פרדוקס

פרדוקס (מיוונית עתיקה: παράδοξος – פרדוקסוס) הוא סדרה של טענות, שמוכיחה כי ידיעותיו או אמונותיו של האדם סותרות זו את זו. באופן כללי ניתן להגדיר את הפרדוקס כמושג או טענה, אשר הסיבה לאמיתותם הופכת בסופו של דבר להיות הסיבה להפרכתם, וחוזר חלילה.

פרדוקסים יכולים לשכנע אנשים וקהילות חוקרות לשפר את ידיעותיהם או לשנות את אמונותיהם. פרדוקסים יכולים להתברר גם כניסוחים שגויים של טענות, המציגים רק בעיה לכאורה.

הפרדוקס יכול לבטא סתירה חיצונית כאשר הוא סותר ידע או הנחה קודמים, או סתירה פנימית כאשר ממנו עצמו נובעים דבר והיפוכו.

הגעה לפרדוקס יכולה להיות טכניקה בתחומי ידע שונים. הגעה לפרדוקס בתורת הנאום, יכולה לשכנע את המאזינים, לנטוש את דעותיהם הקודמות.

פרדוקסים יכולים להוות סיבה לבחינה מחודשת של תורה מתמטית. לדוגמה, פרדוקס ראסל הביא לבחינה מחודשת של הגישה הנאיבית לתורת הקבוצות ולפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.

פרדוקס השקרן: האם משפט זה הוא אמת או שקר?

הפרדוקס ביוון העתיקה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

מקור המילה פרדוקס הוא מיוונית עתיקה: para = ליד, מעבר; doxa = אמונה, דעה. המשמעות המקורית היא דבר שבמחשבה ראשונה נראה חסר מובן או בלתי אפשרי, אך לאחר עיון מעמיק מתברר שהוא נכון.

הפילוסוף זנון מאלאה השתמש בפרדוקסים על תנועה כדי להוכיח את תפיסת מורו – פרמנידס – על כך שהחושים מטעים אותנו, ויש להסתמך רק על המחשבה.

אצל סוקרטס הפרדוקסים מביעים את התוכן של תפיסתו המוסרית:

1. "המידה הטובה היא ידיעה".
2. "אין אדם עושה רע מדעתו".

הפרדוקס ככלי מדעי

פרדוקס יכול להתגלות בחיי היומיום, בסתירה לאמיתות הרווחות בציבור, או במסגרתן של תאוריות מדעיות, בסתירה למכלול הידע הקיים בהן.

בהשקפה נראה הפרדוקס כמטעה או מבלבל, אך לאמיתו של דבר נוטלים הפרדוקסים חלק חשוב במדע בפרט ובידע האנושי בכלל. נביעתו של פרדוקס מהנחה היא מן הדרכים הנפוצות להפרכתה של הנחה שגויה.

הפרדוקס מכריח אותנו לבחון מחדש את הידע שלנו, כדי לברר האם הסתירה נובעת מכשל סמוי בפרדוקס, כלומר הפרדוקס אינו נכון ואין כל סתירה, או שהפרדוקס מצביע על טעות בהנחות היסוד שלנו, ולכן עלינו לשנותן. הבהיר זאת פרופ' אסא כשר:

הפאראדוכסים הם מן הסימנים המובהקים של הקשיים המושגיים ושל המבוכות הלוגיות. אפשר להיפטר מהם על ידי סילוק הקשיים או הפגת המבוכות, באחת משתי דרכים. ההולך בדרך האחת מודה ועוזב – הוא מקבל את הפאראדוכס כעדות גמורה לכך שהמערכת המושגית שלו לקויה והוא משנה אותה במידה הדרושה כדי להסיר את הליקוי. ההולך בדרך האחרת כופר בעובדות ובאשמה – הוא אינו מקבל את הפאראדוכס, אלא מראה שהלה פורח על מגדל שהוא עצמו לקוי בשל סטיות סמויות מן המערכת המושגית הנתונה. בין אם כך ובין אם כך, הפאראדוכסים ילכו ויפוגו, אך לאורם יתבהרו לנו המושגים של עצמנו.

— פרופ' אסא כשר, פאראדוכס, סימן שאלה

סוגי פרדוקסים

ניתן לסווג פרדוקסים לקטגוריות העיקריות הבאות:

• פרדוקסים מתמטיים – מתעוררים ממושגי היסוד של המתמטיקה.
• פרדוקסים לוגיים – מתעוררים ממושגי היסוד של הלוגיקה והפילוסופיה.
• פרדוקסים בפיזיקה – עוסקים במושגים של זמן, חלל ותנועה, מהעולם העתיק ועד לפיזיקה מודרנית.
• פרדוקסים של עמימות או פרדוקסים הגדרתיים – נובעים ממגבלותיה של השפה הטבעית, ומן היכולת לטעון טענות שיש בהן סתירה פנימית.

פרדוקסים מפורסמים

להלן כמה פרדוקסים מפורסמים, שחלקם היו בעלי השפעה רבה על החשיבה המדעית במהלך ההיסטוריה.

פרדוקסים מילוליים

• בעיות של השפה הטבעית:
  • פרדוקס הערימה: מסירים מערימת חול גרגר אחר גרגר. מתי בדיוק היא מפסיקה להיות ערימה?
  • הפרדוקס של ברי: המספר השלם הקטן ביותר שאינו ניתן לתיאור באמצעות פחות ממאה אותיות.
  • הפרדוקס של גרלינג-נלסון: וריאציה לשונית של הפרדוקס של ראסל אודות קבוצות.
  • פרדוקס בוחן הפתע: מהמשפט "בשבוע הבא יתקיים בוחן פתע" נובע שהבוחן לא יתקיים. זאת משום שאם הוא לא יתקיים בין הימים א' עד ה', הרי שהוא לא יוכל להתקיים גם ביום ו', שהרי אז הוא לא יפתיע איש. ואם הוא לא יכול להתקיים ביום ו', אז באותו אופן הוא אינו יכול להתקיים גם ביום ה' ואם לא ביום ה', אז באותו אופן גם לא ביום ד' וכולי. משפט זה הוא פרדוקס לכאורה. הוא משתמש במילה "פתע" כאילו היא חייבת לתאר הפתעה מוחלטת, כאשר הבוחן המתואר היה בעל מרכיב הפתעה חלקי. הבוחן הגיע אחרי אזהרה מראש וכל יום שבו הוא לא התקיים, הוריד עוד ממידת ההפתעה שבו.
• הנחות יסוד בעייתיות:
  • פרדוקס השקרן: "משפט זה הוא משפט שקרי".
    • ובגרסה מפוצלת: "המשפט הבא הוא אמת. המשפט הקודם הוא שקר".
  • פרדוקס הקטגוריה השלישית: נחלק את כל המשפטים בעברית למשפטים שיש להם ערך-אמת (זאת אומרת הם או אמת או שקר, כמו "אתמול ירד גשם") ומשפטים שאין להם ערך-אמת (למשל, "המשפט הזה הוא שקר"). אז באיזו קטגוריה נמצא המשפט "אם יש למשפט זה ערך-אמת אז הוא שקר"? (משפט זה שקול לוגית ל"משפט זה אינו אמת" ולכן זוהי הכללה מסוימת של פרדוקס השקרן לעולם שבו המשפטים ניתנים למיון לעוד קטגוריות מלבד "אמת" ו"שקר". יש לשים לב שלכל המשפטים מהצורה "אם יש למשפט זה ערך-אמת אז (טענה כלשהי)" יש ערך-אמת, משום שאחרת המשפט נכון באופן ריק).
  • פרדוקס "אף תשובה אינה נכונה": במבחן רב ברירתי ישנה תשובה שאומרת שאין תשובות נכונות.
  • פרדוקס הכלל: "לכל כלל יש יוצא מהכלל." האם לכלל זה יש יוצא מהכלל? ואם כן, זה נוגד את ההנחה הראשונית.
  • פרדוקס הכול-יכול: האם ישות שהיא כל-יכולה מסוגלת ליצור כוח שיתגבר עליה?
  • פרדוקס הסַפָּר: בעיירה מסוימת גר ספר, המספר את כל התושבים שאינם מספרים את עצמם, ורק אותם. האם הספר מספר את עצמו?
  • הפרדוקס של קרי: המשפט "אם משפט זה נכון, אז יש סוסים שמדברים עברית" בהכרח נכון, ולכן יש סוסים שמדברים עברית.

פרדוקסים הקשורים לזמן

• פרדוקס הסבא: אתה נוסע לאחור בזמן והורג את סבא שלך לפני שהוא פגש את סבתא שלך. כתוצאה מכך אתה לא נולדת מעולם ולכן לא יכולת גם לחזור בזמן ולהרוג את סבא שלך. פרדוקס זה משמש כטיעון שמסע בזמן, אל העבר, אינו אפשרי.
• פרדוקס התאומים: כאשר אחד משני אחים תאומים יוצא מכדור הארץ במהירות קרובה למהירות האור, הוא חוזר מהמסע כשהוא צעיר מאחיו שנשאר בכדור הארץ.
• הפרדוקס של ניוקום: פרדוקס בהתנהגות רציונלית מול שחקן חוזה עתידות.
• פרדוקס הביצה והתרנגולת: מה קדם למה – הביצה או התרנגולת?
• פרדוקס המנורה של תומסון – מדליקים מנורה; כעבור דקה מכבים אותה; כעבור חצי דקה מדליקים אותה מחדש; כעבור רבע דקה מכבים אותה שוב, וכן הלאה. מה יהיה מצבה בתום התהליך?

פרדוקסים פיזיקליים

• פרדוקס הגלגל של אריסטו: הציור הקלאסי של הפרדוקס מתאר שני גלגלים בקטרים שונים, כאשר אחד נמצא בתוך השני ויש להן מרכז מעגל משותף. כל גלגל עושה דרך של קו ישר כשהדרך של כל גלגל נראית כ'היקף' הגלגל. אבל בפועל מקבלים שני קווים באותו אורך, ולכן היקף הגלגל הקטן צריך להיות זהה להיקף הגלגל הגדול, מה שסותר את ההנחה שיש להם היקפים בגדלים שונים, כלומר פרדוקס.
• הפרדוקסים של זנון: פרדוקסים על תנועה וזמן, מתקופת יון העתיקה. פרדוקסים אלו נחשבים היום לפתורים, בזכות פיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
• הפרדוקס של אולברס: אם היקום אינסופי ואחיד בקנה מידה מספיק גדול, על שמי הלילה להיות בהירים לחלוטין, כי יש כוכב בכל כיוון.
• הפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן, עוסק בהשפעת מאורעות רחוקים זה מזה במסגרת מכניקת הקוונטים.
• פרדוקס החתול של שרדינגר: פרדוקס במכניקת הקוונטים.
• פרדוקס עלי התה: מדוע עלי התה בכוס מתרכזים במרכז לאחר הבחישה ולא נודדים לשולי תחתית הכוס?
• פרדוקס הנובע מקיומה של סינגולריות כבידתית: שני גופים שמגיעים לנקודת סינגולריות בזמנים שונים יוצרים פרדוקס הנובע מכך ששעונו של כל אחד מהם עוצר כאשר הוא מגיע לנקודה זו. השערת הצנזורה הקוסמית אמורה למנוע את המצב הפרדוקסלי.
• פרדוקס המידע: מידע הטמון בחומר שנכנס לתוך חור שחור עלול להיעלם בעקבות תהליך ה"התאדות" של חורים שחורים (קרינת הוקינג), משום שתהליך זה אינו מוציא מידע מהחור השחור.
• הפרדוקס של גיל היקום: לפי התצפיות בראשית שנות ה-90 היה נראה כאילו יש כוכבים הזקנים מן היקום עצמו.
• פרדוקס המוט והאסם: פרדוקס בתורת היחסות הפרטית.

פרדוקסים מתמטיים

• הפרדוקס של קנטור: לקבוצת כל הקבוצות קיימת קבוצת חזקה שהיא מצד אחד גדולה יותר (בעלת עוצמה גבוהה יותר), ומצד שני מוכלת בקבוצת כל הקבוצות.
• הפרדוקס של ראסל: האם קבוצת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן, שייכת לעצמה?
• הפרדוקס של ברטראן: במשולש שווה-צלעות החסום במעגל, מה הסיכוי שמיתר במעגל יהיה ארוך יותר מצלע של המשולש? התוצאה תלויה באופן שבו נבחר המשולש.
• פרדוקס הלחמים: עבור מספר רב של לחמים ממאפיה מסוימת, משקלם מתפלג גאוסיינית, אם נבחר את האחוז העליון של הלחמים הכבדים ביותר, עבור מספר רב של לחמים, האם גם הם יתפלגו גאוסיינית?
• פרדוקס עגבניות השרי: עגבניות שרי הן עגבניות קטנות ויקרות יותר מעגבניות רגילות. מצד אחד החקלאי שמגדל את עגבניות השרי מעדיף עגבניות כמה שיותר גדולות מה שהופך אותם לדומות יותר ויותר לעגבניות רגילות כדי למקסם את הרווח שלו, מנגד הלקוחות הרוכשים את העגבניות מעדיפים עגבניות כמה שיותר קטנות מה שמביא אותנו לבעיית אופטימיזצייה. הדוגמה מתקיימת גם על מקרים נוספים וניתן להכלילה לבעיות נוספות.

תופעות נוגדות אינטואיציה

• הפרדוקס של גלילאו: מספרם של כל המספרים הטבעיים, זהה למספרם של אלו מהם שהם גם מספרים ריבועיים. הדבר נראה כסותר את העובדה הברורה, לכאורה, שיש יותר מספרים טבעיים מריבועיים. מכאן הסיק גלילאו, שמושגי ה"גדול", "קטן" ו"שווה", המוכרים לנו מקבוצות סופיות, אינם תקפים באותה צורה עבור קבוצות אינסופיות.
• הבעיה של מונטי הול: תוצאה בלתי אינטואיטיבית לבעיה פשוטה בתורת ההסתברות.
• פרדוקס יום ההולדת: די ב-23 אנשים בקבוצה כדי להבטיח בהסתברות גבוהה מחצי שלשניים מהם יהיה יום הולדת משותף.
• הפרדוקס של בנך-טרסקי: ניתן לחתוך כדור למספר סופי של חלקים, ולהרכיב מהם שני כדורים זהים לכדור המקורי.
• פרדוקס תפוחי האדמה: ייבוש כמות מים הנשמעת קטנה מקטין באופן דרמטי את משקל תפוחי האדמה.

פרדוקסים בפילוסופיה של המדע

• פרדוקס העורב: שימוש בשיטת האינדוקציה המדעית מוביל למצב שבו, כאשר אנו רואים תפוח אדום, זה אמור לחזק את אצלנו את ההשערה, שכל העורבים שחורים.
• הפרדוקס של נלסון גודמן: התאוריות 'חוקי הפיזיקה תקפים' ו'חוקי הפיזיקה תקפים אבל יתהפכו בסוף שנת 2019' מנפקות אותם ניבויים ולכן הידע שלנו תומך בשתיהן במידה שווה.

פרדוקסים של הטעיה

• פרדוקס הסוס: דוגמה של שימוש שגוי באינדוקציה מתמטית.
• פרדוקס המעטפות: ישנן שתי מעטפות באחת סך מסוים ובשנייה כפול. אדם מקבל מעטפה אחת, אך לכאורה תמיד משתלם לו לבקש תמיד שיחליפו אותה במעטפה שהוא לא קיבל. זהו פרדוקס לכאורה מתורת ההסתברות, המחשב את התוחלת תוך התעלמות מהליך ההגרלה.

פרדוקסים הלכתיים

• פרדוקס קידוש החודש: שני אנשים שבאו לסנהדרין ביום ל' לחודש אב והעידו שראו את מולד הלבנה, ובהתאם החליט בית הדין להכריז על אותו היום כ-א' באלול. לפני שהספיקו להכריז כך, הגיעו לבית הדין שני עדים אחרים לְהָזֵם את עדותם של העדים הראשונים או לפסלם, שני עדים אלה יהיו ביום א' לחודש אלול בני 13 ויום אחד (בני מצווה) וכשירים לעדות מאותו יום.
• פרדוקס השבת אבידה וכיבוד אב: כאשר יש לאדם שלוש אפשרויות: כיבוד אב, השבת אבידת עצמו והשבת אבידת חבירו, יש בעיה מה יבחר: השבת אבידת חבירו קודמת לכיבוד אב, השבת אבידת עצמו קודמת להשבת אבידת חבירו, וכיבוד אב קודם להשבת אבידת עצמו (לדעה מסוימת).
• פרדוקס בגירושין על תנאי: כאשר בעל גירש את אשתו על תנאי שהיא צדיקה, לאחר מכן היא נדרה נדר, הוא הפר לה והיא עברה על הנדר: אם נאמר שהיא מגורשת, א"כ הפרתו לא מועילה, ואם כן היא עברה על הנדר וממילא אינה צדיקה, וא"כ אינה מגורשת. אך אם אינה מגורשת, א"כ הפרתו מועילה, וא"כ לא עברה על הנדר והיא צדיקה, וממילא מגורשת.
• פרדוקס שני שבילין: כאשר דבר טמא (כגון מת) נמצא באחד משני מקומות ציבוריים (רשות הרבים), ושני אנשים עברו בשני המקומות. במקרה זה ישנו כלל לפיו ספק טומאה ברשות הרבים – טהור, ועל כן אם אחד מהאנשים בא להישאל על מצבו, הוא יוגדר כטהור. הפרדוקס הוא במקרה ושני האנשים באים אחד אחרי השני, כך שאחד מהם הוא טמא בוודאי.
• פרדוקס נר חנוכה ונר שבת: כאשר לאדם יש כסף לנר חנוכה או לנר שבת חובה עליו לקנות נר שבת כי שלום בית עדיף. אם לאדם אין כסף לנר חנוכה חובה עליו למכור את כסותו על מנת להדליק נר חנוכה. אם לאדם אין כסף לנר שבת הוא אינו חייב למכור כסותו לנר שבת. אם כן כאשר אדם בשבת של חנוכה אין לו כסף, מה יעשה? לנר שבת אינו חייב למכור כסותו, אולם לנר חנוכה חייב למכור, אך אם יקנה נר חנוכה נר שבת עדיף, אבל עבור נר שבת לא מוכר את כסותו...

ראו גם

	ספר: פרדוקסים
אוסף של ערכים בנושא הזמינים להורדה כקובץ אחד.

• התייחסות עצמית

לקריאה נוספת

• ענת בילצקי, ‏פרדוקסים, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1996
• יהושע בר-הלל, הגיון, לשון ושיטה, הוצאת ספרית פועלים, 1970.
• רות מנור, "מה פרדוקסלי בפרדוקסים?", פילוסופיה ישראלית, הוצאת פפירוס, 1982.
• ארנון אברון, ‏משפטי גדל ובעית היסודות של המתמטיקה, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1998
• מריוס כהן, "הפוך על הפוך", מדור בנושא פרדוקסים, גליליאו, גיליונות 103–123, מרץ 2007 – נובמבר 2008.
• רוני רייך, פרדוקס ראש החודש, גליליאו, כת-עת למדע ולמחשבה, 114 (פברואר 2008), עמ' 68–69.
• שמואל אהרן פיש, משברי ים, בענייני גלגל החוזר, בני ברק ה'תש"ע–ה'תשע"ד. לקריאה באתר היברובוקס: חלק א', חלק ב'.

קישורים חיצוניים

• חיים גייפמן ואילן עמית, ‏על פרדוקסים ומשמעותם, מחשבות 52, נובמבר 1983, עמ' 14–19
• רועי יהושוע, פרדוקסים, באתר "בארץ הדעת"
• ענת בילצקי, מהו פרדוקס?, באתר מט"ח
• פרדוקסים הלכתיים הנובעים מסיבה התלויה בתוצאה מתוך הספר "קובץ יסודות וחקירות" ערך "חלויות" ד"ה "תלוי בעצמו".
• חשיבה פרדוקסלית – מה זה ולמה כדאי לך להשתפר בה?, באתר טקסטולוגיה
• פרדוקסים, דף שער בספרייה הלאומית