Número perfecto

Un número perfecto é un enteiro que é igual á suma dos divisores propios menores ca el mesmo.

Así, 6 é un número perfecto, porque os seus divisores propios son 1, 2 e 3; e 6 = 1 + 2 + 3. Os seguintes números perfectos son 28, 496 e 8128.

O matemático grego Euclides descubriu que os catro primeiros números perfectos veñen dados pola fórmula 2^n-1(2ⁿ - 1):

n = 2:   2¹(2² - 1) = 6

n = 3:   2²(2³ - 1) = 28

n = 5:   2⁴(2⁵ - 1) = 496

n = 7:   2⁶(2⁷ - 1) = 8128

Ó darse conta de que 2ⁿ - 1 é un número primo en cada caso, Euclides demostrou que a fórmula 2^n-1(2ⁿ - 1) xera un número perfecto sempre que 2ⁿ - 1 sexa primo.

Os matemáticos da Antigüidade fixeron moitas suposicións sobre os números perfectos baseándose nos catro que xa coñecían. Moitas destas suposicións resultaron ser falsas. Unha delas era que, como 2, 3, 5 e 7 eran precisamente os catro primeiros números primos, o quinto número perfecto obteríase con n = 11, o quinto número primo. Porén, 2¹¹ - 1 =2047= 23 · 89 non é primo e polo tanto n = 11 non xera un número perfecto. Dúas das outras suposicións equivocadas eran:

• O quinto número perfecto tería cinco díxitos, xa que os catro primeiros teñen 1, 2, 3 e 4, respectivamente.
• Os números perfectos rematarían alternativamente en 6 e en 8.

O quinto número perfecto (33550336) ten 8 díxitos, falseando así a primeira suposición. En canto á segunda, o quinto número perfecto remata en 6, pero tamén o sexto (8589869056) remata en 6.

É verdade que se 2ⁿ - 1 é un número primo, entón 2^n-1(2ⁿ − 1) é un número perfecto, pero o recíproco non é necesariamente certo. Hoxe en día, aos números primos xerados pola fórmula 2ⁿ - 1 coñécense como números primos de Mersenne, na honra ó monxe do século XVII Marin Mersenne, quen estudou teoría de números e números perfectos.

Posteriormente, Euler demostrou no século XVIII que todos os números perfectos pares son xerados a partir da fórmula que xa descubriu Euclides.

Non se coñece a existencia de números perfectos impares. Porén, existen algúns resultados parciais. Se existe un número perfecto impar debe ser maior que 10³⁰⁰; debe ter polo menos 8 factores primos distintos (e polo menos 11 se non é divisible por 3); un deses factores debe ser maior que 10⁷; dous deles deben ser maiores que 10 000 e tres factores deben ser maiores que 100.

Considerando a suma dos divisores propios existen outros tipos de números.

• Números defectivos: a suma dos divisores propios é menor que o número.
• Números abundantes: a suma é maior que o número.
• Números amigos: a e b tales que a é a suma dos divisores de b e viceversa.
• Números sociábeis: coma os amigos, pero cun ciclo maior de números.

Pódese dicir que un número perfecto é un número amigo de si mesmo.