Área

Para a unidade de superficie véxase: Área (unidade de superficie).

Área é a extensión ou superficie comprendida dentro dunha figura (de dúas dimensións), expresada en unidades de medida denominadas superficiais. Para superficies planas o concepto é intuitivo. Calquera superficie plana de lados rectos pode triangularse e pódese calcular a súa área como suma de triángulos.

Con todo, para calcular a área de superficies curvas requírese introducir métodos de xeometría diferencial.

Para poder definir a área dunha superficie en xeral, que é un concepto métrico, tense que definir un tensor métrico sobre a superficie en cuestión: cando a superficie está dentro dun espazo euclidiano, a superficie herda unha estrutura métrica natural inducida pola métrica euclídea.

Historia

Os exipcios desenvolveron a xeometría pola necesidade que tiveron de medir as terras á beira do río Nilo.

A idea de que a área é a medida que proporciona o tamaño da rexión encerrada nunha figura xeométrica provén da antigüidade. No Antigo Exipto, tras a crecida anual do río Nilo inundando os campos, xorde a necesidade de calcular a área de cada parcela agrícola para restablecer os seus límites; para liquidar iso, os exipcios inventaron a xeometría, segundo Heródoto. Heródoto Historias, Libro II.

O modo de calcular a área dun polígono como a suma das áreas dos triángulos, é un método que foi proposto por primeira vez polo sabio grego Antifón cara ao ano 430 a. C. Achar a área dunha figura curva entraña máis dificultade. O método de esgotamento consiste en inscribir e circunscribir polígonos na figura xeométrica, aumentar o número de lados de devanditos polígonos e achar a área buscada. Con este sistema, que se coñece como método de exhaución de Eudoxo, conseguiu achar a fórmula para calcular a área dun círculo. Devandito sistema foi empregado tempo despois por Arquimedes para resolver outros problemas similares: o problema da área así como o cálculo aproximado do número π.

Área de figuras planas

Área dun triángulo

A área dun triángulo calcúlase mediante a seguinte fórmula:

$A={\frac {l\cdot h}{2}}$

onde l é calquera dos lados e h é a altura correspondente a ese lado.

Se o triángulo é rectángulo, a altura coincide cun dos catetos, e a fórmula quedaría da seguinte forma:

$A={\frac {a\cdot b}{2}}$

onde a e b son os catetos.

Se o que coñecemos é a lonxitude dos seus lados aplicamos a fórmula de Herón.

$S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

onde a, b , c son os valores das lonxitudes dos seus lados s = ½ (a + b + c) é o semiperímetro do triángulo.

Se o triángulo é equilátero, de lado a, a súa área está dada por

$A={\frac {{\sqrt {3}}\cdot a^{2}}{4}}$

Áreas

Área dun cuadrilátero

Trapezoide.

• O trapezoide ou cuadrilátero totalmente irregular que ten os seus catro ángulos diferentes e lados de lonxitudes desiguais. Neste caso a área pódese obter mediante triangulación sendo:

$A={\frac {a\cdot d\cdot \sin \alpha +b\cdot c\cdot \sin \gamma }{2}}$

Sendo:

$\alpha \,$ o ángulo comprendido entre os lados $a\,$ e $d\,$.

$\gamma \,$ o ángulo comprendido entre os lados $b\,$ e $c\,$.

• O rectángulo é un paralelogramo cuxos ángulos son todos de 90º; a área sería a multiplicación de dúas dos seus lados contiguos a e b:

$A=a\cdot b\,$

• O rombo, cuxos 4 lados son iguais, ten a súa área dada polo semiproduto das súas dúas diagonais:

$A={\frac {AC\cdot BD}{2}}$

• O cadrado é o polígono regular de catro lados, é á vez un rectángulo e un rombo, polo que a súa área pode ser calculada da mesma maneira que a destes dous. En particular, dado que os seus lados son iguais, úsase a fórmula:

$A=a\cdot a\,=a^{2}$

• Os paralelogramos en xeral teñen a súa área dada polo produto un dos seus lados e a súa altura respectiva:

$A=b\cdot h\,$

• O trapecio (que ten dous lados paralelos entre si e dous lados non paralelos) cuxa área vén dada pola media aritmética dos seus lados paralelos multiplicado pola distancia entre eles (altura):

$A={\frac {a+b}{2}}\cdot h$

Área do círculo e a elipse

A área dun círculo, ou a delimitada por unha circunferencia, calcúlase mediante a seguinte expresión matemática:

$A=\pi \cdot r^{2}\,$

A área delimitada entre a gráfica de dúas curvas pode calcularse mediante a diferenza entre as integrais de ambas as funcións.

A área delimitada por unha elipse é similar e obtense como produto do semieixe maior polo semieixe menor multiplicados por π:

$A=\pi \cdot a\cdot b$

Área delimitada entre dúas funcións

Unha forma para achar a área delimitada entre dúas funcións, é utilizando o cálculo integral:

$A(a,b)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$

O resultado desta integral é a área comprendida entre as curvas: $f(x)\,$ e $g(x)[<f(x)]\,$ no intervalo $[a,b]\,$.

Exemplo

Se se quere achar a área delimitada entre o eixo x e a función f(x) = 4 - x^2 no intervalo [-2;2], utilízase a ecuación anterior, neste caso: g(x)=0 entón avaliando a integral, obtense:

$A(-2,2)=\int _{-2}^{2}|4-x^{2}-0|dx=2\int _{0}^{2}4-x^{2}dx=2\left[8-\left({\frac {2^{3}-0}{3}}\right)\right]={\frac {32}{3}}$

Polo que se conclúe que a área delimitada é ${\frac {32}{3}}$..

O volume encerrado entre dúas funcións tamén pode ser reducido ao cálculo dunha integral, similar.

Área de superficies curvas

Dous exemplos de conos.

A área dunha superficie curva é máis complexo e en xeral supón realizar algún tipo de idealización ou límite para medilo.

• Cando a superficie é desenvolvíbel, como sucede coa área lateral dun cilindro ou dun cono a área da superficie pode calcularse a partir da área desenvolvida que sempre é unha figura plana. Unha condición matemática necesaria para que unha superficie sexa desenvolvíbel é que a súa curvatura gaussiana sexa nula.
• Cando a superficie non é desenvolvíbel, o cálculo da superficie ou a fórmula analítica para atopar devandito valor é máis traballoso. Un exemplo de superficie non desenvolvíbel é a esfera xa que a súa curvatura gaussiana coincide co inverso do seu radio ao cadrado, e por tanto non é cero. Con todo a esfera é unha superficie de revolución.

Superficie de revolución

Unha superficie de revolución xerada por un tramo da curva y=2+cos x rotada arredor do eixo x.

Cando unha superficie curva pode ser xerada facendo virar unha curva plana ao redor dun eixo directriz, a superficie resultante chámase superficie de revolución e a súa área pode ser calculada facilmente a partir da lonxitude da curva xeratriz que ao virar conforma a superficie. Se y=f(x) é a ecuación que define un tramo de curva, ao virar esta curva ao redor do eixo X xérase unha superficie de revolución cuxa área lateral vale:

$A_{r}(a,b)=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left({\frac {df(x)}{dx}}\right)^{2}}}\ dx$

Cálculo xeral de áreas

Mediante a xeometría diferencial de superficies ou máis xeralmente a xeometría riemanniana pode calcularse a área de calquera superficie curva finita. Se a superficie vén dada pola función explícita z = f(x, y) entón, dada unha rexión Ω contida nunha superficie a súa área resultar ser:

$A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}dxdy$

De maneira un pouco máis xeral se coñecemos a ecuación paramétrica da superficie en función de dúas coordenadas calquera o e v entón a área anterior pode escribirse como:

$A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ dudv$

Onde E, F e G son as compoñentes do tensor métrico ou primeira forma fundamental da superficie nas coordenadas paramétricas u e v.

Unidades de medida de superficies

Artigo principal: Unidade de superficie.

Sistema métrico (SI)

Múltiplos:

• Quilómetro cadrado: 10⁶ metros cadrados
• Hectárea: 10⁴ metros cadrados
• Área: 10² metros cadrados

Unidade básica:

• metro cadrado: Unidade derivada do SI

Submúltiplos:

• centímetro cadrado: 10⁻⁴ metros cadrados
• barn: 10⁻²⁸ metros cadrados

Sistema inglés de medidas

• polgada cadrada
• pé cadrado
• iarda cadrada
• acre
• milla cadrada
• legua cadrada

Véxase tamén

Bibliografía

Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.