Homeomorfia

A topológiában a homeomorfia vagy topológiai izomorfia (a homoios ~ hasonló és a μορφή (morphē) görög szavakból) egy speciális izomorfia topológiai terek között. Két egymással homeomorf tér topológiai szempontból azonos.

Egy folyamatos deformálás egy bögre és egy fánk között jól illusztrálja, hogy homeomorfak. Azonban nem szükséges a homeomorfia szempontjából az egymásba deformálhatóság

Durván fogalmazva egy topológiai tér egy geometriai objektumnak tekinthető, és a homeomorfizmus egy folytonos deformálás (nyújtás, hajlítás stb.), mely egy másik objektummá alakítja. Így például egy kör és egy négyzet homeomorf, sőt egy bögre és egy fánk is (feltéve, hogy a fánk lyukas). De például egy gömb és egy fánk nem (a „lyukasztás” nem megengedett).

Definíció

Az f függvényt X és Y topológiai terek között homeomorfizmusnak hívjuk, ha

• f bijekció
• f folytonos
• f inverze (f^-1) is folytonos.

Ha létezik ilyen függvény, X és Y között, akkor e két teret homeomorfnak mondjuk. A homeomorfizmus ekvivalenciareláció a topológiai terek osztályán. Ezt az ekvivalenciaosztályt homeomorf osztálynak hívjuk.

Példák

Ez a háromlevelű csomó homeomorf a tórusszal. Bár megfoghatatlannak tűnhet, 4 dimenzióban tényleg egymásba deformálhatóak

• A körlap és a négyzet(lap) az euklideszi síkon (R²) homeomorf (a körlap polárkoordinátázása ugyanis homeomorfizmus)
• A (-1;1) nyílt intervallum homeomorf a valós számok halmazával (például az ${\frac {2}{\pi }}\,\mathrm {arctg} \,(x)$ függvény homeomorfizmus a két halmaz között)
• Minden egyenletesen folytonos bijekció (melynek inverze is egyenletesen folytonos), minden bi-Lipschitz bijekció és minden távolságtartó bijekció homeomorfizmus (hiszen ezeknél a folytonossági kitétel közvetlen következmény).
• A gömbfelület egy pontját elhagyva homeomorf a síkkal (a sztereografikus projekció alkalmas homeomorf leképezés)
• Rⁿ és R^m nem homeomorfak, ha n ≠ m (például ez R² és R³ tekintetében azt jelentené ugyanis, hogy minden gráf síkban rajzolható lenne.)

Megjegyzések

A harmadik követelmény (miszerint az inverz függvény is folytonos) lényeges. Van ugyanis olyan függvény, mely bijektív, folytonos de az inverze nem folytonos. Vegyük például az f : [0, 2π) → S¹, f(φ) = (cos(φ), sin(φ)) leképezést. Világos, hogy ennek az inverze nem folytonos, hiszen a (1,0) pontnak nem találunk olyan környezetét, mely a 0 pont 1 sugarú környezetébe képeződne.

A homeomorfizmusok a topologikus terek kategóriájának izomorfizmusai. Két homeomorfizmus kompozíciója is homeomorfizmus és egy X teret saját magára képező homeomorfizmusok (X → X) halmaza, a topologikus automorfizmusok csoportot alkotnak, melyet az X homeomorfizmus csoportjának hívnak. Ezt gyakran Homeo(X)-szel jelölik.

Tulajdonságok

• Két egymással homeomorf tér ugyanazokkal a topológiai tulajdonságokkal bír. Például ha egyikük kompakt, akkor a másik is; ha egyikük összefüggő, akkor a másik is. Homeomorf terek homológiacsoportja megegyezik. A tulajdonságok megtartása mindazonáltal nem terjed ki a metrikus terek fogalmaival megfogalmazott tulajdonságokra. Például vannak homeomorf terek, melyek közül az egyik teljes, a másik nem.
• Homeomorfizmus egyszerre nyílt és zárt leképezés, azaz nyílt halmazt nyíltba, zártat zártba képez.
• Az n dimenziós térbeli $S^{n-1}$ gömbhéjon definiált topologikus automorfizmus kiterjeszthető az általa határolt $B^{n}$ gömb topologikus automorfizmusává (Alexandrov-féle kiterjesztési módszer).

Kötetlen diszkusszió

Az egymásba deformálhatóság (nyújtás, hajlítás, vágás, ragasztás) megfelelő alkalmazása kis tapasztalatot igényel – talán nem egyértelmű a definícióból, de egy szakaszt nem lehet ponttá deformálni. Továbbá fontos megjegyezni, hogy a fent megadott formális definíció a mérvadó.

A homeomorfizmust ezen karakterisztikája miatt gyakran összetévesztik a homotópiával, ami egy folytonos deformálásnak van definiálva, de függvények között, nem pedig terek között. A homeomorfizmusnál a deformálás elképzelése csak segíti nyomon követni egy X-beli pont helyét az Y-ban – elég csak a deformálás során bejárt útját figyelni. A homotópiában ténylegesen a deformálásról van szó, valamint sokkal gyengébb feltételeket szab, hisz ott egyik függvénynek sem kell bijektívnek lenni.

A homeomorfia szemléltetéséhez adott deformálásnak nevet is adtak (ha a vágás és visszaragasztás nem megengedett): izotópiának hívják az X-beli identitás és az X-ből Y-ba képzett homeomorfizmus között.

Kapcsolódó szócikkek

• Diffeomorfizmus

Források

• Homeotopy a PlanetMath-en
• Bognár Mátyás: Csalafinta felületek Archiválva 2008. február 1-i dátummal a Wayback Machine-ben