Sección cónica

Denomínase sección cónica, ou simplemente cónica, á intersección dun cono circular recto cun plano que non pasa polo seu vértice. Clasifícanse en tres tipos: elipse, parábola e hipérbole.

Os catro exemplos de intersección dun plano cun cono: parábola (1), elipse (2 superior), hipérbole (3) e circunferencia (2 inferior).

Etimoloxía

A primeira definición coñecida de sección cónica é da Antiga Grecia, polo ano -350 (no Menæchmus) onde a definiron como sección «dun cono circular recto». Os nomes de hipérbole, parábola e elipse débenselle a Apolonio de Perge. Actualmente, as seccións cónicas poden definirse de varias maneiras; segundo as diversas ramas das matemáticas (xeometría analítica, a xeometría proxectiva etc.).

Tipos

Perspectiva das seccións cónicas.

As catro seccións cónicas no plano.

En función da relación existente entre o ángulo de conicidade (α, ángulo da xeratriz coa base) e a inclinación do plano respecto do eixo do cono (β), poden obterse diferentes seccións cónicas, a saber:

• β < α : Hipérbole (laranxa)
• β = α : Parábola (azulado)
• β > α : Elipse (verde)
• β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (vermello)

Se o plano pasa polo vértice do cono, pódese ver que:

• Cando β > α a intersección é un único punto (o vértice).
• Cando β = α a intersección é unha recta xeratriz do cono (o plano será tanxente ao cono).
• Cando β < α a intersección virá dada por dúas rectas que se cortan no vértice.
• O ángulo formado polas rectas irá aumentando a medida que β diminúe, ata alcanzar o máximo (α) cando o plano conteña o eixe do cono (β = 0).

Expresión alxébrica

Partindo dunha circunferencia (e=0), ao aumentar a excentricidade obtéñense elipses, parábolas e hipérboles.

En coordenadas cartesianas, as cónicas exprésanse en forma alxébrica mediante ecuacións cadráticas de dúas variables (x,y) da forma:

$ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\,$

na que, en función dos valores dos parámetros, terase:

h² > ab: hipérbole.

h² = ab: parábola.

h² < ab: elipse.

a = b e h = 0: circunferencia .

Características

A elipse é o lugar xeométrico dos puntos do plano tales que a suma das distancias a dous puntos fixos chamados focos é constante.

Ademais dos focos F e F´, nunha elipse destacan os seguintes elementos:

• Centro, O
• Eixe maior, AA´
• Eixe menor, BB´
• Distancia focal, OF

A elipse con centro (0, 0) ten a seguinte expresión alxébrica: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

A hipérbole é o lugar xeométrico dos puntos do plano cunha diferenza de distancias a dous puntos fixos, chamados focos, constante e menor que a distancia entre os focos.

Ten dúas asíntotas (rectas cuxas distancias á curva tenden a cero cando a curva se achega ao infinito). As hipérboles con asíntotas perpendiculares denomínanse hipérboles equiláteras.

Ademais dos focos e das asíntotas, na hipérbole destacan os seguintes elementos:

• Centro, O
• Vértices, A e A
• Distancia entre os vértices
• Distancia entre os focos

A ecuación dunha hipérbole con centro (0, 0), é: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

A parábola é o lugar xeométrico dos puntos do plano que equidistan dun punto fixo chamado foco, e dunha recta chamada directriz.

Ademais do foco, F, e da directriz, d, nunha parábola destacan os seguintes elementos:

• Eixe, e
• Vértice, V
• Distancia entre o foco e a directriz

Unha parábola, co vértice na orixe e o seu eixe coincidente coas ordenadas, ten a seguinte ecuación: $\ y=a{x^{2}}\,$

Aplicacións

As curvas cónicas son importantes na astronomía: dous corpos masivos que interactúan segundo a lei de gravitación universal, as súas traxectorias describen seccións cónicas se o seu centro de masa se considera en repouso. Se están relativamente próximos describirán elipses, se están máis lonxe, describirán hipérboles ou parábolas.

Tamén son importantes na aerodinámica e na súa aplicación industrial, xa que permiten ser repetidas por medios mecánicos con grande exactitude, logrando superficies, formas e curvas perfectas.

Véxase tamén

Outros artigos

• Cónica dexenerada

Ligazóns externas

• Cónicas en wmatem.eis.uva.es (en castelán)