Hamilton-operátor

A Hamilton-operátor a kvantummechanikában a részecske kanonikus változókkal (koordinátákkal és hozzájuk konjugált impulzusokkal) kifejezett energiájának az operátora. A klasszikus mechanikai $H=H(p_{i},q_{i})$ Hamilton-függvényből egyszerűbb esetekben a $q_{i}\to {\hat {q_{i}}},\ p_{i}\to {\hat {p_{i}}}$ helyettesítéssel ("operátorosítás") kapjuk. Koordinátareprezentációban ${\hat {q}}_{i}=q_{i}$ és ${\hat {p_{i}}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}$.

A legegyszerűbb esetben (potenciálos erő hatása alatt mozgó részecskére):

${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {P} }}^{2}}{2m}}+V(\mathbf {X} )=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+V(x,y,z)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V\,,,$

ahol $V(x,y,z)$ a részecskére ható erő potenciálja, azaz $\mathbf {F} =-\nabla V$.