Subconxunto

En matemáticas, un conxunto A é un subconxunto dun conxunto B se todos os elementos de A son tamén elementos de B; B é daquela un superconxunto de A. É posíbel que A e B sexan iguais; se son desiguais, entón A é un subconxunto propio de B. A relación dun conxunto sendo un subconxunto doutro chámase inclusión. A é un subconxunto de B tamén se pode expresar como B inclúe (ou contén) A ou A está incluído (ou contido) en B. Un k-subconxunto é un subconxunto con k elementos.

Diagrama de Euler
que mostra que
A é un subconxunto de B (indicado como $A\subseteq B$ ) e, pola contra, B é un superconxunto de A (indicado $B\supseteq A$ ).

A relación de subconxuntos define unha orde parcial en conxuntos. De feito, os subconxuntos dun conxunto dado forman unha álxebra de Boole baixo a relación de subconxuntos, coas operacións de intersección e unión, e a propia relación do subconxunto é a relación de inclusión booleana.

Definición

Se A e B son conxuntos e cada elemento de A tamén é un elemento de B, daquela:

• A é un subconxunto de B, denotado por $A\subseteq B$, ou equivalentemente,
• B é un superconxunto de A, denotado por $B\supseteq A.$

Se A é un subconxunto de B, pero A non é igual a B (é dicir, existe polo menos un elemento de B que non é un elemento de A ), daquela:

• A é un subconxunto propio de B, denotado por $A\subsetneq B$, ou equivalentemente,
• B é un superconxunto propio de A, denotado por $B\supsetneq A.$

O conxunto baleiro, escrito $\{\}$ ou $\varnothing ,$ é un subconxunto de calquera conxunto X e un subconxunto propio de calquera conxunto agás el mesmo, a relación de inclusión $\subseteq$ é unha orde parcial no conxunto ${\mathcal {P}}(S)$ (o conxunto de partes de S, o conxunto de todos os subconxuntos de S ) definido por $A\leq B\iff A\subseteq B$.

Cando se cuantifica, $A\subseteq B$ represéntase como $\forall x\left(x\in A\implies x\in B\right).$

Propiedades

• Un conxunto A é un subconxunto de B se e só se a súa intersección é igual a A.

Formalmente:

$A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cap B=A.$

• Un conxunto A é un subconxunto de B se e só se a súa unión é igual a B.

Formalmente:

$A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cup B=B.$

• Un conxunto finito A é un subconxunto de B, se e só se a cardinalidade da súa intersección é igual á cardinalidade de A.

Formalmente:

$A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.$

Exemplos de subconxuntos

Os polígonos regulares forman un subconxunto dos polígonos.

• O conxunto A = {1, 2} é un subconxunto propio de B = {1, 2, 3}, polo que ambas as expresións $A\subseteq B$ e $A\subsetneq B$ son verdadeiras.
• Calquera conxunto é un subconxunto de si mesmo, pero non un subconxunto propio. ( $X\subseteq X$ é certo, e $X\subsetneq X$ é falso para calquera conxunto X.)
• O conxunto {x : x é un número primo maior que 10} é un subconxunto propio de {x : x é un número impar maior que 10}
• O conxunto de números racionais é un subconxunto propio do conxunto de números reais. Neste exemplo, ambos os conxuntos son infinitos, pero o último conxunto ten unha cardinalidade maior que o conxunto anterior.

Outras propiedades da inclusión

$A\subseteq B$ e $B\subseteq C$ implica $A\subseteq C.$

A inclusión é a orde parcial canónica, no sentido de que todo conxunto parcialmente ordenado $(X,\preceq )$ é isomorfo a algunha colección de conxuntos ordenados por inclusión. Os números ordinais son un exemplo sinxelo: se cada n ordinal se identifica co conxunto $[n]$ de todos os ordinais menores ou iguais a n, daquela $a\leq b$ se e só se $[a]\subseteq [b].$

Para o conxunto das partes $\operatorname {\mathcal {P}} (S)$ dun conxunto S, a orde parcial de inclusión é, ata un isomorfismo de orde, o produto cartesiano de $k=|S|$ (a cardinalidade de S) copias da orde parcial en $\{0,1\}$ para o cal $0<1.$ Isto pódese ilustrar enumerando $S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},$, e asociando a cada subconxunto $T\subseteq S$ (é dicir, cada elemento de $2^{S}$) a k-tupla de $\{0,1\}^{k},$ dos que a coordenada i é 1 se e só se $s_{i}$ é membro de T.

Véxase tamén

Bibliografía

• Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2. 

Outros artigos

• teoría de conxuntos.

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Subset". MathWorld.