גרף שלם

בתורת הגרפים, גרף שלם (או "גרף מלא") $G=(V,E)$ הוא גרף פשוט לא מכוון אשר כל שני צמתים $n_{1},n_{2}\in V$ בו מחוברים על ידי קשת. נהוג לסמן גרף שלם בעל $n$ צמתים ב-$K_{n}$. גרף שלם מהווה דוגמה לקוגרף.

גרף שלם

הגרף השלם $K_{6}$
מספר צמתים	$\textstyle n$
מספר קשתות	$\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}$
רדיוס	$\left.{\begin{aligned}{\begin{matrix}n\leq 1&,0\\n>1&,1\end{matrix}}\end{aligned}}\right\}$
מותן	$\left.{\begin{aligned}{\begin{matrix}&n\leq 2&,\infty \\&n>2&,3\end{matrix}}\end{aligned}}\right\}$
אוטומורפיזם	(Sn) $n!$
מספר צבעי צומת	n
תכונות	$(n-1)$-רגולרי גרף רגולרי-חזק גרף סימטרי גרף טרנזיטיבי
סימון	$K_{n}$

גרף שלם הוא הקליקה (clique) של עצמו. קליקה בגרף לא מכוון היא תת-קבוצה של הצמתים שבה כל שני צמתים מחוברים בקשת.

תכונות

בגרף שלם בעל $n$ צמתים ישנן ${\frac {n(n-1)}{2}}$ קשתות (ראו מספר משולשי: קומבינטוריקה) והוא גרף רגולרי מדרגה ${n-1}$. בגרף שלם רכיב הקשירות של הגרף הוא הגרף עצמו. בנוסף, הגרף המשלים של גרף שלם הוא גרף ריק.

אם כל אחד מקשתות הגרף תקבל כיוון, הגרף שיתקבל יקרא גרף תחרות.

ניתן לפרק גרף $K_{n}$ ל-${n}$ עצים, $T_{1},\dots ,T_{n}$, כאשר כל העץ $T_{i}$ כולל ${i}$ צמתים.

מספר המסלולים השונים בין שני צמתים מסוימים ב $K_{n+2}$ נתון על ידי $w_{n+2}=n!e_{n}=\lfloor en!\rfloor$ , כאשר $e$ הוא קבוע אוילר ו $e_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}$ .

מספר הזיווגים בגרף שלם $K_{n}$, הידוע גם כ"מספרי טלפון", הוא $$T(n)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(2k-1)!!=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n!}{2^{k}(n-2k)!k!}}.$$

בתורת הסיבוכיות הוכח שבעיית מציאת תת-גרף שלם הגדול ביותר בגרף נתון נכללת בקטגוריה NP-קשה, והצגתה כבעיית הכרעה ("האם קיים תת-גרף שלם מסדר הגדול מ-k?") היא בקטגוריה NP-שלמה. חיפוש של קליקה שקול לחיפוש של קבוצה בלתי תלויה (קבוצת צמתים אשר אין זוג מהם המחוברים בקשת) בגרף המשלים (שקבוצת הקשתות שלו משלימה את קבוצת הקשתות של הגרף הנתון). לכן האלגוריתמים הידועים לשתי הבעיות הם בעלי סיבוכיות זהה וכן תוצאות הקושי לקירוב.

גאומטריה וטופולוגיה

גרף שלם עם ${n}$ צמתים מייצג את הקודקודים של סימפלקס ממימד ${n-1}$. מבחינה גאומטרית, $K_{3}$ יוצר את קבוצת הקודקודים של משולש, $K_{4}$ יוצר ארבעון וכו'.

הגרפים $K_{1}$ עד $K_{4}$ הם גרפים מישוריים, אבל הגרף השלם $K_{5}$ הוא אחד משני הגרפים היחידים שאינם מישוריים. הגרף השני הוא $K_{3,3}$ – הגרף הדו צדדי המלא בעל 3 צמתים בכל צד. משפט קורטובסקי קובע שגרף מישורי אם ורק אם אינו כולל תת-גרף שהוא חלוקה של $K_{5}$ או $K_{3,3}$.

דוגמאות

גרפים שלמים בעלי $n$ צמתים, עבור $n$ בין 1 ל-12, מוצגים להלן ביחד עם מספר הקשתות:

K1: 0	K2: 1	K3: 3	K4: 6
K5: 10	K6: 15	K7: 21	K8: 28
K9: 36	K10: 45	K11: 55	K12: 66

ראו גם

• קוד פרופר

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא גרף שלם בוויקישיתוף

• גרף שלם, באתר MathWorld (באנגלית)