Oscilador harmónico

Dise que un sistema calquera, mecánico, eléctrico, pneumático etc. é un oscilador harmónico se cando se deixa libre, fóra da súa posición de equilibrio, volve cara á posición de equilibrio facendo oscilaciones sinusoidais, ou sinusoidais amortecidas ó redor desa posición de equilibrio final.

A masa co resorte forman un oscilador harmónico.

Características

O exemplo típico é o dunha masa colgada a un resorte. Cando se afasta a masa da súa posición de repouso, o resorte exerce sobre a masa unha forza que é proporcional ó desequilibrio (distancia á posición de repouso, elongación) e que está dirixida cara á posición de equilibrio. Se se solta a masa, a forza do resorte acelera a masa cara á posición de equilibrio. A medida que a masa se achega á posición de equilibrio e aumenta a súa velocidade, a enerxía potencial elástica do resorte transfórmase en enerxía cinética da masa. Cando a masa chega á súa posición de equilibrio, a forza será cero, pero como a masa está en movemento, continuará e pasará do outro lado. A forza invértese e comeza a frear a masa. A enerxía cinética da masa vai transformándose agora en enerxía potencial do resorte. Iso dura ata que a masa para. O proceso recomeza en dirección oposta.

Se toda a enerxía cinética se transformara en enerxía potencial e viceversa, a oscilación seguiría eternamente coa mesma amplitude. Na realidade, sempre hai unha parte da enerxía que se transforma noutra forma, debido á viscosidade do aire ou porque o resorte non é perfectamente elástico. A amplitude diminúe máis ou menos lentamente. Comezaremos por tratar o caso ideal, no cal non hai perdas.

Oscilador harmónico sen perdas

Sexa $\scriptstyle {m}$ a masa e$\scriptstyle {y}$ a distancia entre a posición da masa e a posición de equilibrio. Supoñemos que a forza do resorte é estritamente proporcional ó desequilibrio: $\scriptstyle {F=-ky}$. $\scriptstyle {F}$ é a forza e $\scriptstyle {k}$ a constante elástica do resorte. O signo negativo indica que cando $\scriptstyle {y}$ é positiva, a forza é dirixida cara ás $\scriptstyle {y}$ negativas.

A segunda lei de Newton di:

$F=ma=m{dv \over dt}=m{d^{2}y \over dt^{2}}$

substituíndo a forza temos:

$m{d^{2}y \over dt^{2}}=-ky$

A solución desta ecuación diferencial é inmediata: as únicas funcións reais (non complexas) coa segunda derivada sendo a mesma función co signo invertido son seno e coseno. As dúas funcións corresponden ó mesmo movemento. Escollemos arbitrariamente "coseno". A solución escríbese:

A curva de riba dá a posición do oscilador en función do tempo. A do medio dá a velocidade. Abaixo están as curvas das enerxías. En azul está a enerxía cinética $\scriptstyle {{1 \over 2}mv^{2}}$ e en vermello a enerxía potencial do resorte $\scriptstyle {{1 \over 2}ky^{2}}$

$y=A\cos(\omega t+\phi )\,$

• $\scriptstyle {A}$ é a amplitude, que depende das condicións iniciais.
• $\scriptstyle {\omega =2\pi f}$ é a pulsación e $\scriptstyle {f}$ a frecuencia.
• $\scriptstyle {t}$ é o tempo.
• $\scriptstyle {\phi }$ é a fase inicial (para $\scriptstyle {t=0}$).

É doado comprobar que o valor de $\scriptstyle {\omega }$ é:

$\omega ={\sqrt {k \over m}}$

O período de oscilación é:

$T=2\pi {\sqrt {m \over k}}$