Sistema de veciñanzas

En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, o sistema de veciñanzas, ou sistema completo de veciñanzas ^[1] ou filtro de veciñanzas ${\mathcal {N}}(x)$ por un punto $x$ nun espazo topolóxico é a colección de tódalas veciñanzas de $x.$

Definicións

Veciñanza dun punto ou conxunto

Unha veciñanza aberta dun punto (ou subconxunto) $x$ nun espazo topolóxico $X$ é calquera subconxunto aberto $U$ de $X$ que contén $x.$ Unha veciñanza de $x$ en $X$ é calquera subconxunto $N\subseteq X$ que conteña algunha veciñanza aberta de $x$ ; explicitamente, $N$ é unha veciñanza de $x$ en $X$ se e só se existe algún subconxunto aberto $U$ con $x\in U\subseteq N$ .^[2]^[3] De forma equivalente, unha veciñanza de $x$ é calquera conxunto que conteña $x$ no seu interior topolóxico.

Filtro de veciñanzas

O sistema de veciñanzas para un punto (ou subconxunto non baleiro) $x$ é un filtro chamado filtro de veciñanzas para $x.$ O filtro de veciñanzas para un punto $x\in X$ é o mesmo que o filtro de veciñanzas do conxunto unitario $\{x\}.$

Base de veciñanzas

Unha base de veciñanzas ou base local para un punto $x$ é un filtro base do filtro de veciñanzas; isto significa que é un subconxunto ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)$ tal que para todo $V\in {\mathcal {N}}(x),$ existe algunha $B\in {\mathcal {B}}$ tal que $B\subseteq V.$ ^[3] É dicir, para calquera veciñanza $V$ podemos atopar unha veciñanza $B$ na base de veciñanzas que está contida en $V$ .

De forma equivalente, ${\mathcal {B}}$ é unha base local en $x$ se e só se o filtro de veciñanzas ${\mathcal {N}}$ pode ser recuperado de ${\mathcal {B}}$ no sentido de que se cumpre a seguinte igualdade:^[4] ${\mathcal {N}}(x)=\left\{V\subseteq X~:~B\subseteq V{\text{ para algún }}B\in {\mathcal {B}}\right\}\!\!\;.$ Unha familia ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)$ é unha base de veciñanzas para $x$ se e só se ${\mathcal {B}}$ é un subconxunto cofinal de $\left({\mathcal {N}}(x),\supseteq \right)$ respecto da orde parcial $\supseteq$ (importante, esta orde parcial é a relación de superconxunto e non a relación de subconxunto).

Subbase de veciñanzas

Unha subbase de veciñanzas en $x$ é unha familia ${\mathcal {S}}$ de subconxuntos de $X,$ onde cada un deles contén $x,$ de xeito que a colección de todos as interseccións de elementos de ${\mathcal {S}}$ forma unha base de veciñanzas en $x.$

Exemplos

Se $\mathbb {R}$ ten a súa topoloxía euclidiana habitual entón as veciñanzas de $0$ son todos eses subconxuntos $N\subseteq \mathbb {R}$ para o que existe algún número real $r>0$ tal que $(-r,r)\subseteq N.$ Por exemplo, todos os seguintes conxuntos son veciñanzas de $0$ en $\mathbb {R}$ : $(-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R}$ pero ningún dos seguintes conxuntos son veciñanzas de $0$ : $\{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ onde $\mathbb {Q}$ denota os números racionais.

Se $U$ é un subconxunto aberto dun espazo topolóxico $X$ , entón para cada $u\in U,$ $U$ é unha veciñanza de $u$ en $X.$ De xeito máis xeral, se $N\subseteq X$ é calquera conxunto e $\operatorname {int} _{X}N$ denota o interior topolóxico de $N$ en $X,$ entón $N$ é unha veciñanza (en $X$ ) de cada punto $x\in \operatorname {int} _{X}N$ e a maiores $N$ non é unha veciñanza de ningún outro punto. Dito doutro xeito, $N$ é unha veciñanza dun punto $x\in X$ se e só se $x\in \operatorname {int} _{X}N.$

Bases de veciñanzas

En calquera espazo topolóxico, o sistema de veciñanzas para un punto tamén é unha base de veciñanzas para o punto. O conxunto de todas as veciñanzas abertas nun punto forma unha base de veciñanzas nese punto. Para calquera punto $x$ nun espazo métrico, a secuencia de bólas abertas ao redor de $x$ con raio $1/n$ forma unha base de veciñanzas numerábel ${\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}$ . Isto significa que todo espazo métrico é primeiro numerábel.

Dado un espazo $X$ coa topoloxía non discreta o sistema de veciñanzas para calquera punto $x$ só contén todo o espazo, ${\mathcal {N}}(x)=\{X\}$ .

Na topoloxía débil sobre o espazo de medidas sobre un espazo $E,$ unha base de veciñanzas sobre $\nu$ está dada por $\left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}$ onde as $f_{i}$ son funcións limitadas continuas de $E$ aos números reais e $r_{1},\dots ,r_{n}$ son números reais positivos.

Espazos seminormados e grupos topolóxicos

Nun espazo seminormado, é dicir, un espazo vectorial coa topoloxía inducida por un seminorma, todos os sistemas de veciñanzas poden construírse mediante a translación do sistema de veciñanzas da orixe, ${\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.$

Isto débese a que, por suposto, a adición de vectores é separadamente continua na topoloxía inducida. Polo tanto, a topoloxía está determinada polo seu sistema de veciñanzas na orixe. De forma máis xeral, isto segue a ser certo sempre que o espazo sexa un grupo topolóxico ou a topoloxía estea definida por unha pseudométrica.

Propiedades

Supoñamos que $u\in U\subseteq X$ e sexa ${\mathcal {N}}$ unha base de veciñanzas para $u$ en $X.$ Facemos ${\mathcal {N}}$ un conxunto dirixido ordenándoo parcialmente por inclusión de superconxuntos $\,\supseteq .$ Entón $U$ non é unha veciñanza de $u$ en $X$ se e só se existe unha rede ${\mathcal {N}}$ -indexada $\left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}$ en $X\setminus U$ tal que $x_{N}\in N\setminus U$ para todo $N\in {\mathcal {N}}$ (o que implica que $\left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u$ en $X$ ).