מוגדר היטב

במתמטיקה, הביטוי מוגדר היטב מתאר את האופן שבו בנויה הגדרה מתמטית – העשויה להיות בנויה כראוי, ולתאר את מה שהיא מתיימרת לתאר, או להיות רק מראית-עין של הגדרה שכתובה על-פי כללי התחביר המתמטיים, אך אינה מגדירה בפועל דבר.

בדרך כלל, הגדרה מתמטית מתייחסת ישירות לעצם המוגדר, ואינה טעונה בדיקה. למשל, "במספרים השלמים, ה'עוקב' של x הוא המספר x+1": מכיוון שבמערכת המספרים השלמים ניתן לחבר, הערך של x+1 מוגדר באופן חד-משמעי. עם זאת, ישנם מצבים שבהם ההגדרה מסתמכת על הנחות סמויות, שאותן יש לוודא על-מנת שההגדרה תהיה תקפה. ישנם כמה מצבים שכיחים, שבהם יש להשקיע מאמץ מסוים כדי להראות שהעצם שאותו רוצים להגדיר אכן מוגדר היטב.

בחירת נציגים

לעיתים, ישנן כמה אפשרויות להציג אובייקט מסוים, ואז, אם רוצים לבצע על אובייקטים כאלה פעולה מסוימת, יש לוודא קודם לכן שהתוצאה אינה תלויה בנציגים שבוחרים. לדוגמה, אם נגדיר ש"ה'גובה' של מספר רציונלי $\ {\frac {a}{b}}$ הוא $\ a+b$". לכאורה, הוגדר כאן הגובה של כל מספר רציונלי. בפועל, מספר רציונלי איננו קובע באופן יחיד את זוג המספרים $\ a$ ו- $\ b$, משום שאפשר לצמצם ולהרחיב שברים, ולכן ההגדרה פגומה: הגובה של $\ {\frac {2}{3}}={\frac {6}{9}}$ הוא, כביכול, גם 5 וגם 15. זוהי תופעה כללית, המתרחשת כל אימת שמגדירים גודל מסוים עבור מחלקות שקילות של יחס שקילות באמצעות בחירה של נציגים. כדי להראות שהגודל מוגדר היטב, יש להוכיח שבחירת הנציגים אינה חשובה, ומתקבלת אותה תוצאה עבור כל נציג. למשל, כאשר מגדירים את החיבור של שברים לפי הנוסחה $\ {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$, יש לוודא שחיבור השברים $\ {\frac {\lambda a}{\lambda b}}+{\frac {\mu c}{\mu d}}$, לפי אותה נוסחה, יחזיר את אותו מספר רציונלי.

דוגמאות נוספות:

• על מנת להגדיר חיבור, כפל והעלאה בחזקה על עוצמות, יש לוודא שהתוצאה אינה תלויה בבחירת הקבוצות, שעוצמתן שוות לעוצמות הנתונות, עליהן מבצעים את הפעולה.
• פונקציית הסינוס מוגדרת כיחס בין הניצב ליתר במשולש ישר-זווית. הפונקציה מוגדרת היטב, ואינה תלויה בבחירת המשולש, כיוון שאם לשני משולשים אותן זוויות, אז הם דומים והיחס בין הצלעות הוא קבוע.

תכונות של אובייקט

"אם G חבורה, יהי $\ \phi :G\rightarrow G$ האוטומורפיזם המוגדר לפי $\ \phi (g)=g^{-1}$". לכל איבר $\ g\in G$, האיבר ההפוך $\ g^{-1}$ קיים; אבל הנוסחה הזו עדיין אינה הופכת את $\ \phi$ לאוטומורפיזם, אף על פי שההגדרה טוענת שזה האובייקט שהתקבל (ואכן, $\ \phi$ אינו בהכרח אוטומורפיזם). במקרה כזה, אפשר לומר "$\ \phi$ מוגדר היטב משום ש- G חבורה אבלית" (תכונת האבליות של G אכן מבטיחה שהפונקציה תהיה אוטומורפיזם).

הנחת קיום סמויה

"עבור מספר שלם $\ n$, נגדיר את 'המחצית השלמה' של $\ n$ להיות המספר השלם $\ m$, המקיים $\ 2m=n$". מובן שלא תמיד קיים מספר שלם כזה, ולכן ההגדרה פגומה. כך גם ההגדרה "ה'שומר' של מספר שלם $\ n$ הוא המספר השלם הגדול ביותר שסכום ספרותיו, ועוד מספר ספרותיו, שווה ל-$\ n$" – אמנם קיים מספר כזה, אבל טענה זו אינה כה מובנת מאליה; לכן, יש לבדוק שה"שומר" הוגדר היטב.

קישורים חיצוניים

• מוגדר היטב, באתר MathWorld (באנגלית)