Vektormező

A vektoranalízisben és a differenciálgeometriában a vektormező egy olyan függvény, ami egy tér vagy egy térrész pontjaihoz vektort rendel. A fizikában a mezőelméletben fontosak, például egy áramló folyadék részecskéinek sebességét, vagy egy erőtér pontjaiban az adott pontban fellépő erő nagyságát és irányát adja meg, például a mágneses vagy a gravitációs mezőben. Euklideszi téren és sokaságokon is értelmezhető.

Vektormező ábrázolása. Az egyes pontokhoz hozzárendelt értékeket nyilak szemléltetik

A (-y,z,x) háromdimenziós vektormező

Az euklideszi téren

Az $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ halmazon értelmezett $v$ vektormező egy olyan leképezés, ami minden $x\in \Omega$ ponthoz egy $v(x)\in \mathbb {R} ^{n}$ vektort rendel, vagyis $v\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$. Ha $v$ k-szor differenciálható, akkor a vektormező $C^{k}$-vektormező. A vektormezőket szemléltető ábrákon néhány $x\in \Omega$ pontban nyíllal jelölik a vektormező értékét, amely nyíl nagysága és iránya megegyezik a vektormező által az adott pontban felvett vektorral.

Példák

• Középpontos vektormezők: Legyen $I$ intervallum, ami tartalmazza a nullát, és $K(I)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\in I\}\subset \mathbb {R} ^{n}$ gömbhéj. A középpontos vektormező így definiálható a gömbhéjon:

$v(x)=a(\|x\|)\cdot x$ ha $a:I\rightarrow \mathbb {R}$.

• Az $\mathbb {R} ^{3}\backslash \{0\}$ téren a $v(x)=-{\frac {x}{\|x\|^{3}}}$ gravitációs mező középpontos vektormező.
• További példákat képez a rotáció, mint differenciáloperátor. Ezek az úgynevezett örvénymezők. Ezeknek a mezőknek van egy $\mathbf {A}$ vektorpotenciáljuk, ahol is $\mathbf {v} (\mathbf {r} )=\mathbf {rot\,\,} \mathbf {A}$. Erre példák a fürdőkádban a lefolyónál kialakuló örvények, vagy az áramjárta vezető környezetében kialakuló mágneses tér.
• Gradiensmező, egy skalármező gradiense. Ha $f\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ a skalármező, akkor gradiense

$x\mapsto \operatorname {grad} f(x)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(x)\right)$.

a nabla operátorral:

$\operatorname {grad} f=\nabla f.$

Ha a vektormező gradiensmező, akkor van skalárpotenciálja. A $\operatorname {grad} f\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ vektormező skalárpotenciálja $f\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ . Ekkor a vektormező potenciálos. Gradiensmező a pontforrásból kifelé folyó áramlás, és a ponttöltés körüli elektromos mező.

Felbontási tétel

Egy kétszer folytonosan differenciálható $\mathbf {v} (\mathbf {r} )$ $\mathbb {R} ^{3}$ vektormező forrásmentes, illetve örvénymentes, ha divergenciája illetve rotációja azonosan nulla. Ha még azt is kikötjük, hogy a $\mathbf {v}$ vektormező elég gyorsan tart a nullához a végtelenben, akkor teljesül a felbontási tétel: Minden $\mathbf {v} (\mathbf {r} )$ vektormezőt egyértelműen meghatároznak a forrásai és az örvényei, és felbontható forrás- és örvénymentes vektormezők összegére:

$\mathbf {v} (\mathbf {r} )\equiv \mathbf {-grad_{\mathbf {r} }\,\,} \int _{\mathbb {R} ^{3}\,}\,d^{3}\mathbf {r} '\,{\frac {\mathrm {{div'}\,\,} \mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+\mathbf {rot_{\mathbf {r} }\,\,} \int _{\mathbb {R} ^{3}\,}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\,{\frac {{\mathbf {rot'\,\,} }\mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,.$

Ez megfelel a statikus elektromágneses mező elektromos, illetve mágneses mezőre való felbontásának, ahol is a forrásmentes rész a mágneses, és az örvénymentes rész az elektromos mező. Az is teljesül még, hogy éppen a gradiensmezők örvénymentesek, és éppen az örvénymezők forrásmentesek. Itt $\mathbf {grad\,\,} \phi (\mathbf {r} ):=\nabla \phi \,,$   $\mathrm {div\,\,} \mathbf {v} :=\nabla \cdot \mathbf {v}$ és $\mathbf {rot\,\,} \mathbf {v} :=\nabla \times \mathbf {v}$ az ismert, nabla operátorral kifejezhető differenciáloperátorok.

Sokaságokon

Jelöljön $M$ differenciálható sokaságot. Ekkor a rajta értelmezett vektormezők a $TM$ érintőnyaláb sima szelései.

Pontosabban, ha a $v$ vektormező $C^{k}$-leképezés, akkor $v:M\to TM$ ahol $\pi \circ v=\operatorname {id} _{M}$. Minden $x\in M$ -hez egy $v(x)\in T_{x}M$ vektort rendel. A $\pi$ leképezés a $\pi :TM\rightarrow M$ természetes vetülete, ahol $(p,v)\mapsto p$.

Ez a definíció az euklideszi vektortérbeli vektormezőt általánosítja. Ugyanis $\mathbb {R} ^{n}\cong T_{p}\mathbb {R} ^{n}$ és $T\mathbb {R} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$.

A vektormezőktől eltérően a skalármezők a sokaság minden pontjához egy skalárt rendelnek.

Alkalmazások

A vektor- és az erőtereket a fizikán és a kémián kívül még a technika különböző területein is alkalmazzák: a geodéziában, az elektrotechnikában, a mechanikában, az atomfizikában és az alkalmazott geofizikában.

Források

• Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. javított kiadás. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20389-3.
• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Auflage. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96790-7.
• John M. Lee: Introduction to smooth manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer, New York u. a. 2003, ISBN 0-387-95495-3.