Aljèb

Aljèb (soti nan mo Arabik الجبر ki vle di "konplete" oubyen "konekte"), se yon branch nan matematik ki defini antanke jeneralization ak extansyon e ki fokus sou strikti relasyonnèl avèk yon apwòch abstrè. Relasyon ke li etidye yo ka vin sou fòm modilè, egalite oubyen inegalite. Youn nan kote aljèb gen yon pakèt enpòtans se nan solisyon ekwasyon. Yon ekwasyon se yon relasyon egalite ki relye yon ansanm eleman ak yon lòt. Pa ekzanp, si pou chak chèz yon machann vann, li resevwa 4 goud, nou ka fòmile yon ekwasyon ki relye revni machann nan, sètadi lajan li resevwa pou chèz li vann; tankou ekwasyon sa " R = 4S " kote S reprezante konbyen chèz machann nan vann, epi R reprezante revni (revni relatif ou total), sètadi kòb machann nan rantre apre li vann yon kantite chèz; konstant lan, sètadi chif invaryab la, ki se 4 nan ekwasyon sa, gen yon non espesyal nan etid ekwasyon lineyè ki se "koyefisyan lineyè". Otreman di, koyefisyan lineyè a reprezante konben fwa revni an ogmante pou chak inite chèz ki vann. Pa ekzanp, si machann nan ale nan mache ak 20 chèz e li vann tout, revni total li ap " R = 4(20) = 80 goud". Strikti aljebreyik yo se strikti ki pèmèt nou ekri yon pwoblèm matematikman an deyò konsèp limit ke nou jwenn nan analiz, e an deyò konsèp grafik ke nou jwenn nan jewometri. Mo aljèb la limenm gen yon orijin arab, men moun nan tan lontan tankou Babilonyen ak Ejipsyen yo te konn rezoud ekwasyon lineyè e menm kèk ekwasyon kwadratik (dezyem degre) ou kibik (twazyem degre). Youn nan premye dokiman ke nou jwenn nan antikite ki trete pwoblèm aljebrik se "Papyrus Rhind". Youn nan pwoblèm ke nou rankontre nan dokiman sa a gen pou wè ak patisyon manje:

"Nou dwe separe 100 tranch pen ak 10 moun. Nan dis moun sa yo, gen yon navigatè, yon kontremèt ak yon jadinye, e tou lètwa dwe jwenn 2 fwa lavale chak. Konben nou dwe bay chak moun nan ka sa?"

Pou rezoud pwoblèm sa a, n ap rele kantite twa moun yo dwe resevwa a $\displaystyle {x}$ , e kantite lot 7 moun yo dwe resevwa a $\displaystyle {y}$ . Rezilta a ap de ekwasyon lineyè:

                                 (1) 100 = 3x + 7y

                                 (2) x = 2y

Sipoze nou vle rezoud problèm istorik sa, pou nou kapab trouve konben tranch pen chak moun te resevwa nan sitiyasyon sila. Nou ka fè yon kalkilasyon aritmetik mantal rapid — itilize divizyon. Si nou t ap trete tout moun egal, divize 100 tranch pen pa 10 moun, klèman chak moun dwe jwenn 10 tranch pen. Sepandan, nou pa kapab trete tout moun egal. Problèm nan klèman kòmande nou fò ke navigatè a, kontremèt la, ak jadinye a jwenn de fwa valè rès sèt moun endisteng yo.

Pou nou rezoud problèm sa, fò ke nou jwenn omwen youn nan de bagay sa yo : (1) kantite chak nan twa moun distenge sa yo resevwa (i.e. ki valè $\displaystyle {x}$ ye), oubyen (2) kantite chak nan lòt sèt moun endistenge yo resevwa (i.e. ki valè $\displaystyle {y}$ ye). Paske, selon ekwazyon (2), si nou jwenn yon faktè, nou senpleman miltipliye, oubyen divize pou nou kapab jwenn lòt la.

Senp Sistèm d Ekwazyon

Yon fason nou kapab rezoud yon senp sistèm d ekwazyon lineyè se pa ploge yon ekwazyon nan lòt, pou jiskan n trouve yon faktè. Apre sa, ranvèse prosès la pa sibtitiye an retou (i.e. itilize faktè nou deja konnen-an, ploge li nan yon ekwazyon ki kapab ba nou youn nan lòt faktè n’ap chache yo). Reyalize, malgre ke nou pa gen valè nimerik ke twa moun distenge yo resevwa, nou genyen li aljebreyikman, nou te deside reprezante sa pa $\displaystyle {x}$ , i.e. ekwazyon (2). Lè nou ploge li nan ekwazyon (1), nou vini rive ak yon fòmil ki gen yon sèl varyab, ke nou rele ekwazyon (3):

                                 (1) 100 = 3x + 7y

                                 (2) x = 2y
                                 
	                         (3) 100 = 3(2y) + 7y.

Nou kapab klèman rezoud ekwazyon (3) pou $\displaystyle {y}$ . Twa fwa 2 bay 6. Sis plis 7 egal ak 13.

                                                                  
	                         (3) 100 = 13y.
	                              
                                       y = 7.7

La li evidan ke nou rive ak $\displaystyle {y}$ lè nou divize 100 pa 13. Chak nan mesye endistenge yo resevra 7 pen, avèk fraksyon plis ke yon demi. Nou sispèk resilta sa pa twò mal ; paske nou te deja etabli nan sèvo nou ke mesye endistenge yo dwe jwenn mwens ke 10 pen. Kounye a la, kòm nou te deja eksplike, itilize ekwazyon (2), nou rive jwenn ki valè pen navigatè a, kontremèt la, ak jadinye a chak resevra :

Yo chak resevwa de fwa la valè, oubyen 15 pen, ak yon fraksyon mwens ke yon demi pen. Finalman, si nou ap grate tèt nou toujou mande èske nou dakò ak rezilta sa a. Nou gen yon lòt opòtinite pou tcheke toujou. Selon ekwazyon (1), se sèlman 100 pen n ap divize. Le nou konte konben moun distenge kòm endistenge resevwa (i.e. tou lè 10 moun ansanm), valè sila pa sipoze depase 100 pen. Itilize ekwazyon (1), epi ploge rezilta pou $\displaystyle {x}$ ak $\displaystyle {y}$ , nou jwenn :

                                (1) 100 = 3(15.4) + 7(7.7)
                                    
                                    100 = 100

Pou twa degre signifikan, ekwazyon (1) rezoud nan yon egalite lè nou ploge tou lè de faktè yo. Sa vin asire nou ke rezilta sa korèk.

Yon apròch altenativ nou kapab pran pou nou resòlve sistèm de de ekwazion sa, kòmanse pa ekri chak ekwazyon nan yon fòm kòm sa : A $\displaystyle {x}$ + B $\displaystyle {y}$ = C. Kote A, B, ak C reprezante konstan. Itilize fòmat sa, men kijan nou t’ap ekri ekwazyon (1) ak ekwazyon (2).


                                 (1) 3x +7y = 100


                                 (2) x – 2y = 0

Pou trouve yon solisyon, objektiv nou pa chanje. Nou bezwen yon faktè. Paske, depi nou jwenn youn, nou kapab sibtitiye an retou pou nou sove yon lòt. An nou kòmanse pa miltipliye ekwasyon (2) pa 3. Chonje ke miltipliye pa yon konstant p’ap afekte ekwansyon an. Geometrikman pale, li toujou reprezante menm lign nan. Nou jwenn

                                 (2) 3(x) – 3(2y) = 3(0)
                                
                                     3x – 6 y = 0

Men sistèm lan nan kòrèk fòmat la.


                                 (1) 3x +7y = 100


                                 (2) 3x – 6 y = 0

Kounia la, nou kapab itilize aritmetik pou nou elimine youn nan faktè yo. Operasyon nesesè-a se soustraksyon. Retire ekwazion (2) nan ekwazyon (1), nou jwenn rezilta sa : 13 $\displaystyle {y}$ = 100. Paske


                                 3x – 3x = 0
                                
                                 7y – (-6y) = 13y
                                
                                 100 – 0 = 100

                               
                                 (3)  13y = 100

Kòm nou te espere, rezilta sa menm avèk ekwazyon (3) nou te jwenn nan nan premye apròch nou te pran pou rezoud problèm sa. Tout rès operasyon yo se men avèk premye apròch la. Trouve $\displaystyle {y}$ pa divize 100 pa 13. Aprè, itilize ekwazyon (2), avèk rezilta nou jwenn pou $\displaystyle {y}$ la, nou arive jwenn avèk $\displaystyle {x}$ .


                                 (3)  13y = 100
                                       
                                        y = 7.7


                                 (2) 3x – 6(7.7) = 0
                                
                                     3x = 46.2
                                
                                      x = 15.4

Nòt: Objektif wikipedya se pa tradui sa franse deja ekri, men pou ekzèse fakilte entelektyèl Ayisyen yo menmjan Franse ap itilize pa l la. Se jan de parès mantal sa yo ke ou ap eseye dekouraje lè w ale tradui, sa lot moun ekri, mo pou mo an franse. Mwen santi mwen pèsonèlman ofanse lè mwen li ke y ap mande moun pou senpleman tradui sa yon lòt moun deja ekri an franse. Sa ou bezwen mande, èske yon ayisyen ki konpetan nan matematik ka ekri yon atik sou aljèb pou nou...