Számlálómérték

A számlálómérték a matematikai mértékek egyike. Általában véges halmazokon szokás értelmezni, ilyen módon a halmazfüggvények bevezető tárgyalására is alkalmas.

Definíció

Legyen $X$ mérhető véges halmaz, és $\Sigma$ egy σ-algebra a részhalmazaiból. Ekkor a számlálómérték értelmezése:

\mu :\Sigma \to \mathbb {R} ,\,S\mapsto |S|.

A definíció természetesen terjeszthető ki nem véges halmazokra is a valós számok kibővített halmazán.^[1] Ekkor $X$ -től elegendő a mérhetőséget megkövetelni. A számlálómérték definíciója ekkor:

\mu :\Sigma \to \mathbb {R} _{b},S\mapsto {\begin{cases}|S|,&{\text{ha }}S{\text{ véges}}\\\infty ,&{\text{egyébként}}\end{cases}}

Példák

Az egész számok halmazán értelmezhetjük a részhalmazok elemszámát. Ez számlálómérték lesz a definíció szerint.
A rácssokszögek esetén számlálómérték a sokszög belsejében és határán található rácspontok számát megadó függvény.^[2]

Jegyzetek

↑ Azaz a valós számokhoz hozzáveszünk két szimbólumot, amiket pozitív és negatív végtelennek nevezünk.
↑ Ebből pedig a sokszög területe is kiszámítható, tehát átvezet a területmérés problémakörébe, ami a mértékelmélet alapját jelenti.

Források

Halmos Pál: Mértékelmélet (reprint), TypoTeX kiadó, 2010, ISBN 978-963-2791-43-2
Kristóf János: Az analízis elemei (egyetemi jegyzet)
Vancsó Ödön, Gerő László: Matematika, Akadémiai kiadó, 2012, ISBN 9789630584883
Egy rövidke írás a PlanetMath oldalon

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[1] Azaz a valós számokhoz hozzáveszünk két szimbólumot, amiket pozitív és negatív végtelennek nevezünk.

[2] Ebből pedig a sokszög területe is kiszámítható, tehát átvezet a területmérés problémakörébe, ami a mértékelmélet alapját jelenti.

[1]

[2]