Matriz simétrica

En álxebra linear e multilinear, unha matriz simétrica é unha matriz cadrada que é igual á súa propia transposición, é dicir, tal que a_i,j = a_j,i para todo i e j entre 1 e n, onde a_i,j son os coeficientes da matriz e n é a súa orde.

Matriz simétrica 5x5. Os coeficientes iguais represéntanse coa mesma cor.

Exemplos

Os coeficientes dunha matriz simétrica son simétricos en relación á diagonal principal (desde a esquina superior esquerda ata a esquina inferior dereita). A seguinte matriz é simétrica:

${\begin{pmatrix}2&4&6\\4&0&10\\6&10&12\end{pmatrix}}$

Toda matriz diagonal é simétrica.

Propiedades

• Unha matriz que representa un operador bilinear é simétrica se e só se o operador é simétrico.
• O conxunto de matrices simétricas de orde n con coeficientes nun corpo conmutativo é un subespazo vectorial de dimensión n(n +1)/2 do espazo vectorial de matrices cadradas de orde n, e se a característica do corpo é diferente de 2, un subespazo adicional é o das matrices antisimétricas.

Matrices simétricas reais

Descomposición espectral

Nun espazo euclidiano, unha matriz que representa un endomorfismo nunha base ortonormal é simétrica se e só se o endomorfismo é autoadxunto. O teorema espectral de dimensións finitas deduce que calquera matriz simétrica con coeficientes reais é diagonalizábel usando unha matriz de paso ortogonal, porque os valores propios dun endomorfismo autoadxunto son reais e os seus subespazos propios son ortogonais.

Numericamente, o proceso de diagonalización aplícase a calquera matriz simétrica $A$ e consiste en facer a súa descomposición na forma

$A=ODO^{\mathsf {T}}$,

onde $O$ é unha matriz ortogonal (cuxas columnas son vectores propios de $A$) e onde $D$ é unha matriz diagonal cuxos coeficientes son precisamente os valores propios de $A$.

Nota: unha matriz simétrica con coeficientes complexos pode non ser diagonalizábel. Por exemplo, a matriz

${\begin{pmatrix}1&{\rm {i}}\\{\rm {i}}&-1\end{pmatrix}}$

admite 0 como único valor propio; se fose diagonalizábel, sería cero. O análogo complexo das matrices simétricas reais son de feito matrices hermitianas (que son diagonalizábeis).

Desigualdade de traza de Ky Fan

Denotamos ${\mathcal {S}}^{n}$ o espazo vectorial de matrices reais simétricas de orde n e $\lambda _{i}(A)\in \mathbb {R}$, $i=1,\ldots ,n$, os $n$ valores propios de $A\in {\mathcal {S}}^{n}$, en orde descendente:

$\lambda _{1}(A)\geqslant \lambda _{2}(A)\geqslant \cdots \geqslant \lambda _{n}(A).$

Presentamos a función

$\lambda :{\mathcal {S}}^{n}\to \mathbb {R} ^{n}:A\mapsto (\lambda _{1}(A),\ldots ,\lambda _{n}(A))$

e, para un vector columna $v\in \mathbb {R} ^{n}$, temos $v^{\mathsf {T}}$ o vector fila transposto e $\operatorname {Diag} (v)$ a matriz diagonal cuxo coeficiente índice $(i,i)$ é $v_{i}$.

Desigualdade de traza de Ky Fan Para todas as $A$ e $B\in {\mathcal {S}}^{n}$, temos $\langle A,B\rangle \leqslant \lambda (A)^{\mathsf {T}}\lambda (B),$ onde 〈⋅, ⋅〉denota o produto escalar canónico en $M_{n}(\mathbb {R} )$, con igualdade se e só se se poden obter as descomposicións espectrais ordenadas $\lambda (A)$ e $\lambda (B)$ de $A$ e $B$ pola mesma matriz ortogonal, isto é, se e só se $\exists \,V~{\mbox{ortogonal}}:\quad A=V\;\operatorname {Diag} (\lambda (A))\;V^{\mathsf {T}}\quad {\text{e máis}}\quad B=V\;\operatorname {Diag} (\lambda (B))\;V^{\mathsf {T}}.$

• Segundo a definición anterior en termos de endomorfismos autoadxuntos, $A$ e $B\in {\mathcal {S}}^{n}$ son diagonalizábeis simultaneamente se e só se entre elas conmutan, e a matriz de paso pódese escoller entón ortogonal. A condición de igualdade na desigualdade de Ky Fan é máis forte, porque require que as matrices diagonais obtidas estean ordenadas. Así, $A=\operatorname {Diag} (1,2)$ e $B=\operatorname {Diag} (2,1)$ conmutan mais $\langle A,B\rangle =4$ difire de $\lambda (A)^{\mathsf {T}}\lambda (B)=5$.
• A desigualdade de Ky Fan é un refinamento da desigualdade de Cauchy-Schwarz no subespazo euclidiano ${\mathcal {S}}^{n}$ (matrices simétricas) de $M_{n}(\mathbb {R} )$ (matrices cadradas), no sentido de que a segunda se pode deducir da primeira. De feito, se $A=V\,\operatorname {Diag} (\lambda (A))\,V^{\mathsf {T}}$ con $V$ ortogonal, temos

$\|\lambda (A)\|_{2}=\|\operatorname {Diag} (\lambda (A))\|=\|V\,\operatorname {Diag} (\lambda (A))\,V^{\mathsf {T}}\|=\|A\|,$

onde $\|\cdot \|_{2}$ e $\|\cdot \|$ denotan as normas euclidianas canónicas en $\mathbb {R} ^{n}$ e $M_{n}(\mathbb {R} )$. Polo tanto, a desigualdade de Ky Fan e a desigualdade de Cauchy-Schwarz en $\mathbb {R} ^{n}$ dan

$\langle A,B\rangle \leqslant \|\lambda (A)\|_{2}\,\|\lambda (B)\|_{2}=\|A\|\,\|B\|.$

Deducimos a desigualdade de Cauchy-Schwarz en ${\mathcal {S}}^{n}$ ao tempo que temos en conta a que se obtén substituíndo a $B$ anterior por $-B$.

• Ao aplicar a desigualdade de Ky Fan a matrices diagonais, atopamos unha desigualdade de Hardy, Littlewood e Pólya, sinxela de demostrar directamente, segundo a cal o produto escalar euclidiano de dous vectores $x$ e $y$ increméntase co dos vectores $[x]$ e $[y]$ obtidos dos vectores anteriores ordenando os seus compoñentes por orde descendente:

$\forall \,x,y\in \mathbb {R} ^{n}:\ x^{\mathsf {T}}y\leqslant [x]^{\mathsf {T}}[y].$

Matrices simétricas positivas

Unha matriz simétrica real S de orde n chámase:

• positiva se a forma asociada (bilinear simétrica) é positiva, é dicir, se

$\forall \,x\in \mathbb {R} ^{n},\qquad x^{\mathsf {T}}Sx\geq 0~;$

• definida positiva se a forma asociada é definida e positiva, é dicir, se

$\forall \,x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},\qquad x^{\mathsf {T}}Sx>0.$

Nota: unha matriz cadrada real que verifica tal desigualdade non é necesariamente simétrica (ver, Matriz de rotación en 2 dimensións).

Véxase tamén

Bibliografía

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6. 

Outros artigos

• Teorema espectral.
• Matriz cadrada.
• Matriz antisimétrica.

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Symmetric Matrix". MathWorld.