Pulo (diferencial)

En xeometría diferencial, o pulo (ou pushforward) é unha aproximación linear de mapas suaves en espazos tanxentes. Supoñamos que $\varphi \colon M\to N$ é un mapa suave entre variedades suaves; daquela diferencial de $\varphi$ nun punto $x$, denotado $\mathrm {d} \varphi _{x}$, é, nalgún sentido, a mellor aproximación linear de $\varphi$ preto de $x$. Pódese ver como unha xeneralización da derivada total do cálculo ordinario. Explicitamente, a diferencial é un mapa linear do espazo tanxente de $M$ en $x$ ao espazo tanxente de $N$ en $\varphi (x)$; expresado $\mathrm {d} \varphi _{x}\colon T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N$. Polo tanto, pódese usar para impulsar vectores tanxentes $M$ cara adiante ata os vectores tanxentes en $N$. O diferencial dun mapa $\varphi$ tamén se denomina, por diversos autores, a derivada ou derivada total de $\varphi$.

Se un mapa, φ, leva cada punto da variedade M á variedade N, daquela o pulo de φ leva os vectores no espazo tanxente en cada punto de M a un espazo tanxente en cada punto en N.

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Pulo.

Motivación

Sexa $\varphi :U\to V$ un mapa suave dun subconxunto aberto $U$ de $\mathbb {R} ^{m}$ a un subconxunto aberto $V$ de $\mathbb {R} ^{n}$. Para calquera punto $x$ en $U$, o jacobiano de $\varphi$ en $x$ (en relación ás coordenadas estándar) é a representación matricial da derivada total de $\varphi$ en $x$, que é un mapa linear

$d\varphi _{x}:T_{x}\mathbb {R} ^{m}\to T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}$

entre os seus espazos tanxentes. Observe que os espazos tanxentes $T_{x}\mathbb {R} ^{m},T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}$ son isomorfos a $\mathbb {R} ^{m}$ e $\mathbb {R} ^{n}$, respectivamente. O pulo xeneraliza esta construción para o caso no que $\varphi$ é unha función suave entre calquera variedades suaves $M$ e $N$.

Se os vectores tanxentes se definen como clases de equivalencia das curvas $\gamma$ para as que $\gamma (0)=x,$ daquela o diferencial vén dado por

$d\varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).$

Aquí, $\gamma$ é unha curva en $M$ con $\gamma (0)=x,$ e $\gamma '(0)$ é un vector tanxente á curva $\gamma$ en $0.$ Noutras palabras, o pulo do vector tanxente cara a curva $\gamma$ en $0$ é o vector tanxente á curva $\varphi \circ \gamma$ en $0.$

Alternativamente, se os vectores tanxentes se definen como derivacións que actúan sobre funcións suaves de valores reais, entón a diferencial vén dada por

$d\varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi ),$

para unha función arbitraria $f\in C^{\infty }(N)$ e unha derivación arbitraria $X\in T_{x}M$ nun punto $x\in M$ (Unha derivación defínese como un mapa linear $X\colon C^{\infty }(M)\to \mathbb {R}$ que satisfaga a regra de Leibniz, véxase: espazo tanxente). Por definición, o pulo de $X$ está dentro de $T_{\varphi (x)}N$ e polo tanto é unha derivación, $d\varphi _{x}(X)\colon C^{\infty }(N)\to \mathbb {R}$.

A diferencial no fibrado tanxente

O diferencial dun mapa suave $\varphi$ induce, de forma obvia, un mapa de fibrados (de feito un homomorfismo de fibrado vectorial) a partir do fibrado tanxente de $M$ cara ao fibrado tanxente de $N$, denotado por $d\varphi$, que encaixa no seguinte diagrama conmutativo:

onde $\pi _{M}$ e $\pi _{N}$ denotan as proxeccións do fibrado dos fibrados tanxentes de $M$ e $N$ respectivamente.

$\operatorname {d} \!\varphi$ induce un mapa de fibrados de $TM$ cara ao fibrado de regresión φ^∗TN sobre $M$ vía

$(m,v_{m})\mapsto (\varphi (m),\operatorname {d} \!\varphi (m,v_{m})),$

onde $m\in M$ e $v_{m}\in T_{m}M.$ O mapa de fibrados $\operatorname {d} \!\varphi$ tamén se denota por $T\varphi$ e chámase mapa tanxente. Deste xeito, $T$ é un functor.

Pulos de campos vectoriais

Dado un mapa suave φ : M → N e un campo vectorial X sobre M, normalmente non é posible obter un pulo de X mediante φ con algún campo vectorial Y sobre N. Por exemplo, se o mapa φ non é sobrexectivo, non hai unha forma natural de definir tal pulo fóra da imaxe de φ. Alén diso, se φ non é inxectivo, pode haber máis dunha opción de pulo nun punto dado. No entanto, pódese precisar esta dificultade, utilizando a noción de campo vectorial ao longo dun mapa.

Exemplos

Pulo mediante a multiplicación en grupos de Lie

Dado un Grupo de Lie $G$, podemos usar o mapa do operador multiplicación $m(-,-):G\times G\to G$ para obter os mapas de multiplicación pola esquerda $L_{g}=m(g,-)$ e a multiplicación pola dereita $R_{g}=m(-,g)$ de $G\to G$. Estes mapas pódense usar para construír campos vectoriais invariantes pola esquerda ou pola dereita en $G$ dende o seu espazo tanxente na orixe ${\mathfrak {g}}=T_{e}G$ (que é a súa álxebra de Lie asociada). Por exemplo, dado $X\in {\mathfrak {g}}$ obtemos un campo vectorial asociado ${\mathfrak {X}}$ on $G$ definido por$${\mathfrak {X}}_{g}=(L_{g})_{*}(X)\in T_{g}G$$para cada $g\in G$ . Isto pódese calcular facilmente usando a definición de curvas dos mapas de pulos diferenciais. Se temos unha curva$$\gamma :(-1,1)\to G$$onde$$\gamma (0)=e\,,\quad \gamma '(0)=X$$obtemos$${\begin{aligned}(L_{g})_{*}(X)&=(L_{g}\circ \gamma )'(0)\\&=(g\cdot \gamma (t))'(0)\\&={\frac {dg}{d\gamma }}\gamma (0)+g\cdot {\frac {d\gamma }{dt}}(0)\\&=g\cdot \gamma '(0)\end{aligned}}$$posto que $L_{g}$ é constante con respecto a $\gamma$. Isto implica que podemos interpretar os espazos tanxentes $T_{g}G$ como $T_{g}G=g\cdot T_{e}G=g\cdot {\mathfrak {g}}$.

Pulos para algúns grupos de Lie

Por exemplo, se $G$ é o grupo de Heisenberg dado polas matrices$$H=\left\{{\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}$$ten álxebra de Lie dada polo conxunto de matrices$${\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}$$xa que podemos atopar un camiño $\gamma :(-1,1)\to H$ dando calquera número real nunha das entradas da matriz superior con $i<j$ (i-ésima fila e j-ésima columna). Daquela, para$$g={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{bmatrix}}$$temos$$T_{g}H=g\cdot {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b+2c\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}$$que é igual ao conxunto orixinal de matrices.

Isto non sempre é así, por exemplo, no grupo$$G=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1/a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}$$temos a súa álxebra de Lie como o conxunto de matrices$${\mathfrak {g}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&-a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}$$polo tanto para algunha matriz$$g={\begin{bmatrix}2&3\\0&1/2\end{bmatrix}}$$temos$$T_{g}G=\left\{{\begin{bmatrix}2a&2b-3a\\0&-a/2\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}$$que non é o mesmo conxunto de matrices.

Véxase tamén

Bibliografía

• Lee, John M. (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Springer Graduate Texts in Mathematics 218. 
• Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.  See section 1.6.
• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.  See section 1.7 and 2.3.

Outros artigos

• Regresión.