Reciprokrács

A szilárdtestfizikában reciprokrácsnak nevezzük azt a rácsot, melyet egy direkt térbeli rács (például egy Bravais-rács) Fourier-transzformálásával kapunk. A direkt rács jellemzően pontok periodikus szerkezete a valós térben, mely a kristály geometriai absztrakciója, míg a reciprokrács a reciproktérben (más kifejezéssel momentumtérben, hullámszámtérben vagy k-térben) adható meg. A reciprokrács reciprokrácsa (a Fourier-transzformáció jellemzőiből adódóan) maga a direkt rács.

Egy kétdimenziós rács (balra) és annak reciprokrácsa (jobbra).

A reciprokrács nem pusztán elméleti konstrukció, az anyagtudományban és a kristálytanban igen gyakran meghatározzák. Gyakori példák a diffrakciós kísérletek értelmezése a reciprokrács segítségével, az Ewald-szerkesztés, a rácssíkok, irányok jellemzése Miller-indexekkel, stb.

Matematikai háttér

Tekintsük az R direkttérbeli rácsvektorok által kijelölt R pontokat, melyek egy Bravais-rácsot alkotnak. Egy síkhullám hullámegyenlete ekkor:

$e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }=\cos {(\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} )}+i\sin {(\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} )}$.

Ha ennek a síkhullámnak a periódusa megegyezik a Bravais-rács periódusával, akkor érvényes a következő egyenlet:

$e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {(r+R)} }=e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }$,

$e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }\cdot e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }$,

$\Rightarrow e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1$.

Megadhatjuk a reciprokrácsot azon K vektorok halmazaként, melyek teljesítik a fenti összefüggést az összes R direktrács-vektorral. A reciprokrács szintén Bravais-rács lesz, melynek reciproka ismét visszaadja a direkt rácsot.

Egy $(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} )$ primitív rácsvektorokkal megadott végtelen kétdimenziós rács reciprokrácsának rácsvektorai az alábbiak szerint fejezhetők ki:

$\mathbf {b_{1}} =2\pi {\frac {({\hat {x}}\otimes {\hat {y}}-{\hat {y}}\otimes {\hat {x}})\mathbf {a_{2}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot ({\hat {x}}\otimes {\hat {y}}-{\hat {y}}\otimes {\hat {x}})\mathbf {a_{2}} }}$,

$\mathbf {b_{2}} =2\pi {\frac {({\hat {y}}\otimes {\hat {x}}-{\hat {x}}\otimes {\hat {y}})\mathbf {a_{1}} }{\mathbf {a_{2}} \cdot ({\hat {y}}\otimes {\hat {x}}-{\hat {x}}\otimes {\hat {y}})\mathbf {a_{1}} }}$,

ahol "$\otimes$" tenzorszorzatot jelöl az ${\hat {x}}$ és ${\hat {y}}$ egységvektorok között.

A $(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )$, primitív rácsvektorokkal megadott háromdimenziós rács reciprokrács-bázisvektorai az alábbiak szerint adható meg:

$\mathbf {b_{1}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}$,

$\mathbf {b_{2}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{3}} \times \mathbf {a_{1}} }{\mathbf {a_{2}} \cdot (\mathbf {a_{3}} \times \mathbf {a_{1}} )}}$,

$\mathbf {b_{3}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{1}} \times \mathbf {a_{2}} }{\mathbf {a_{3}} \cdot (\mathbf {a_{1}} \times \mathbf {a_{2}} )}}$.

A nevezők itt vegyes szorzatok. Ugyanez kifejezhető másféleképpen is, ha a vektorokat oszlopvektorként tekintve mátrix-formalizmust használunk, ekkor a reciprokrács-bázisvektorok mártix invertálással fejezhetők ki:

$\left[\mathbf {b_{1}} \mathbf {b_{2}} \mathbf {b_{3}} \right]^{T}=2\pi \left[\mathbf {a_{1}} \mathbf {a_{2}} \mathbf {a_{3}} \right]^{-1}.$

Ez utóbbi definíció lehetőséget ad a magasabb dimenziók esetére való általánosításra, míg a vegyes szorzaton alapuló definíció inkább a háromdimenziós esetben célszerű, így az elterjedtebb a kristálytanban és az anyagtudományos méréstechnikában.

A fentivel analóg módon úgy is definiálhatjuk a reciprokrács-vektorokat, hogy a $2\pi$ konstans előtagot a $e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1$ feltételben vesszük figyelembe, amivel a reciproktérbeli bázis vektorai:

$\mathbf {b_{1}} ={\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}$,

alakba írhatók (a többi vektor ezzel analóg). Ennek a definíciónak, melyet a kristálytani gyakorlatban gyakran alkalmaznak, az az előnye, hogy a $\mathbf {b_{1}}$ vektor hossza ekkor éppen $\mathbf {a_{1}}$ hosszának reciproka lesz. Ekkor a reciprokrács-vektor valójában térfrekvenciaként fogható fel, melyhez könnyebb szemléletes fizikai magyarázatot adni. Adott alkalmazásban ügyelni kell rá, hogy a fenti két definíció közül mindig csak az egyiket alkalmazzuk.

A reciprokrács egy fontos alkalmazása, hogy annak egy (hkl) koordinátájú pontja direkt térbeli rácssíkoknak és ezekre merőleges rácsirányoknak feleltethető meg. A (hkl) indexeket Miller-indexeknek nevezzük. A reciprokrács-vektor hossza a direkt rács adott rácssíkjára merőleges rácssík-távolsággal hozható összefüggésbe

A reciprokrács a kristályanalitika egy alapvető fogalma, melyet a gyakorlatban is gyakran alkalmaznak például a diffrakciós vizsgálatok eredményeinek értelmezésére, például a röntgen-, elektron- és neutrondiffrakciós vizsgálatokban. A szórási kísérletekben a beeső és szórt nyaláb hullámszámának különbsége reciprok-rácsvektor, így a diffrakciós képből a reciprokrácsról nyerhető közvetlen információ.

A szilárdtestfizikában gyakran említett, a szilárdtestek jellemzőinek megértését szolgáló Brillouin-zóna valójában a reciprokrács Wigner–Seitz-cellája.

Néhány egyszerű rács reciprokrácsa

Egyszerű köbös rács

Az egyszerű köbös Bravais-rácsnak, melynek primitív cellája $a$ élhosszúságú kocka, a reciprokrácsa szintén köbös rács ${\begin{matrix}{\frac {2\pi }{a}}\end{matrix}}$ élhosszúsággal (a kristálytani definícióban ez ${\begin{matrix}{\frac {1}{a}}\end{matrix}}$). Ezért azt mondhatjuk, hogy a kockarács önmaga duálisa.

Lapcentrált és tércentrált köbös rácsok viszonya

A lapcentrált köbös Bravais-rács (FCC) reciprokrácsa tércentrált köbös Bravais-rács (BCC). Ugyanígy, az összefüggés fordítva is teljesül.

Könnyen belátható továbbá, hogy csak a páronként 90 fokot bezáró $(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )$ bázisvektorokkal jellemezhető rácsokra (azaz az ortorombos, a tetragonális és a kockarács esetén) teljesül, hogy a $(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}} )$ reciprokrács-bázisvektorok párhuzamosak a direktrács rácsvektoraival.

Egyszerű hexagonális rács

Az egyszerű, a és c rácsállandókkal jellemzett hexagonális rács reciprokrácsa szintén egyszerű hexagonális rács, melynek rácsállandói ${\begin{matrix}{\frac {2\pi }{c}}\end{matrix}}$ illetve ${\begin{matrix}{\frac {4\pi }{a{\sqrt {3}}}}\end{matrix}}$ és ezeka direkt rácsbeli c tengely körül 30°-kal elforgatottak.

A reciprokrács reciprokrácsára vonatkozó tétel bizonyítása

A következőkben megmutatjuk, hogy egy direkt rács reciprokrácsának reciprokrácsa maga a direkt rács.

Tudjuk, hogy a Bravais-rácsvektorok zártak a vektorok összeadására és kivonására, azaz rácsvektorok összege és különbsége is rácsvektor. Ekkor ha tekintünk két rácsvektort, melyekre

$e^{i\mathbf {K_{1}} \cdot \mathbf {(R)} }=1$,

és

$e^{i\mathbf {K_{2}} \cdot \mathbf {(R)} }=1$,

akkor a két vektor $\mathbf {K_{1}} \pm \mathbf {K_{2}}$ összegére és különbségére is fennáll az összefüggés, azaz

$e^{i\mathbf {(K_{1}+K_{2})} \cdot \mathbf {(R)} }=e^{i\mathbf {K_{1}} \cdot \mathbf {R} }\cdot e^{i\mathbf {K_{2}} \cdot \mathbf {R} }=1\cdot 1=1$

$e^{i\mathbf {(K_{1}-K_{2})} \cdot \mathbf {(R)} }=e^{i\mathbf {K_{1}} \cdot \mathbf {R} }/e^{i\mathbf {K_{2}} \cdot \mathbf {R} }=1$.

Ebből következik, hogy a reciprokrács-vektorok is zártak az összeadásra és kivonásra. Továbbá bármely reciprokrács-vektor kifejezhetó a reciprokrács primitív vektoraival:

$\mathbf {K} =k_{1}\mathbf {b_{1}} +k_{2}\mathbf {b_{2}} +k_{3}\mathbf {b_{3}}$.

A definíciója alapján látható, hogy egy $\mathbf {b_{i}}$ reciprokrács bázisvektorra teljesül, hogy:

$\mathbf {b_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}$,

ahol $\delta _{ij}$ a Kronecker-delta. Legyen R direkt rácsbeli vektor, mely szintén felírható a direkt rácsbeli bázisban:

$\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a_{1}} +n_{2}\mathbf {a_{2}} +n_{3}\mathbf {a_{3}}$.

A fentiekből látjuk, hogy:

$\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} =2\pi (k_{1}n_{1}+k_{2}n_{2}+k_{3}n_{3})$.

A definíció szerint a reciprok-rácsvektoroknak teljesíteniük kell az alábbi összefüggést:

$e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1$

Ez akkor teljesül, ha a $\mathbf {K} \cdot \mathbf {R}$ szorzat $2\pi$ egész számú többszöröse. Ez viszont teljesül, ugyanis $n_{i}\in \mathbb {Z}$, és $k_{i}\in \mathbb {Z}$. Azaz a reciprokrács szintén Bravais-rács. Továbbá ha a $\mathbf {K}$ vektorok reciprokrácsot alkotnak, akkor bármely $\mathbf {G}$ vektor, melyre teljesül, hogy

$e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {K} }=1$

az reciprokrács reciprokrácsának vektora lesz. $\mathbf {K}$ vektor meghatározásából, ha $\mathbf {G}$ éppen egy $\mathbf {R}$ direkt rácsvektor, akkor visszakapjuk, hogy:

$e^{i\mathbf {R} \cdot \mathbf {K} }=1$

Ebből pedig következik a bizonyítandó állítás.

Kapcsolódó szócikkek

• Kristálytan
• Duális bázis
• Ewald-gömb
• Miller-index
• Brillouin-zóna

Források

• http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html Archiválva 2020. augusztus 31-i dátummal a Wayback Machine-ben – Jmol-based electron diffraction simulator lets you explore the intersection between reciprocal lattice and Ewald sphere during tilt.
• DoITPoMS Teaching and Learning Package on Reciprocal Space and the Reciprocal Lattice