Perpendicularidade

En xeometría, a condición de perpendicularidade (do latín per-pendiculum «plomada») dáse entre dous entes xeométricos que se cortan formando un ángulo recto. A perpendicularidade é unha propiedade fundamental estudada en xeometría e trigonometría, por exemplo nos triángulos rectángulos, que posúen 2 segmentos «perpendiculares».

A semirrecta AB é perpendicular á recta CD, porque os dous ángulos que conforma son de 90 graos (en laranxa e azul, respectivamente).

A noción de perpendicularidad xeneralízase á de ortogonalidade.

Relacións

A relación de perpendicularidade pódese dar entre:

Rectas: dúas coplanarias son perpendiculares cando ao cortarse dividen ao plano en catro rexións iguais, cada un dos cales é un ángulo recto. Ao momento de intersección de dúas rectas perpendiculares chámaselle pé de cada unha delas na outra.
- Semirrectas: dúas semirrectas son perpendiculares, cando conforman ángulos rectos tendo ou non o mesmo punto de orixe.
Planos: dous planos son perpendiculares cando conforman catro ángulos diedros de 90º.
- Semiplanos: dous semiplanos son perpendiculares cando conforman ángulos diedros de 90°; xeralmente, compartindo a mesma recta de orixe.

Ademais, pode existir unha relación de perpendicularidad entre os 4 elementos anteriores, tomados de dous en dous.

Construción da perpendicular a unha recta por un punto dado

Construción da perpendicular (azul) á liña AB a través do punto P.

Para construír unha perpendicular á liña AB a través do punto P usando regra e compás, procédese como segue:

Paso 1 (vermello): debúxase un círculo con centro en P para crear os puntos A' e B' na liña AB, os cales son equidistantes a P.
Paso 2 (verde): debúxanse dous círculos centrados en A' e B', pasando os dous por P (ou co mesmo radio). Sexa Q o outro punto de intersección destes dous círculos.
Paso 3 (azul): únense P e Q para obter a recta perpendicular PQ.

Para probar que PQ é perpendicular a AB, utilízase o criterio de congruencia LLL para os triángulos QPA' e QPB' para demostrar que os ángulos OPA' e OPB' son iguais. Logo úsase o criterio LAL para os triángulos OPA' e OPB' para demostrar que os ángulos POA e POB son iguais.

Véxase tamén

Mediatriz
Ortogonalidade
Paralelismo

Referencias

Perpendicular; Perpendiculares e paralelas, sitio «Goza as matemáticas».
Liñas perpendiculares cerco «Dicionario visual de matemáticas».
Simmons, Bruce (2011). «perpendicular». Modelo:Mathwords (en inglés).

Ligazóns externas

Como debuxar un bisector perpendicular dunha liña con regra e compás Con animación (en inglés)
Como debuxar unha perpendicular ao final dunha liña con regra e compás Con animación (en inglés)