Négyzetgyök

A matematikában a négyzetgyökvonás egy egyváltozós matematikai művelet, a négyzetre (második hatványra) emelés megfordítása (inverze). A gyökvonás azon esete, amikor $n=2$.

Az $a$ szám négyzetgyökének jele: ${\sqrt {a}}$

A négyzetre emelés függvénye nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, hiszen $a$-nak és $-a$-nak ugyanúgy $a^{2}$ a négyzete. A négyzetgyökvonás művelete így nem lenne egyértelmű, emiatt a (valós) négyzetgyök definíciójakor kikötik, hogy az eredmény legyen nemnegatív.

A racionális törtkitevős hatványozás definíciójának segítségével a négyzetgyök úgy is írható, mint ½-dik hatvány:

${\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{2}}$

A négyzetgyökvonás egy olyan művelet, ami átvezet a komplex számokhoz, mivel a negatív valós számoknak nincs valós négyzetgyökük. A racionális számok közül csak azoknak a négyzetgyöke lesz racionális, melyek felírhatók két négyzetszám hányadosaként. Így például a ${\sqrt {2}}$ is irracionális, melyet már az ókorban bebizonyítottak.

A gyökjel a kis r betűből alakult ki, a jobb ág meghosszabbításával. A 16. században jelent meg. Eredetileg az r betűt a latin radix szó rövidítéseként a radikandus elé írták. Ha a radikandus bonyolultabb kifejezés volt, akkor zárójelbe tették. Így használta még Gauss is.

A négyzetgyök angol nevéből származik a sok programnyelvben használt sqrt jelölés.

Definíció a valós számok halmazán

Ha a nem negatív valós szám, akkor a négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete a:

$b={\sqrt {a}}\quad \iff \quad b^{2}=a,\ a\geq 0,\ b\geq 0$

A valós számok halmazán negatív számokra nincs értelmezve a négyzetgyökvonás, hiszen bármely valós szám négyzete nemnegatív.

A valós négyzetgyökfüggvény

A négyzetgyökfüggvény grafikonja

Kettős logaritmikus ábrázolásban a négyzetgyökfüggvény grafikonja egy 1/2 meredekségű egyenes

Azt a függvényt, ami a nemnegatív számokhoz a négyzetgyöküket rendeli, négyzetgyökfüggvénynek szoktuk nevezni:

$f:\ \mathbb {R} \setminus \mathbb {R} ^{-}\to \mathbb {R} \qquad x\mapsto {\sqrt {x}}$

Ekvivalensen, jelölje q azt a függvényt, ami a valós számokhoz a négyzetüket rendeli. Ha ezt leszűkítjük a nemnegatív számokra, akkor inverze a négyzetgyökfüggvény lesz:

${\begin{aligned}q\colon [0;\infty {[}&\rightarrow [0;\infty {[}\\x&\mapsto y=x^{2}\end{aligned}}$

A valós számokon értelmezett négyzetre emelés függvény nem injektív és nem szürjektív, így nem invertálható függvény. A nemnegatív számokon értelmezett négyzetre emelés függvény viszont invertálható, inverze a négyzetgyökfüggvény. Mivel a nemnegatív számokon értelmezett négyzetre emelés függvény értékkészlete csak nemnegatív számokat tartalmaz, azért a négyzetgyök csak ezekre a számokra értelmezhető. A korlátozás miatt a négyzetgyökfüggvény értékei sem negatívak. A négyzetre emelés függvénynek más invertálható korlátozásai is vannak, ám ezek inverzét nem tekintjük négyzetgyökfüggvénynek.

A négyzetgyökfüggvény a pozitív számok halmazán differenciálható, deriváltja

${\frac {\mathrm {d} {\sqrt {x}}}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$.

Nullában ellenben nincs deriváltja; a grafikon érintője itt függőleges.

Értelmezési tartományának minden $[a,b]$ zárt intervallumán Riemann-integrálható, és egy primitív függvénye

$F(x)={\tfrac {2}{3}}\cdot ({\sqrt {x}})^{3}$.

Tulajdonságai

• Mind értelmezési tartománya, mind értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza:

$D_{f}=R_{f}=\mathbb {R} _{0}^{+}$

• Szigorúan monoton növekvő, azaz:

$x_{1}<x_{2}:\quad {\sqrt {x_{1}}}<{\sqrt {x_{2}}}$

• Zérushelye: x=0
• Szélsőérték:
  • Minimuma: x=0, f(x)=0
  • Maximuma nincs
• Paritás szempontjából nem páros és nem páratlan, hiszen negatív számokra nincs is értelmezve.

Példák

Négyzetszámok és négyzetgyökeik

Radikandus	Négyzetgyök		Radikandus	Négyzetgyök
1	1		121	11
4	2		144	12
9	3		169	13
16	4		196	14
25	5		225	15
36	6		256	16
49	7		289	17
64	8		324	18
81	9		361	19
100	10		400	20

Számolás négyzetgyökökkel

A négyzetgyökös kifejezésekkel való számolás tulajdonságai következnek a nem negatív valós számok négyzetének tulajdonságaiból:

• ${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$, ha $a\geq 0,b\geq 0$
• ${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {-a}}\cdot {\sqrt {-b}}$, ha $a\leq 0,b\leq 0$
• $0\leq a<b\;\Longleftrightarrow \;0\leq {\sqrt {a}}<{\sqrt {b}}$, mivel a négyzetgyökfüggvény szigorúan monoton nő.
• ${\sqrt {a^{2}}}=|a|$ tetszőleges a valós számra.
• ellenben $({\sqrt {a}})^{2}=a$ csak akkor teljesül, ha a nem negatív

A négyzetgyökvonással kapcsolatos problémák

• I.) Irracionális egyenletek:

Egyismeretlenes irracionális egyenleteknek nevezünk minden olyan algebrai egyenletet, ahol egyes algebrai kifejezések gyökjel alatt állnak.

• II.) Négyzetgyökvonás negatív valós számból:

Azokat a számokat, melyeket úgy kapunk, hogy egy valós negatív előjelű valós számból vonunk négyzetgyököt, imaginárius számoknak nevezzük. A komplex számok két fő részből tevődnek össze: egy képzetes (imaginárius) számból és egy valós számból.

Komplex négyzetgyökfüggvény

A komplex négyzetgyökvonás szögfelezést tartalmaz. Példa: ${\sqrt {\mathrm {i} }}$

A komplex négyzetre emelés a valóshoz hasonlóan nem injektív; azonban a valós esettel ellentétben szürjektív, azaz minden komplex szám előáll négyzetként. Leszűkítéssel injektívvé tehető. Ennek inverz függvénye a négyzetgyökfüggvény egy ága, ami függ az adott leszűkítéstől.

A négyzetgyökfüggvény főértéke abból az ágból adódik, amit a

$D_{H}:=\{x+\mathrm {i} \,y\in \mathbb {C} \mid y>0{\text{ vagy }}(y=0,{\text{ }}x\geq 0)\}$

tartományra leszűkített négyzetre emelés definiál. Ez a leszűkítés már bijektív, és inverze, a négyzetgyökvonás főága az egész komplex számsíkon értelmezhető. Az egyetlen mellékág $-{\sqrt {z}}.$

A Descartes-koordinátákkal adott $z=x+{\rm {iy}}$ komplex szám esetén, ahol $x$, $y$ valósak, a főérték

${\sqrt {z}}={\sqrt {x+{\rm {iy}}}}={\sqrt {\tfrac {|z|+x}{2}}}+\mathrm {i} \cdot \operatorname {sgn^{+}} (y)\cdot {\sqrt {\tfrac {|z|-x}{2}}}$

ahol a $\operatorname {sgn^{+}}$ függvény értéke nempozitív $y$ esetén  −1.

${\text{sgn}}^{+}(y)={\begin{cases}+1&{\text{ ha }}y\geq 0\\-1&{\text{ ha }}y<0\end{cases}}$

Polárkoordinátákkal a művelet egyszerűbben elvégezhető. Legyen a radikandus a $z$ komplex szám, melynek polárkoordinátás alakja

$z=r\cdot {\rm {e^{\mathrm {i} \varphi },}}$

ahol $\varphi$ és $r$ valósak úgy, hogy $r>0$ és $-\pi <\varphi \leq \pi$! Ekkor a főérték:

$w_{1}={\sqrt {r}}\cdot {\rm {e^{\mathrm {i} \varphi /2}}}$

és a mellékérték ennek mínusz egyszerese:

$w_{2}={\sqrt {r}}\cdot {\rm {e^{\mathrm {i} (\varphi /2+\pi )}}}$

A négyzetgyökök abszolútértéke a radikandus abszolútértékének négyzetgyöke. A főérték argumentuma a radikandus argumentumának fele. A mellékérték az origóra való tükrözéssel adódik. Ha $z=x+\mathrm {i} \,y$ komplex szám, akkor argumentuma az $\angle (EOZ)$ szög, ahol a pontok valós koordinátái $E(1;0),$ az egy valós szám, $O(0;0)$ a nulla valós szám és $Z(x;y)$.

A komplex számokra nem teljesül az

$(a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\text{(P)}}$ hatványtörvény, hogyha $r=1/2$ és $a,b\in \mathbb {C}$. Ez megmutatható az $a=b=:z$ esetben:

${\sqrt {z^{2}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{2},$

ahonnan az $\left({\sqrt {z}}\right)^{2}=z$ azonosság miatt

${\sqrt {z^{2}}}=z$

amire a negatív számok ellenpéldák. Ha például $z=-1$, akkor $(-1)^{2}=1$ és $\arg(1)=0$ miatt ${\sqrt {(-1)^{2}}}$ főértékének argumentuma $\arg({\sqrt {1}})=0/2=0$, holott $-1$ főértékének argumentuma $\arg(-1)=\pi$.

Mivel pozitív radikandusok esetén a főértéknek pozitívnak kell lennie, így a példa azt is megmutatja, hogy nem létezhet olyan komplex gyökfüggvény, amelyre a hatványtörvény teljesül. Azonban a hatványtörvény teljesül, ha a két oldalon nem kell egyezniük az előjeleknek. A következő képeken $z$ és a $w_{1}$ négyzetgyök argumentumát színezés jelöli.

• Komplex négyzetgyök
• 
  A négyzetgyök egyik ága
• 
  A négyzetgyök másik ága
• 
  A négyzetgyökfüggvény Riemann-felülete megmutatja, hogyan mennek át egymásba az ágak

Számítása

A valós és a komplex számok négyzetgyöke többféleképpen is kiszámítható.

Valós számok

Ha a szám nem írható fel két négyzetszám hányadosaként, akkor a négyzetgyöke irracionális még akkor is, ha a szám egész. Ennek kiszámítása azt jelenti, hogy tetszőleges pontossággal megközelíthető.

• Írásbeli gyökvonás: az írásbeli osztáshoz hasonló eljárás.

A szám jegyeit hátulról kezdve párokba osztja. Az első csoport adja a négyzetgyök első jegyét. A továbbiakban sorra figyelembe veszi a következő jegypárokat, és az (a + b)² = a² + 2ab + b² azonosság alapján számol, ahol az a szám a már meglevő közelítés, és b a következő keresett számjegy.

• Intervallumok egymásba skatulyázása: könnyen érthető, de nehezen kivitelezhető módszer.

Példa: négyzetgyök kettő kiszámítása:

1² < 2 és 2² > 2 miatt az első jegy 1. 1,4² = 1,96 < 2 és 1,5² = 2,25 > 2, ezért a második jegy 4. Az eljárás hasonlóan folytatódik.

• Heron-eljárás vagy babilóniai módszer: a Newton-eljárás alkalmazása az x² - a függvényre. Gyors konvergenciája miatt számológépek programozására használják.
• A négyzetgyökfüggvény 1 körüli Taylor-sorba fejthető a binomiális tétel szerint. A sor minden | x | < 1-re konvergens:

${\begin{aligned}{\sqrt {x+1}}&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}(2n-2)! \over n!\;(n-1)!\;2^{2n-1}}x^{n}\\&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}\pm \dots \end{aligned}}$

• CORDIC-algoritmus a gépi számításokhoz
• Grafikus módszer: a Pitagorasz-tételen alapszik

Az x számot felmérjük a számegyenesre, és Thalész-kört szerkesztünk a [0,x] szakaszra. 1-ben merőlegest állítunk a számegyesre; ez négyzetgyök x hosszú szakaszt metsz ki a körívből.

Komplex számok

Egy z komplex szám négyzetgyökei

Ha $z=x+iy$ a valós és a képzetes részével van megadva, akkor a négyzetgyök főértéke

${\sqrt {z}}={\sqrt {x+iy}}=\operatorname {sgn} (y){\sqrt {\tfrac {|z|+x}{2}}}+i\cdot {\sqrt {\tfrac {|z|-x}{2}}}$

ahol sgn(y) a szignumfüggvény.

Az egyetlen mellékág a $-{\sqrt {z}}$.

A polárkoordinátákban adott $z=|z|\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \cdot (\arg(z)+2n\pi )}$ négyzetgyökei így számíthatók:

${\sqrt {z}}={\sqrt {|z|}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \left(\arg(z)/2+n\pi \right)},$

ahol n = 0 vagy 1. A főérték az n = 0 esetnek felel meg.

Geometriailag, a négyzetgyökök abszolútértéke megegyezik az adott komplex szám abszolútértékének négyzetgyökével, és a főérték argumentuma az adott komplex szám argumentumának fele. A másik érték ennek a középpontosan szimmetrikus párja.

Egy z komplex szám argumentuma az (1,0,z) irányított szög.

Példaként keressük a $z=-1+\mathrm {i} \,{\sqrt {3}}.$ komplex szám négyzetgyökét. Ehhez kiszámítjuk az abszolútértékét:

$|z|=\left|-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right|={\sqrt {(-1)^{2}+({\sqrt {3}})^{2}}}={\sqrt {1+3}}={\sqrt {4}}=2$

Tehát a főérték

${\begin{aligned}w_{1}&={\sqrt {\tfrac {2+(-1)}{2}}}+\mathrm {i} \cdot \operatorname {sgn^{+}} ({\sqrt {3}})\cdot {\sqrt {\tfrac {2-(-1)}{2}}}\\[0.3em]&={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}+\mathrm {i} \cdot (+1)\cdot {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}={\sqrt {2}}\cdot \left({\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} \cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right)\end{aligned}}$

és a mellékérték

$w_{2}=-w_{1}={\sqrt {2}}\cdot \left(-{\tfrac {1}{2}}-\mathrm {i} \cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right)$

Négyzetgyökök a maradékosztály-gyűrűkben

Ha egy n természetes számra $n\geq 2,$ akkor a négyzetgyökvonás definiálható modulo n. A valós és a komplex esethez hasonlóan a $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ maradékosztály-gyűrűben is értelmes kérdés, hogy van-e olyan q maradékosztály, ami négyzetre emelve az x maradékosztályt adja:

$q^{2}\equiv x\;\mathrm {mod} \;n$

Az x maradékosztály négyzetgyökei modulo n kiszámíthatók így:

• Prímtényezős alakba írjuk az n számot
• Megoldjuk a kongruenciát a felbontásban szereplő minden prímhatványra
• Összevetjük ezeket a megoldásokat a kínai maradéktétel szerint.

Prímszám modulus

A prímhatványokról a kongruencia visszavezethető több prím modulusú kongruencia megoldására.

Egy prím modulusra általában nincs minden maradékosztálynak négyzetgyöke. Például modulo 3 és x=2 esetén a kongruencia nem oldható meg, mert nincs négyzetszám, ami hárommal osztva kettőt ad maradékul. Ezért, ha p>2, akkor először ezt a kérdést kell megvizsgálnunk.

A kérdést az

$\left({\frac {x}{p}}\right)\equiv x^{\frac {p-1}{2}}\,{\bmod {\,}}p$

Legendre-szimbólum segít eldönteni, amire:

$\left({\frac {x}{p}}\right)={\begin{cases}-1,&{\text{ha }}x{\text{ nemkvadratikus maradék modulo }}p{\text{ ist}}\\0,&{\text{ha }}x{\text{ és }}p{\text{ nem relatív prímek }}\\1,&{\text{ha }}x{\text{ kvadratikus maradék modulo }}p{\text{ ist}}\end{cases}}$.

Ha x kvadratikus nemmaradék, akkor nincs négyzetgyöke. Ha x és p nem relatív prímek, akkor a megoldás a nulla maradékosztály. Végül, ha x kvadratikus maradék, akkor két négyzetgyöke van. Ezzel az esettel foglalkozunk a továbbiakban.

• p négyes maradéka három

Az x kvadratikus maradék két négyzetgyöke

$q\equiv \pm x^{\frac {p+1}{4}}\,{\bmod {\,}}p$

• p négyes maradéka egy

Az x kvadratikus maradék négyzetgyöke így számítható:

Választunk egy r számot, hogy:

$\left({\frac {r^{2}-4x}{p}}\right)=-1$

legyen.

Rekurzívan kiszámítjuk ezt a sorozatot:

$W_{n}={\begin{cases}r^{2}/x-2,&{\text{ ha }}n=1\\W_{n/2}^{2}-2,&{\text{ ha }}n{\text{ ps}}\\W_{(n+1)/2}W_{(n-1)/2}-W_{1},&{\text{ ha }}n>1{\text{ ptlan}}\end{cases}}$.

Ekkor az x kvadratikus maradék négyzetgyökei:

$q\equiv \pm {\frac {x}{2r}}\left(W_{\frac {p-1}{4}}+W_{\frac {p+3}{4}}\right)\,{\bmod {\,}}p$

Példa: Legyen $x=3$ és $p=37$!

Ekkor a fenti képlet alapján a négyzetgyökök

$q\equiv \pm {\frac {x}{2r}}\left(W_{9}+W_{10}\right){\bmod {3}}7$

Próbálgatással egy megfelelő $r$ érték $r=2$, mivel:

$\left({\frac {r^{2}-4x}{p}}\right)\equiv (r^{2}-4x)^{\frac {p-1}{2}}\equiv (-8)^{18}\equiv 36\equiv -1{\bmod {3}}7$

A $W_{9}$ és $W_{10}$ értékekre adódik, hogy:

${\begin{matrix}W_{1}&\equiv &r^{2}/x-2&\equiv &4/3-2&\equiv &24&{\bmod {3}}7\\W_{2}&\equiv &W_{1}^{2}-2&\equiv &24^{2}-2&\equiv &19&{\bmod {3}}7\\W_{3}&\equiv &W_{1}W_{2}-W_{1}&\equiv &24\cdot 19-24&\equiv &25&{\bmod {3}}7\\W_{4}&\equiv &W_{2}^{2}-2&\equiv &19^{2}-2&\equiv &26&{\bmod {3}}7\\W_{5}&\equiv &W_{2}W_{3}-W_{1}&\equiv &19\cdot 25-24&\equiv &7&{\bmod {3}}7\\W_{9}&\equiv &W_{4}W_{5}-W_{1}&\equiv &26\cdot 7-24&\equiv &10&{\bmod {3}}7\\W_{10}&\equiv &W_{5}^{2}-2&\equiv &7^{2}-2&\equiv &10&{\bmod {3}}7\\\end{matrix}}$

Behelyettesítéssel

$q\equiv \pm {\frac {x}{2r}}\left(W_{9}+W_{10}\right)\equiv \pm {\frac {3}{4}}(10+10)\equiv \pm 15{\bmod {3}}7.$

Tehát 3 négyzetgyökei modulo 37 15 és 22 modulo 37.

Mátrixok négyzetgyökei

Ha $A$ négyzetes mátrix, akkor négyzetgyöke minden $B$ mátrix, melyet önmagával szorozva az $A$ mátrixot kapjuk:

$A=B\cdot B\Leftrightarrow B{\text{ ist Wurzel von }}A$

A gyökvonás a többi esethez hasonlóan nem egyértelmű. Azonban, ha pozitív definit szimmetrikus mátrixok pozitív definit szimmetrikus gyökét keressük, akkor a válasz egyértelmű.

A négyzetgyök kiszámítása:

• A radikandust ortogonális mátrixszal diagonizáljuk (spektráltétel miatt lehetséges).
• Az átlós elemekből négyzetgyököt vonunk, mindig a pozitív értéket választva. Lásd: Cholesky-felbontás
• Visszatérünk az eredeti bázisba.

Az egyértelműség következik abból, hogy az exponenciális leképezés diffeomorfizmus a szimmetrikus mátrixok vektoterében a pozitív definit mátrixokra.

Integráloperátor közelítésének négyzetgyöke

Legyen $G$ integrálfüggvény, és legyen $G,\,g_{i}:=g(x_{i})$, ahol az $x_{i}$ pontokra $x_{i}=i\Delta x$ és $i=0,1,\dotsc ,n-1$. Legyen továbbá $F,\,f_{i}:=f(x_{i})$ függvény, és használjuk az $G=FI$ közelítést! Példánkban a mátrix mérete $n=4$:

$G=FI={\begin{pmatrix}g_{0}&g_{1}&g_{2}&g_{3}\\0&g_{0}&g_{1}&g_{2}\\0&0&g_{0}&g_{1}\\0&0&0&g_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{0}&f_{1}&f_{2}&f_{3}\\0&f_{0}&f_{1}&f_{2}\\0&0&f_{0}&f_{1}\\0&0&0&f_{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Delta x&\Delta x&\Delta x&\Delta x\\0&\Delta x&\Delta x&\Delta x\\0&0&\Delta x&\Delta x\\0&0&0&\Delta x\end{pmatrix}}$

Ez a művelet megismételhető, így kapjuk a $H,\,h_{i}:=h(x_{i})$ kettős integrált:

$H=GI=FII=FI^{2}$

így az $I$ mátrix felfogható numerikusan közelített integráloperátorként. Az $I$ mátrix nem diagonizálható, és Jordan-normálformája:

${\begin{pmatrix}\Delta x&1&0&0\\0&\Delta x&1&0\\0&0&\Delta x&1\\0&0&0&\Delta x\end{pmatrix}}$

Ebből négyzetgyököt úgy lehet vonni, mint nem diagonizálható mátrixokból. De ebben a speciális esetben van közvetlenebb formális megoldás:

$I^{\beta }={\begin{pmatrix}\alpha _{0}&\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\0&\alpha _{0}&\alpha _{1}&\alpha _{2}\\0&0&\alpha _{0}&\alpha _{1}\\0&0&0&\alpha _{0}\end{pmatrix}}$

ahol $\alpha _{0}=(\Delta x)^{\beta }$, $\alpha _{k}=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\Gamma (\beta +1)(-1)^{j+1}\alpha _{k-j}}{\Gamma (j+1)\Gamma (\beta -j+1)}}$ és $k=1,2,\dotsc ,n-1$.

Itt $\alpha$ a diagonális indexe (a főátlóé nulla), és a $\beta$ kitevő ${\tfrac {1}{2}}$. Hogyha behelyettesítjük a $\Delta x$ pozitív valós számot, így $(\Delta x)^{\frac {1}{2}}$ valós, és fdefiníciója alapján pozitív.

Így az $f(x)$ $L,\,l_{i}:=l(x_{i})$ „fél” határozott integrálja numerikusan közelíthető:

$L=FI^{\beta }={\begin{pmatrix}l_{0}&l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&l_{0}&l_{1}&l_{2}\\0&0&l_{0}&l_{1}\\0&0&0&l_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{0}&f_{1}&f_{2}&f_{3}\\0&f_{0}&f_{1}&f_{2}\\0&0&f_{0}&f_{1}\\0&0&0&f_{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{0}&\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\0&\alpha _{0}&\alpha _{1}&\alpha _{2}\\0&0&\alpha _{0}&\alpha _{1}\\0&0&0&\alpha _{0}\end{pmatrix}}$

Hogyha keressük az összes olyan operátort, ami önmagával szorozva az $I$ közelítő integráloperátort adja, akkor be kell tenni a negatív előjelet, így a két megoldás $\pm I^{\frac {1}{2}}$.

A levezetéshez invertálni kell $I$-t, azt eredményt a $\beta$ hatványra emelni, és újra invertálni.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Quadratwurzel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.