Teoría cuántica de campos

A teoría cuántica de campos (QFT, polo inglés Quantum Field Theory) é unha teoría que aplica as regras cuánticas ós campos continuos da Física, por exemplo o campo electromagnético, así como ás interaccións entre estes e o resto da materia. Proporciona así un marco teórico usado moito en física de partículas e física da materia condensada. En particular, a teoría cuántica do campo electromagnético, coñecida como electrodinámica cuántica, foi o primeiro exemplo de teoría cuántica de campos que se estudou e é a teoría probada experimentalmente con maior precisión da física. Os fundamentos da teoría de campos cuántica foron desenvolvidos entre o fin dos anos 20 e os anos 50, notablemente por Dirac, Fock, Pauli, Tomonaga, Schwinger, Feynman, e Dyson.

Os defectos da mecánica cuántica

A teoría de campos cuántica corrixe varias deficiencias da mecánica ordinaria cuántica. En breve:

A ecuación de Schrödinger, na forma en que en xeral se atopa, é:

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)$

onde Ψ é a función de onda dunha partícula, m a súa masa, e V a súa enerxía potencial.

Hai dous problemas con esta ecuación. En primeiro lugar, non é relativista, reducíndose á mecánica clásica e non á mecánica relativista no límite da correspondencia.

Para ver isto, observemos que o primeiro termo da esquerda é só a enerxía cinética clásica p²/2m, coa enerxía en repouso mc² omitida. É posible modificar a ecuación de Schrödinger para incluír a enerxía en repouso, dando por resultado a ecuación de Klein-Gordon ou a ecuación de Dirac. Con todo, estas ecuacións teñen moitas propiedades insatisfactorias; por exemplo, posúen espectros de enerxía que se estenden a -∞, de modo que non hai ningún estado de base. Tales inconsistencias ocorren porque estas ecuacións descoidan a posibilidade de crear ou de destruír partículas dinamicamente, que é un aspecto crucial da relatividade. A relación famosa masa-enerxía de Einstein predí que as partículas abondo masivas poden decaer en varias partículas máis lixeiras, e as partículas con enerxía abonda poden combinarse para formar partículas masivas. Por exemplo, un electrón e un positrón poden aniquilarse para crear fotóns. Tales procesos deben entón considerarse dentro dunha teoría cuántica verdaderamente relativista.

O segundo problema ocorre cando se tenta ampliar a ecuación a unha gran cantidade de partículas. Descubriuse que as partículas mecánico-cuánticas da mesma especie son indistinguibles, no sentido que a función de onda do conxunto enteiro debe ser simétrica (bosóns) ou antisimétrica (fermións) cando se intercambian as coordenadas das súas partículas constitutivas. Isto fai á función de onda dos conxuntos de moitas partículas moi complicada. Por exemplo, a función de onda xeral dun conxunto de N bosóns escríbese:

$\Phi (r_{1},...,r_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\phi _{p(1)}(r_{1})\cdots \phi _{p(N)}(r_{N})$

onde r_i son as coordenadas da partícula -í-ésima, φ_i é a función de ondas de cada partícula, e a suma reaslízase sobre tódalas posibles permutacións de N elementos. En xeral, esta é unha suma de N! (N factorial) termos distintos, que chega a ser inmanejable co incremento de N.

Campos cuánticos

Os problemas esbozados resólvense movendo a nosa atención desde un conxunto de partículas indestrutibles a un campo cuántico. O procedemento polo cal os campos cuánticos son construídos a partir de partículas individuais foi introducido por Dirac, e (por razóns históricas) coñécese como segunda cuantización.

Debemos mencionar dous puntos posibles de confusión. En primeiro lugar, as descricións xa mencionadas do "campo" e da "partícula" non se refiren á dualidade onda-partícula. Por partícula", referímonos ás entidades que posúen propiedades de onda e de partícula puntual no sentido mecánico-cuántico usual. Por exemplo, estas "partículas" non se localizan nun punto dado, senón que teñen certa (amplitude de) probabilidade de ser atopadas en cada posición no espazo. Ó que nos referimos con "campo" é a unha entidade que existe en cada punto no espazo, e que regula a creación e a aniquilación das partículas. En segundo lugar, a teoría do campo cuántica é esencialmente mecánica cuántica, e non unha substitución para a mecánica cuántica. Como calquera sistema cuántico, un campo cuántico posúe un hamiltoniano H (máis complicado que os hamiltonianos típicos de partículas sinxelas), e obedece a ecuación de Schrödinger usual:

$H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle$

(a teoría do campo cuántica formúlase a miúdo en termos dun lagranxiano, co que é máis conveniente traballar; as formulacións lagranxianas e hamiltonianas téñense por son equivalentes.)

En segunda cuantización, facemos uso da indistinguibilidade das partículas para funcións de ondas de multi-partículas especificándoas en termos de números de ocupación por partículas simples. Por exemplo, se supoñemos que temos un sistema de N bosóns que poden ocupar varios estados de partícula sinxela φ₁, de φ₂, de φ₃ etc, o método usual de escribir unha función de onda multi-partícula é asignar un estado a cada partícula e despois impoñer simetría de intercambio. Como vimos, a función de onda que resulta é unha suma pouco manejable de N! termos. Na aproximación por segunda cuantización, listamos de xeito sinxelo o número de partículas en cada un dos estados de partícula sinxelo, recordando que a función de onda multi-partícula é simétrica. Para ser precisos, supoñemos que N = 3, cunha partícula en estado φ₁ e dúas en estado φ₂. O xeito normal de escribir a función de onda é:

${\frac {1}{\sqrt {3!}}}\left[\phi _{1}(r_{1})\phi _{2}(r_{2})\phi _{2}(r_{3})+\phi _{2}(r_{1})\phi _{1}(r_{2})\phi _{2}(r_{3})+\phi _{2}(r_{1})\phi _{2}(r_{2})\phi _{1}(r_{3})\right]$

ou, expresado no formalismo da segunda cuantización,

$|1,2,0,0,\cdots \rangle$

Aínda que a diferenza é só de notación, o último xeito fai moi doado definir os operadores de creación e aniquilación, que agregan e restan partículas dos estados da multi-partícula. Estes operadores de creación e de aniquilación son semellantes ós definidos para o oscilador harmónico cuántico, que agrega e resta cuantos de enerxía. Con todo, estes *operadores, de xieto literal, crean e aniquilan partículas cun estado cuántico dado. Por exemplo, o operador de aniquilación a₂ ten os efectos seguintes:

$a_{2}|1,2,0,0,\cdots \rangle \equiv |1,1,0,0,\cdots \rangle {\sqrt {2}}$

$a_{2}|1,1,0,0,\cdots \rangle \equiv |1,0,0,0,\cdots \rangle$

$a_{2}|1,0,0,0,\cdots \rangle \equiv \quad 0$

(o factor √2 na primeira liña normaliza a función de onda, e non é importante)

Por fin, introducimos operadores de campo que definen a probabilidade de crear ou de destruír unha partícula nun punto particular no espazo. Resulta que a función de onda da partícula sinxela está descrito en xeral en termos do seu momento (como no problema dunha partícula nunha caixa), así que os operadores do campo poden ser construídos aplicando a transformación de Fourier ós operadores de creación e de aniquilación. Por exemplo, o operador de aniquilación do campo bosónico φ(r) (que non debe ser confundido coa función de onda) é

$\phi (\mathbf {r} )\equiv \sum _{i}e^{i\mathbf {k} _{i}\cdot \mathbf {r} }a_{i}$

Nas teorías cuánticas de campos, o hamiltoniano escríbese en termos dos operadores de creación e de aniquilación ou, de xeito equivalente, dos operadores do campo. A práctica anterior é máis común na física da materia condensada, mentres o último é máis común na física de partículas e fai máis doado ocuparse da relatividade. Un exemplo dun hamiltoniano escrito en termos dos operadores de creación e de aniquilación é:

$H=\sum _{k}E_{k}\,a_{k}^{\dagger }\,a_{k}$

isto describe un campo de bosóns (que non interactúan) libres, onde E_k é a enerxía cinética do k-ésimo modo do momento. De feito, este hamiltoniano é útil para describir fonóns, que non interactúan.

Axiomas de Osterwalder-Schrader

Baixo certas asuncións técnicas, demostrouse que unha teoría cuántica de campos euclidiana pode ser Wick-rotada nunha QFT de Wightman. Vexa Osterwalder-Schrader.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Fields^{[Ligazón morta]} por Warren Siegel. 800 páxinas. (en inglés)