Lineáris egyenlet

Lineáris egyenleteknek nevezzük az L₁(x)+c₁=L₂(x)+c₂ alakú egyenleteket, ahol L₁ és L₂ lineáris operátor (lineáris leképezés) c₁ és c₂ konstans, x pedig ismeretlen. A szakirodalom általában csak az L(x)=c alakú egyenletekre korlátozódik, ugyanis bizonyítható, hogy L=L₁-L₂ és c=c₂-c₁ helyettesítéssel az egyenlet a másikba transzformálható, tehát a két definíció lényegében egyenértékű. A szakirodalom nagyon sokszor kiegyenlíti a lineáris egyenletet az elsőfokú egyenlettel, habár például a 0·x=2 egyenlet lineáris, de nem elsőfokú (csak látszólag), mivel lényegében a 0=2 egyenletről van szó, amelyből „kiesett” az ismeretlen, és így nulladfokú. Az ismeretlen (x) lehet rendezett pár, számhármas, számnégyes stb., így lényegében az előbbi definíció magába foglalja az egy- és többismeretlenes lineáris egyenleteket is. Az L(x)=c képlet helyett általában csak egyszerűen Lx=c képletet írnak.

Példák egyismeretlenes lineáris egyenletekre a valós számok halmazán:

2x=5              3x+2=11              ${\frac {x-3}{5}}=2x+1$              (x-1)²=(x+1)²   (rendezve 8x=8)           2x+1=1+2x (rendezve 0x=0)

Bővebben ld. Lineáris algebra/A linearitás fogalma.

Lineáris egyenletek megoldása

Az Lx=c egyenlet megoldása az x=L^-1c, ha az L operátornak létezik inverze (L^-1), azaz ha az L bijektív. Ha az L nem bijektív, akkor az Lx=c egyenletnek több (általában végtelen sok) megoldása van.

A válós számok halmazán, egy ismeretlen esetében, ez így néz ki: Az a·x = b egyenlet megoldáshalmaza

${\Big \{}{\frac {b}{a}}{\Big \}}$ ,       azaz egy megoldása van, a ${\frac {b}{a}}\$,   ha a ≠ 0

${\Big \{}{\Big \}}$ ,   (=∅), azaz nincs megoldása,            ha a = 0 és b ≠ 0

$\mathbb {R}$,             azaz bármely szám megoldása,   ha a = 0 és b = 0

Lineáris egyenletek logikai kapcsolata más matematikai elemekkel

Az elsőfokú egyenleteket elsősorban az egyenesekkel és azok egyenletével tudjuk összefüggésbe hozni, mivel bármely lineáris egyenlet egy egyenest definiál a numerikus analízis nyelvén. Az egyenes egyenletét lineáris függvényként is értelmezhetjük, tehát a lineáris algebra elsőfokú egyenletéből rögtön találunk párhuzamokat koordinátageometriai és az analízisben előforduló fogalmakkal.

• Az egyenes egyenletének kanonikus alakja:

$Ax+By-C=0.$

• A lineáris függvények formája:

$y=ax+b.$

• Lineáris algebrai vonatkoztatások: Lineáris egyenletrendszerek:

A₁x + B₁y = C

A₂x + B₂y = D.

Lásd még

• Egyenlet
• Koordinátageometria
• Lineáris függvény