Prisma (xeometría)

En xeometría, un prisma é un poliedro cunha base poligonal de lados, unha copia por translación (en diferente plano cá primeira), e outras n caras (todas necesariamente paralelogramos) que unen os lados correspondentes das dúas bases. Todas as seccións transversais paralelas ás caras da base son iguais. Os prismas noméanse pola forma da súa base, polo que un prisma de base pentagonal se chama prisma pentagonal. Os prismas son unha subclase dos prismatoides.

Prismas rectos e uniformes xerais

Un prisma recto é un prisma no que os bordos de unión e as caras son perpendiculares ás caras da base. Isto aplícase se as caras de unión son rectangulares. Se os bordos de unión e as caras non son perpendiculares ás caras da base, chámase prisma oblicuo.

Algúns textos poden aplicar o termo de prisma rectangular ou prisma cadrado tanto a un prisma rectangular de lado dereito como a un prisma unilateral cadrado dereito. O termo prisma uniforme pode empregarse para un prisma recto con lados cadrados, xa que eses prismas están no conxunto de poliedros uniforme.

Un prisma n que ten bases como polígonos regulares e caras rectangulares, achégase a un sólido cilíndrico cando n tende a infinito.

Os prismas rectos con bases regulares e lonxitudes iguais forman unha das series infinitas de poliedros semirregulares; as outras series son os antiprismas.

O dual dun prisma recto é unha bipirámide.

Un paralelepípedo é un prisma no que a base é un paralelogramo, ou o que é o mesmo, un poliedro con seis caras que son todas paralelogramos.

Elementos

Cada prisma consta dos seguintes elementos:

Bases: son as dúas caras iguais e paralelas do prisma, unha na que se apoia e a outra a súa oposta.
Caras laterais: son as caras que comparten dous dos seus lados coas bases. A suma das súas áreas é a superficie lateral do prisma.
Arestas: son os lados das bases e das caras laterais.
Vértices: son os puntos onde se encontran cada par de arestas.
Altura: é a distancia entre as bases.
Diagonais: son os segmentos que unen dous vértices non consecutivos do prisma. Pódense trazar as diagonais dunha cara ou entre dúas caras.

Volume

O volume dun prisma é o produto da área da base pola distancia ou altura entre as dúas bases. O seu valor exprésase como:

V=B\cdot h

onde B é a área da base e h é a altura. O volume dun prisma, que ten como base un polígono regular de n lados cunha lonxitude de lado s, é:

V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.

Simetría

O grupo de simetría dun prisma recto de n lados con base regular é D_nh de orde 4n, agás no caso dun cubo, que ten o grupo de simetría octaédrica máis grande, de orde 48, que ten como subgrupos tres versións de D_4h. O grupo de rotación é D_n de orde 2n, agás no caso do cubo, que ten o grupo O de simetría máis grande de orde 2₄, que ten como subgrupos tres versións de D₄.

O grupo de simetría D_nh contén inversión se e só se n é par.

Polítopo prismático

Un polítopo prismático é unha xeneralización da dimensión máis alta dun prisma. Un polítopo prismático de n dimensións constrúese a partir de dous (n - 1) polítopos tridimensionais, traducidos á seguinte dimensión.

O polítopo prismático de n-elementos duplícase a partir dos elementos polítopos (n − 1)- e logo creando novos elementos a partir do seguinte elemento inferior.

Se se toma un polítopo-n con elementos f_i caras-i (i = 0, ..., n), o seu prisma polítopo (n + 1) terá 2f_i + f_i−1 i elementos. (Con f₋₁ = 0, f_n = 1.)

Por dimensión:

Tomar un polígono con n vértices e n arestas. O seu prisma ten 2n vértices, 3n bordos e 2 + n caras.
Tomar un poliedro con v vértices, e arestas e f caras. O seu prisma ten 2v vértices, 2e + v arestas, 2f + e caras, e 2 + f celas.
Tomar un polícromo con v vértices, e arestas, f caras e c celas. O seu prisma ten 2v vértices, 2e + v bordos, 2f + e caras, e 2c + f e 2 + c hipercelas.

Polítopo prismático uniforme

Un polítopo n regular representado polo símbolo de Schläfli {p, q, ..., t} pode formar un polítopo (n + 1) prismático uniforme representado por un produto cartesiano de dous símbolos de Schläfli: {p, q, ..., t}×{}.

Por dimensión:

Un prisma 0 politópico é un segmento de recta, representado por un símbolo de Schläfli baleiro {}.
Un prisma politópico-1 é un rectángulo, formado a partir da traslación de dous segmentos de liña. Represéntase polo símbolo Schläfli produto {} x {}. Se se trata dun cadrado, pódese reducir a simetría a: {} x {} = {4}.
- Exemplo: Cadrado, {} x {}, dous segmentos de recta paralelos, conectados por dous lados de segmentos de recta.
Un prisma poligonal é un prisma de 3 dimensións feito a partir de dous polígonos trasladados, conectados por rectángulos. Un polígono regular {p} pode construír o prisma n-gonal uniforme representado polo produto {p} × {}. se p = 4, con lados cadrados simétricos, convértese nun cubo: {4}×{} = {4, 3}.
- Exemplo: Prisma pentagonal, {5}×{}, dous pentágonos paralelos conectados por 5 lados rectangulares.
Un prisma poliédrico é un prisma de 4 dimensións construído por dous poliedros trasladados conectados por celas de prismas de tridimensionais. Un poliedro regular {p, q} pode construír o prisma policórico uniforme, representado polo produto {p, q}×{}. se o poliedro é un cubo, e os lados son cubos, convértese nun teseracto: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Exemplo: Prisma dodecaédrico {5, 3}×{}, dous dodecaedros paralelos conectados por 12 lados de prismas pentagonales.
Os polítopos prismáticos de orde superior tamén existen como produtos cartesianos de dous polítopos. A dimensión dun polítopo é o produto das dimensións dos elementos. O primeiro exemplo disto existe nun espazo de 4 dimensións chamado duoprisma como o produto de dous polígonos. Os duoprismas regulares represéntanse como {p}×{q}.

Familia dos prismas uniformes
Simetría	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Imaxe
Como poliedros esféricos
Imaxe

Véxase tamén

Bibliografía

Pugh, Anthony (1976). Polyhedra: A visual approach (en inglés). California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms (Capítulo 2: Poliedros arquimedianos, prismas e antiprismas)

Outros artigos

Ligazóns externas

Prismatic polytope en Glossary for Hyperspace. (en inglés)
Prismas e antiprismas non convexos (en inglés)
Área da superficie MATHguide (en inglés)
Volume MATHguide (en inglés)
Modelos de papel de prismas e antiprismas (en inglés)
Modelos de papel de prismas e antiprismas (en inglés)
Stella: Navigador Poliedro: Software empregado para crear as imaxes 3D e 4D (en inglés)