Alef broj

U matematičkoj teoriji skupova, alef brojevi predstavljaju brojeve koji se koriste za označavanje kardinalnosti (broja članova) beskonačnih skupova. Njihova oznaka je hebrejsko slovo alef ( $\aleph$ ).

Kardinalnost skupa prirodnih brojeva je $\aleph _{0}$ (alef-nula); sljedeća veća kardinalnost je alef-jedan $\aleph _{1}$ , pa $\aleph _{2}$ i tako dalje. Na ovaj je način moguće definirati kardinalni broj $\aleph _{\alpha }$ za svaki ordinalni broj α.

Ovaj je koncept uveo Georg Cantor, koji je i uveo pojam kardinalnosti, te došao do zaključka da beskonačni skupovi mogu imati različite kardinalnosti.

Alef brojevi se razlikuju od beskonačnosti (∞) koja se često susreće u algebri ili matematičkoj analizi. Alef brojevi označuju veličinu skupova; beskonačnost, s druge strane, se obično definira kao krajnja granica pravca realnih brojeva. Iako neki alef brojevi mogu biti veći od drugih, ∞ je jednostavno ∞.

Alef-nula

Alef-nula ( $\aleph _{0}$ ) je po definiciji kardinalnost skupa svih prirodnih brojeva (pretpostavljajući, kao i obično, aksiom izbora). Alef-nula je najmanji od svih beskonačnih kardinalnosti. Skup ima kardinalnost $\aleph _{0}$ ako i samo ako je prebrojivo beskonačan, što je slučaj ako i samo ako se može napraviti izravna bijekcija, ili jedan-jedan preslikavanje sa skupom prirodnih brojeva. Među takvim skupovima su skupovi svih prostih brojeva, svih cijelih brojeva ili skup svih racionalnih brojeva.

Alef-jedan

$\aleph _{1}$ je kardinalnost skupa svih prebrojivih ordinalnih brojeva, zvanog ω₁ ili Ω. Treba imati na umu da je ω₁ neprebrojiv skup. Ova teorija implicira (i u samoj Zermelo-Fraenkel teoriji skupova (ZF), bez aksioma izbora) da ne postoji kardinalan broj između $\aleph _{0}$ i $\aleph _{1}$ . Ako se koristi aksiom izbora, može se dalje dokazati da je klasa kardinalnih brojeva potpuno (totalno) uređena, te da je stoga $\aleph _{1}$ drugi najmanji beskonačan kardinalan broj. Korištenjem aksioma izbora se može pokazati jedno od najkorisnijih svojstava skupa Ω (standardan primjer skupa veličine $\aleph _{1}$ ): svaki prebrojivi podskup skupa Ω ima gornju granicu (u odnosu na standardnu dobru uređenost ordinala) u Ω (dokaz je lak: prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiva - ovo je jedna od najčešćih primjena aksioma izbora). Ova činjenica je analogna situaciji u $\aleph _{0}$ : svaki konačan skup prirodnih brojeva (podskup od ω) ima maksimum, koji je također prirodan broj (ima gornju granicu u ω) — konačne unije konačnih skupova su konačne.

Ω je u stvari koristan koncept, iako zvuči pomalo egzotičan. Primjer primjene je zatvaranje u odnosu na prebrojive operacije; na primjer, pokušaj eksplicitnog opisivanja σ-algebra generirane proizvoljnom kolekcijom podskupova. Ovo je teže od većine eksplicitnih opisa "generiranja" u algebri (na primjer vektorskih prostora, grupa, itd.) jer u tim slučajevima moramo zatvoriti samo u odnosu na konačne operacije - zbrajanja, umnoške i slično. Proces uključuje definiranje, za svaki prebrojivi ordinal, putem transfinitne indukcije, skupa ubacivanjem svih mogućih prebrojivih unija i komplemenata, i uzimanjem unije svega toga nad cijelim Ω.

Hipoteza kontinuuma

Kardinalnost skupa realnih brojeva je $2^{\aleph _{0}}$ . Nije jasno gdje ovaj broj potpada u hijerarhiji alef-brojeva. Iz hipoteze kontinuuma slijedi identitet:

2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.

Hipoteza kontinuuma je neovisna od Zermelo-Fraenkel teorije skupova s aksiomom izbora: ne može se ni dokazati niti opovrgnuti unutar konteksta tog aksiomatskog sustava. Kurt Gödel je 1940. dokazao njenu konzistentnost sa ZF teorijom skupova s aksiomom izbora; Paul Cohen je 1963. demonstrirao neovisnost od ZF teorije skupova s aksiomom izbora.

Alef-ω

Konvencionalno se najmanji beskonačan ordinal označuje s ω, i kardinalan broj $\aleph _{\omega }$ je najmanja gornja granica

\left\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}.

Alef-ω je prvi neprebrojivi kardinalan broj za koji se unutar ZF teorije skupova može pokazati da nije jednak kardinalnosti skupa realnih brojeva; za bilo koji pozitivan cijeli broj n se može konzistentno pretpostaviti da je $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}$ , i štoviše, moguće je pretpostaviti da je $2^{\aleph _{0}}$ proizvoljno velik.

Alef-α za opći α

Kako bi se definirao alef-α za proizvoljan ordinalan broj α, mora se definirati operacija kardinala sljedbenika, koja proizvoljnom kardinalnom broju ρ dodjeljuje sljedeći veći dobro uređen kardinal $\rho ^{+}$ . (Ako vrijedi aksiom izbora, tada je ovo sljedeći veći kardinal.)

Tada se mogu definirati alef brojevi na sljedeći način

\aleph _{0}=\omega

\aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}

i za λ, beskonačan granični ordinal,

\aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }.

α-ti beskonačni početni ordinal se označuje sa $\omega _{\alpha }$ . Njegova kardinalnost je $\aleph _{\alpha }$ .

Fiksne točke za alef

Za bilo koji ordinal α slijedi

\alpha \leq \aleph _{\alpha }.

U mnogim slučajevima $\aleph _{\alpha }$ je strogo veći od α. Na primjer, za bilo koji ordinal sljedbenik α, ovo vrijedi. Međutim, postoje neki granični ordinali, koji su fiksne točke alef funkcije. Prvi takav je granica niza

\aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},\ldots

Svaki nedostupni kardinal je također fiksna točka alef funkcije.