sumar a e b , así como o resultado desta suma, que se chama suma de a e b.

Calquera serie que non sexa converxente dise que é diverxente ou diverxe.

Exemplos de series converxentes e diverxentes

• Os inversos dos enteiros positivos producen unha serie diverxente (serie harmónica):

  ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .$

• Alternar os signos dos inversos dos enteiros positivos produce unha serie converxente:

  ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)$

• Os recíprocos dos números primos producen unha serie diverxente:

  ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .$

• Os recíprocos dos números triangulares producen unha serie converxente:

  ${1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.$

• Os recíprocos dos factoriais producen unha serie converxente (ver número e):

  ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.$

• Os recíprocos dos números cadrados producen unha serie converxente (problema de Basilea):

  ${1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.$

• Os recíprocos das potencias de 2 dan unha serie converxente:

  ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.$

• Os recíprocos dos potencias de calquera n>1 producen unha serie converxente:

  ${1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.$

• Alternar os signos dos recíprocos das potencias de 2 tamén produce unha serie converxente:

  ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.$

• Alternar os signos dos recíprocos das potencias de calquera n>1 fai unha serie converxente:

  ${1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.$

• Os recíprocos dos números de Fibonacci produce unha serie converxente (ver número áureo):

  ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .$

Tests de converxencia

Existen varios métodos para determinar se unha serie converxe ou diverxe.

Se a serie azul, $\Sigma b_{n}$, pódese probar que converxe, entón a serie menor, $\Sigma a_{n}$ debe converxer. Por contraposición, se a serie vermella $\Sigma a_{n}$ está demostrado que diverxe, entón $\Sigma b_{n}$ tamén debe diverxer.

Test de comparación. Os termos da secuencia $\left\{a_{n}\right\}$ compáranse cos doutra secuencia $\left\{b_{n}\right\}$. Se, para todo n, $0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}$, e ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ converxe, entón tamén o fai ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

No entanto, se, para todo n, $0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}$, e ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ diverxe, entón tamén o fai ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Test da razón (ou ratio). Supón que para todo n, $a_{n}$ non é cero. Supoñamos que existe $r$ tal que

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

Se r < 1, entón a serie é absolutamente converxente. Se r > 1, a serie diverxe. Se r = 1, a proba da razón non é concluínte e a serie pode converxer ou diverxer.

Test de raíz ou proba de raíz enésima. Supoña que os termos da secuencia en cuestión non son negativos. Definimos r do seguinte xeito:

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

onde "lim sup" denota o límite superior.

Se r < 1, a serie converxe. Se r > 1, a serie diverxe. Se r = 1, a proba da raíz non é concluínte e a serie pode converxer ou diverxer.

Test da integral. A serie pódese comparar cunha integral para estabelecer a converxencia ou a diverxencia. Sexa $f(n)=a_{n}$ unha función positiva e monótonamente decrecente. Se

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$

entón a serie converxe. Mais se a integral diverxe, entón a serie tamén o fai.

Test de comparación de límites . Se $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0$, e o límite $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ existe e non é cero, entón ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converxe se e só se ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ converxe.

Test de serie alternada. Tamén coñecido como criterio de Leibniz. A tes de series alternadas indica que para unha serie alternada da forma ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}$, se $\left\{a_{n}\right\}$ é monótonamente decrecente, e ten un límite de 0 no infinito, entón a serie converxe.

Test de condensación de Cauchy. Se $\left\{a_{n}\right\}$ é unha secuencia decrecente monótona positiva, entón ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converxe se e só se ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}$ converxe.

Test de Dirichlet. O test indica que se $(a_{n})$ é unha secuencia monótona de números reais con ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ e $(b_{n})$ é unha secuencia de números reais ou números complexos con sumas parciais limitadas, entón a serie

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

converxe.

Test de Abel. Supoña que as seguintes afirmacións son verdadeiras:

1. $\sum a_{n}$ é unha serie converxente,
2. $b_{n}$ é unha secuencia monótona e
3. $b_{n}$ está limitada.

Daquela $\sum a_{n}b_{n}$ tamén é converxente.

Converxencia condicional e absoluta

Se a serie ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ converxe daquela a serie ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ é absolutamente converxente. Toda serie absolutamente converxente é converxente, pero a inversa non é verdade. Por exemplo, a serie de Maclaurin da función exponencial é absolutamente converxente para cada valor complexo da variabel.

Se a serie ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converxe pero a serie ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ diverxe, entón a serie ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ é condicionalmente converxente. Por exemplo, a serie de Maclaurin da función logaritmo $\ln(1+x)$ é condicionalmente converxente para x = 1.

O teorema de Riemann das series afirma que se unha serie converxe condicionalmente, é posíbel reorganizar os termos da serie de tal xeito que a serie converxa a calquera valor, ou mesmo diverxa. O teorema de Agnew caracteriza os reordenamentos que preservan a converxencia para todas as series.

Converxencia uniforme

Sexa $\left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}$ unha secuencia de funcións. A serie ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ dise que converxe uniformemente a f se a secuencia $\{s_{n}\}$ de sumas parciais definidas por

$s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)$

converxe uniformemente a f.

Hai un análogo do test de comparación para series infinitas de funcións chamada test M de Weierstrass.

Criterio de converxencia de Cauchy

O criterio de converxencia de Cauchy estabelece que unha serie

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

converxe se e só se a secuencia de sumas parciais é unha secuencia de Cauchy. Isto significa que para cada $\varepsilon >0,$ hai un número enteiro positivo $N$ tal que para todos os $n\geq m\geq N$ temos que

$\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon .$

Isto é equivalente a

$\lim _{m\to \infty }\left(\sup _{n>m}\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|\right)=0.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Marivaldo Matos. Séries e equações diferenciais. Revista e ampliada. 

Outros artigos

• Lista de series matemáticas
• Función zeta de Riemann

Ligazóns externas

• "Series". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Consultado o 16 de maio de 2005.