Relación área superficial-volume

A relación área superficial-volume, que se pode escribir as/vol, AS/V ou AS:V, é o cociente entre a área superficial dun obxecto e o volume de dito obxecto. Esta relación exprésase en unidades da inversa da unidade de distancia. Por exemplo un cubo cuxos lados miden a posúe unha área superficial de 6a² e un volumee de a³. Por tanto, a relación superficie-volume para o caso dun cubo é $AS:V={\frac {6a^{2}}{a^{3}}}={\frac {6}{a}}$ . Para unha forma dada, AS:V é inversamente proporcional ao seu tamaño. Un cubo cuxas arestas miden 2 cm ten unha relación as/vol= 3 cm⁻¹,

{\mbox{AS:V}}={\frac {24~{\mbox{cm}}^{1}}{8~{\mbox{cm}}^{3}}}=3~{\mbox{cm}}^{-1}

.

que é a metade da relación as/vol que posúe un cubo cuxas arestas miden 1 cm.

{\mbox{AS:V}}={\frac {6~{\mbox{cm}}^{2}}{1~{\mbox{cm}}^{3}}}=6~{\mbox{cm}}^{-1}

.

Se queremos preservar a relación AS:V ao aumentar o tamaño cómpre cambiar a forma a unha que sexa menos compacta. Para un determinado volume, o obxecto con menor área superficial (e, por tanto, con menor AS:V) é a esfera, unha consecuencia da maior ou menor desigualdade isoperimétrica nas tres dimensións.

Esta proporción ten importatnes implicacións en física, química e bioloxía. Por exemplo, se unha célula é moi grande, non poderán cruzar a membrana suficientes materiais e o suficientemente rápido para o gran volume que ten a célula.

En química física

Os materiais cunha alta proporción área superficial-volume (por exemplo, de pequeno diámetro, moi porosos, ou non compactos) reaccionan moito mís rápido que os materiais monoliticos compactos, porque hai dispoñible máis superficie para reaccionar. Exemplos son o po dos cereais; mentres que os grans de po non son normalmente inflamables, en certas condicións unha acumulación deste po pode ser incluso explosiva (por exemplo en silos de almacenamento, como a grande explosión ocorrida en Minneapolis en 1878^[1]). Igualmente, o sal fino disólvese máis doadamente que o groso, porque a superficie de contacto co disolvente é proporcionalmente maior.

Unha alta proporción área superficial-volume proporciona unha maior "forza impulsora" que acelera os procesos termodinámicos que minimizan a enerxía libre.

Bioloxía

A relación entre a área superficial e o volume das células e os organismos ten un enorme impacto sobre a súa bioloxía (fisioloxía, comportamento e outras cualidades). Por exemplo, moitos microorganismos acuáticos incrementaron a súa área superficial para reducir a súa tendencia a afundirse e así mantérense preto da superficie con menos gasto enerxético.

Un incremento da relación área superficial-volume tamén significa unha maior exposición ao ambiente exterior. Os numerosos tentáculos das medusas e anemones son o resultado do incremento da área superficial para adquirir comida. Unha maior área superficial permite que se filtre unha maior cantidade de auga que rodea o animal para buscar comida.

Os órganos individuais en animais están a miúdo baseados no principio de ter unha maior área superficial. O pulmón é un órgano con numerosas ramificacións internas que incrementan a área superficial a través do cal se intercambian o oxíxeno e o dióxido de carbono entre o aire e o sangue. O intestino ten unha superficie interna con moitos repregamentos, o que incrementa a área a través da cal os nutrientes son absorbidos polo corpo; un cilindro do mesmo volume pero de paredes lisas absorbería moito menos.

As células poden ter unha grande área superficial en relación co volume se son moi longas (como as neuronas) ou con pregamentos (microvilosidades)

Un incremento da área superficial pode tamén orixinar problemas biolóxicos. Un maior contacto co ambiente pola superficie dunha célula ou un órgano en relación co seu volume) incrmenta a perda de auga e de substancias disoltas. Unha relación superficie-volume grande tamén presenta problemas para o control da temperatura corporal en ambientes desfavorables.

As relacións superficie-volume dalgúns organismos de diferentes tamaños levaron en bioxeografía a formular a regra de Bergmann, pola que as especies e poboacións de maior tamaño se encontran nos ambientes máis fríos.^[2]

Propagación do lume

Nos incendios forestais unha importante medida que é interesante coñecer é a relación da área superficial dun sólido combustible en relación ao seu volume, xa que o espallamento do lume está frecuentemnte correlacionado coa relación superficie-volume do material combustible (por exemplo follas e pólas). Canto maior é o seu valor, máis rápido responde a partícula aos cambios nas condicións ambientais, como a temperatura e humidade. Os valores altos están correlacionados con tempos de ignición do combustible máis curtos (arde doadamente), e con velocidades de propagación do lume maiores.^[3]

Exemplos matemáticos

Forma	Lonxitude característica $a$	Área superficial (AS)	Volume (V)	Relacións AS/V	Relación AS/V por unidade de volume
Tetraedro	lado	${\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {{\sqrt {2}}a^{3}}{12}}$	${\frac {6{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {14.697}{a}}$	7,21
Cubo	lado	$6a^{2}$	$a^{3}$	${\frac {6}{a}}$	6
Octaedro	lado	$2{\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}$	${\frac {3{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {7.348}{a}}$	5,72
Dodecaedro	lado	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}$	${\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}$	${\frac {12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{(15+7{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {2.694}{a}}$	5,31
Cápsula	raio (R)	$4\pi a^{2}+2\pi a*2a=8\pi a^{2}$	${\frac {4\pi a^{3}}{3}}+\pi a^{2}*2a={\frac {10\pi a^{3}}{3}}$	${\frac {12}{5a}}$	5,251
Icosaedro	lado	$5{\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}$	${\frac {12{\sqrt {3}}}{(3+{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {3.970}{a}}$	5,148
Esfera	raio	$4\pi a^{2}$	${\frac {4\pi a^{3}}{3}}$	${\frac {3}{a}}$	4,836

Táboa de exemplos
Lado do cubo	Lado²	Área lateral	6*lado²	Área superficial do cubo	Lado³	Volume	Relación área superficial-volume
2	2x2	4	6x2x2	24	2x2x2	8	3:1
4	4x4	16	6x4x4	96	4x4x4	64	3:2
6	6x6	36	6x6x6	216	6x6x6	216	3:3
8	8x8	64	6x8x8	384	8x8x8	512	3:4
12	12x12	144	6x12x12	864	12x12x12	1728	3:6
20	20x20	400	6x20x20	2400	20x20x20	8000	3:10