Hipertökéletes számok
A matematika, azon belül a számelmélet területén egy k-hipertökéletes szám (hyperperfect number) olyan n természetes szám, amire fennáll az n = 1 + k(σ(n) − n − 1) egyenlőség – σ(n) az osztóösszeg-függvényt (azaz n összes pozitív osztóját) jelöli. Általánosságban egy szám akkor hipertökéletes, ha valamely pozitív egész k-ra k-hipertökéletes. A hipertökéletes számok a tökéletes számok általánosításai, melyek ebben a felírásban 1-hipertökéletesek.
A k-hipertökéletes számok sorozatának első néhány eleme: 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, 1333, 1909, 2041... (A034897 sorozat az OEIS-ben), a hozzájuk tartozó k értékek pedig: 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, 18, 18, 12... (A034898 sorozat az OEIS-ben). Az első néhány k-hipertökéletes, de nem tökéletes szám pedig: 21, 301, 325, 697, 1333, ... (A007592 sorozat az OEIS-ben).
Hipertökéletes számok listája
szerkesztésA következő táblázat listázza az első néhány k-hipertökéletes számot néhány k értékre, az OEIS-sorozatszámukkal együtt:
| k | OEIS | Néhány ismert k-hipertökéletes szám |
|---|---|---|
| 1 |  A000396 |
6, 28, 496, 8128, 33550336, ... |
| 2 | A007593 |
21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... |
| 3 | 325, ... | |
| 4 | 1950625, 1220640625, ... | |
| 6 | A028499 |
301, 16513, 60110701, 1977225901, ... |
| 10 | 159841, ... | |
| 11 | 10693, ... | |
| 12 | A028500 |
697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... |
| 18 | A028501 |
1333, 1909, 2469601, 893748277, ... |
| 19 | 51301, ... | |
| 30 | 3901, 28600321, ... | |
| 31 | 214273, ... | |
| 35 | 306181, ... | |
| 40 | 115788961, ... | |
| 48 | 26977, 9560844577, ... | |
| 59 | 1433701, ... | |
| 60 | 24601, ... | |
| 66 | 296341, ... | |
| 75 | 2924101, ... | |
| 78 | 486877, ... | |
| 91 | 5199013, ... | |
| 100 | 10509080401, ... | |
| 108 | 275833, ... | |
| 126 | 12161963773, ... | |
| 132 | 96361, 130153, 495529, ... | |
| 136 | 156276648817, ... | |
| 138 | 46727970517, 51886178401, ... | |
| 140 | 1118457481, ... | |
| 168 | 250321, ... | |
| 174 | 7744461466717, ... | |
| 180 | 12211188308281, ... | |
| 190 | 1167773821, ... | |
| 192 | 163201, 137008036993, ... | |
| 198 | 1564317613, ... | |
| 206 | 626946794653, 54114833564509, ... | |
| 222 | 348231627849277, ... | |
| 228 | 391854937, 102744892633, 3710434289467, ... | |
| 252 | 389593, 1218260233, ... | |
| 276 | 72315968283289, ... | |
| 282 | 8898807853477, ... | |
| 296 | 444574821937, ... | |
| 342 | 542413, 26199602893, ... | |
| 348 | 66239465233897, ... | |
| 350 | 140460782701, ... | |
| 360 | 23911458481, ... | |
| 366 | 808861, ... | |
| 372 | 2469439417, ... | |
| 396 | 8432772615433, ... | |
| 402 | 8942902453, 813535908179653, ... | |
| 408 | 1238906223697, ... | |
| 414 | 8062678298557, ... | |
| 430 | 124528653669661, ... | |
| 438 | 6287557453, ... | |
| 480 | 1324790832961, ... | |
| 522 | 723378252872773, 106049331638192773, ... | |
| 546 | 211125067071829, ... | |
| 570 | 1345711391461, 5810517340434661, ... | |
| 660 | 13786783637881, ... | |
| 672 | 142718568339485377, ... | |
| 684 | 154643791177, ... | |
| 774 | 8695993590900027, ... | |
| 810 | 5646270598021, ... | |
| 814 | 31571188513, ... | |
| 816 | 31571188513, ... | |
| 820 | 1119337766869561, ... | |
| 968 | 52335185632753, ... | |
| 972 | 289085338292617, ... | |
| 978 | 60246544949557, ... | |
| 1050 | 64169172901, ... | |
| 1410 | 80293806421, ... | |
| 2772 | A028502 |
95295817, 124035913, ... |
| 3918 | 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... | |
| 9222 | 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... | |
| 9828 | 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... | |
| 14280 | 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... | |
| 23730 | 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... | |
| 31752 | A034916 |
4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... |
| 55848 | 15166641361, 44783952721, 67623550801, ... | |
| 67782 | 18407557741, 18444431149, 34939858669, ... | |
| 92568 | 50611924273, 64781493169, 84213367729, ... | |
| 100932 | 50969246953, 53192980777, 82145123113, ... |
Megmutatható, hogy ha k > 1 páratlan egész szám és p = (3k + 1) / 2, q = 3k + 4 prímszámok, akkor p²q egy k-hipertökéletes szám; Judson S. McCranie 2000-es sejtése szerint páratlan k > 1 számokra az összes k-hipertökéletes szám ilyen alakú, de ezt még nem sikerült igazolni. Belátható továbbá, hogy ha p ≠ q páratlan prímek és k olyan egész szám, amire k(p + q) = pq - 1, akkor pq k-hipertökéletes.
Megmutatható továbbá az is, hogy ha k > 0 és p = k + 1 prímszám, akkor minden i > 1-re, amire q = pi − p + 1 prímszám, az n = pi − 1q szám k-hipertökéletes. A következő táblázat listázza az ismert k és a hozzátartozó i értékeket, amire n k-hipertökéletes:
| k | OEIS | i érték |
|---|---|---|
| 16 | A034922 |
11, 21, 127, 149, 469, ... |
| 22 | 17, 61, 445, ... | |
| 28 | 33, 89, 101, ... | |
| 36 | 67, 95, 341, ... | |
| 42 | A034923 |
4, 6, 42, 64, 65, ... |
| 46 | A034924 |
5, 11, 13, 53, 115, ... |
| 52 | 21, 173, ... | |
| 58 | 11, 117, ... | |
| 72 | 21, 49, ... | |
| 88 | A034925 |
9, 41, 51, 109, 483, ... |
| 96 | 6, 11, 34, ... | |
| 100 | A034926 |
3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ... |
Hiperhiányosság
szerkesztésA hipertökéletes számok kapcsán bevezethető új matematikai fogalom a hiperhiányosság (hyperdeficiency).
Definíció (Minoli 2010): Bármely pozitív egész n-re és egész k-ra, az n szám k-hiperhiányossága (vagy egyszerűen hiperhiányossága):
δk(n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n)
Egy n szám akkor k-hiperhiányos, ha δk(n) > 0.
Vegyük észre, hogy k=1-re δ1(n)= 2n–σ(n), ami éppen a hiányosság hagyományos definíciója.
Lemma: Egy n szám akkor és csak akkor k-hipertökéletes (beleértve a k=1 esetet), ha n k-hiperhiányossága, azaz δk(n) = 0.
Lemma: Egy n szám akkor és csak akkor k-hipertökéletes (beleértve a k=1 esetet), ha valamely k-ra δk-j(n) = -δk+j(n) legalább egy j > 0 esetben.
Jegyzetek
szerkesztés- Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag, 114. o. (2006). ISBN 1-4020-4215-9
Irodalom
szerkesztésCikkek
szerkesztés- Minoli, Daniel & Bear, Robert (Fall 1975), "Hyperperfect numbers", Pi Mu Epsilon Journal 6 (3): 153–157.
- Minoli, Daniel (Dec 1978), "Sufficient forms for generalized perfect numbers", Annales de la Faculté des Sciences UNAZA 4 (2): 277–302.
- Minoli, Daniel (Feb 1981), "Structural issues for hyperperfect numbers", Fibonacci Quarterly 19 (1): 6–14.
- Minoli, Daniel (April 1980), "Issues in non-linear hyperperfect numbers", Mathematics of Computation 34 (150): 639–645, DOI 10.2307/2006107.
- Minoli, Daniel (October 1980), "New results for hyperperfect numbers", Abstracts of the American Mathematical Society 1 (6): 561.
- Minoli, Daniel & Nakamine, W. (1980), "Mersenne numbers rooted on 3 for number theoretic transforms", International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing.
- McCranie, Judson S. (2000), "A study of hyperperfect numbers", Journal of Integer Sequences 3, <http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html>. Hozzáférés ideje: 2004-05-24 Archiválva 2004. április 5-i dátummal a Wayback Machine-ben.
- te Riele, Herman J.J. (1981), "Hyperperfect numbers with three different prime factors", Math. Comp. 36: 297–298, DOI 10.1090/s0025-5718-1981-0595066-9.
- te Riele, Herman J.J. (1984), "Rules for constructing hyperperfect numbers", Fibonacci Q. 22: 50-60.
Könyvek
szerkesztés- Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (p. 114-134)