מספר משוכלל

מספר משוכלל או מספר מושלם הוא מספר טבעי השווה לסכום כל המחלקים הטבעיים שלו מלבד המספר עצמו. המספר המשוכלל הראשון הוא 6=1+2+3, ואחריו באים 28=1+2+4+7+14, 496 ו־8128 (סדרה A000396 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים). עיקר העניין במספרים משוכללים היה בימי הביניים, מסיבות נומרולוגיות. היום הם משמשים אבן בוחן ליכולת החישוב בבדיקת ראשוניותם של ראשוניים גדולים.

היסטוריה

ארבעת המספרים המשוכללים הראשונים היו ידועים כבר ליוונים הקדמונים. אוקלידס היה הראשון שהבחין שכל המספרים האלה תואמים לתבנית $\ 2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)$, כאשר $2^{n}-1$ הוא מספר ראשוני (ההוכחה לכך שכל מספר מצורה זו הוא משוכלל מובאת בהמשך).

רק בשנת 1356 התגלה המספר המשוכלל החמישי, 33,550,336, שגם הוא תואם לנוסחה של אוקלידס (עם n=13).

כדי ש־$2^{n}-1$ יהיה ראשוני, נדרש שגם $n$ עצמו יהיה ראשוני. מספרים ראשוניים מן הצורה הזו נקראים מספרי מרסן ראשוניים, על שמו של המתמטיקאי הצרפתי מרן מרסן (Marin Mersenne), שהודיע – בטעות – על מציאת מספרים משוכללים חדשים בשנת 1644.

לאונרד אוילר הראה שכל מספר משוכלל זוגי מתאים לתבנית שמצא אוקלידס. השאלה האם קיימים אינסוף מספרים משוכללים זוגיים, או לחלופין האם קיימים אינסוף מספרי מרסן ראשוניים, עודנה פתוחה.

בשנת 1952 החלו להיעזר במחשבים לשם מציאת מספרים משוכללים ובאותה שנה כבר נודעו 17 מספרים שכאלה. מאז ממשיך החיפוש ביתר שאת בעזרת מחשבי-על ובעזרת חישוב מבוזר קהילתי, ונכון ל-2023 ידועים 51 מספרים משוכללים. החיפוש הוא אחר ראשוניי-מרסן, שמהם נוצרים מספרים משוכללים זוגיים בלבד, ולכן אין בו כדי לסייע בתשובה לשאלת הקיום של מספרים משוכללים אי-זוגיים.

מספר משוכלל הוא מספר המקיים את המשוואה $\ \sigma (n)=2n$כאשר $\ \sigma$היא פונקציית סכום המחלקים. מספרים שעבורם $\ \sigma (n)<2n$נקראים מספרים חסרים, ואלו שעבורם $\ \sigma (n)>2n$נקראים מספרים שופעים.

הראשון מחכמי ישראל שמזכיר מספרים משוכללים, הוא הפילוסוף היהודי פילון האלכסנדרוני שכתב, בהתבסס על פילוסופיה יוונית, על מספרים וחשיבותם בסיפור בריאת העולם. לדעתו המספרים המשוכללים הם ביטוי לשלמות, ומשום כך נברא העולם בשישה ימים. גם רבי אברהם אבן עזרא הזכיר מספרים אלה בפירושו לתורה (שמות, ג', ט"ו), הוא מכנה אותם "מספרים שווים".

הנוסחה למציאת מספרים משוכללים

מספרים משוכללים רבים הם מהצורה $\ 2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)$עבור $n$ כך ש-$2^{n}-1$ הוא מספר מרסן ראשוני. להלן הוכחה לכך שכל המספרים מהצורה הזו הם אכן משוכללים:

נתון שהמספר $\left(2^{n}-1\right)$ ראשוני, שנסמן מעתה באות $\,p$. עלינו להוכיח שהמספר $2^{n-1}\cdot p$ הוא מספר משוכלל.

ראשית נמצא את כל מחלקיו של המספר (מלבד המספר עצמו):

$\{1,2,4,8,\ldots ,2^{n-1},p,2p,4p,8p,\ldots ,2^{n-2}\cdot p\}$

כעת נראה כי סכום איברים אלה שווה למספר עצמו. נחשב את המספר כך:

$1+2+4+8+\ldots +2^{n-1}+(1+2+4+8+\ldots +2^{n-2})\cdot p$

ומאחר שסכום כל חזקות ה-2 עד $\,m$ כלשהו שווה ל:$\!\,2^{m+1}-1$ (מכיוון שזהו סכום של סדרה הנדסית), ניתן לכתוב סכום זה כך:

$2^{n}-1+(2^{n-1}-1)\cdot p=p+(2^{n-1}-1)\cdot p=2^{n-1}\cdot p$

וזהו בדיוק המספר המקורי, ובכך הושלמה ההוכחה.

מספרים משוכללים זוגיים

בערך 2000 שנה אחרי אוקלידס עשה המתמטיקאי לאונרד אוילר צעד משמעותי, כאשר הוכיח שכל מספר משוכלל זוגי הוא בהכרח מן הצורה המתוארת לעיל.

הוכחה:

נניח ש-$n$ הוא מספר משוכלל זוגי. ניתן לרשום את $n$ בצורה $n=2^{k-1}m$ כאשר $k>1$ ו-$m$ הוא מספר אי זוגי שבפרט זר ל-$2^{k-1}$. נרצה לחשב את $\sigma (n)$, כאשר $\sigma$ היא פונקציית סכום המחלקים.

מכיוון ש-$\sigma$ היא פונקציה כפלית על מספרים זרים, מתקיים:

$\sigma (n)=\sigma (2^{k-1}m)=\sigma (2^{k-1})\sigma (m)=(2^{k}-1)\sigma (m)$, אבל באותו הזמן $n$ משוכלל, ולכן

$\sigma (n)=2n=2^{k}m$.

מצירוף השוויונות מתקבל $2^{k}m=(2^{k}-1)\sigma (m)$, ומכאן ש-$2^{k}-1$ מחלק את $2^{k}m$; אבל $2^{k}-1$ ו-$2^{k}$ זרים, ולכן $2^{k}-1$ מחלק את $m$, ונכתוב $m=(2^{k}-1)M$. אם נציב הצגה זו של $m$ במשוואה האחרונה ונצמצם, נקבל: $\sigma (m)=2^{k}M$.

בין המחלקים של $m$ אפשר למנות לפחות את $M$ ואת $m$ עצמו (השונים זה מזה), ולכן $2^{k}M=\sigma (m)\geq m+M=2^{k}M$. מכאן שאי-השוויון החלש הוא למעשה שוויון, ולכן $m$ ו-$M$ הם המחלקים היחידים של $m$; אבל 1 מחלק את $m$, ולכן $M=1$. הוכחנו כי $m=2^{k}-1$, וכי הוא ראשוני.

מספרים משוכללים אי-זוגיים

באשר למספרים משוכללים אי-זוגיים, לא ידוע האם קיים ולו אחד כזה. שאלת קיומם היא כנראה הבעיה המתמטית הפתוחה העתיקה ביותר שטרם הוכרעה, והיא רמוזה ביסודות שכתב המתמטיקאי אוקלידס בראשית המאה השלישית לפנה"ס. כן ידוע שלמספר משוכלל אי-זוגי (אם קיים) יש לפחות 1,500 ספרות עשרוניות, לפחות 101 גורמים ראשוניים (כולל כפילויות - גורמים ראשוניים החוזרים כמה פעמים) ולפחות 10 גורמים ראשוניים שונים זה מזה, גורם ראשוני הגדול ביותר, גדול מ-100,000,000, גורם שהוא חזקת ראשוני הגדול מ-$\ 10^{12}$ (ב.י. מושקאט, 1966), גורם ראשוני שני בגודלו, הגדול מ-10,000 (P. Hagis Jr., 1980), גורם ראשוני שלישי בגודלו, הגדול מ-100, ומספר מחלקים אי זוגי .

אייסטיין אור חקר את היחס בין מספר המחלקים של n לבין סכום ההפכיים של המחלקים; אם n משוכלל, אז היחס הזה שלם. אור שיער שאם n אי-זוגי היחס אינו שלם (חוץ מהמספר 1) (זו הכללה של ההשערה המפורסמת על אי קיומו של משוכלל אי-זוגי).

ראו גם

• מספר כמעט משוכלל
• מספר רב משוכלל
• מספר דמוי משוכלל
• מספר קוואזי משוכלל
• מספרים ידידים
• מספרים חברותיים
• מספר אור
• ראשוני מרסן
• מספר שופע
• מספר חסר
• מספר מוזר

קישורים חיצוניים

• מספרים משוכללים/טיפוסי מספרים בתורת המספרים באתר של המרכז לתכנון לימודים במכללת קיי, באר-שבע
• The Oldest Unsolved Problem in Math, סרטון בערוץ "Veritasium", באתר יוטיוב (אורך: 31:33)
• מספר משוכלל, באתר MathWorld (באנגלית)
• מספר משוכלל, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)