Akar fungsi

Dalam matematika, akar fungsi atau nilai-nilai nol fungsi^[1] adalah nilai x di dalam suatu fungsi yang menghasilkan angka nol (0).^[2] Dalam kata lain:

Grafik fungsi cos(x) pada domain

\scriptstyle {[-2\pi ,2\pi ]}

. x ditandai dengan warna merah. Akar fungsi di dalam grafik ini adalah x=

\scriptstyle {\frac {-3\pi }{2}}

,

\scriptstyle {\frac {-\pi }{2}}

,

\scriptstyle {\frac {\pi }{2}}

dan

\scriptstyle {\frac {3\pi }{2}}

.

f (x) = 0.

Akar dari sebuah polinomial adalah nol dari fungsi polinomial yang sesuai.^[3] Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa setiap sukubanyak yang bukan nol memiliki paling akar riil paling banyak sama dengan derajat sukubanyak tersebut, dan akar kompleks sebanyak derajat sukubanyak tersebut. Contohnya polinomial f berderajat dua yang didefinisikan sebagai ${\textstyle f(x)=x^{2}-5x+6}$ memiliki dua akar, yaitu 2 dan 3, karena:

f(2)=2^{2}-5\cdot 2+6=0\quad \textstyle {\rm {dan}}\quad f(3)=3^{2}-5\cdot 3+6=0.

Untuk mencari akar suatu fungsi polinomial, diperlukan metode aproksimasi (seperti metode Newton). Namun, beberapa fungsi polinomial dengan derajat yang tidak lebih tinggi dari 4 dapat dicari akarnya dengan menggunakan aljabar.

Jika fungsi memetakan bilangan real ke bilangan real, maka akarnya adalah nilai kordinat- $x$ titik perpotongan grafik dengan sumbu-x.

Solusi persamaan

Setiap persamaan dalam variabel $x$ yang tidak diketahui dapat ditulis ulang sebagai

f(x)=0

dengan mengelompokkan kembali semua suku di ruas kiri persamaan. Oleh karena itu, solusi dari persamaan tersebut pastinya merupakan akar dari fungsi $f$ . Dengan kata lain, "akar fungsi" tepatnya adalah "solusi persamaan yang diperoleh dengan menyamakan fungsi dengan 0", dan kajian tentang fungsi nol pastinya sama dengan kajian solusi persamaan.

Akar polinomial

Setiap polinomial real dengan derajat ganjil memiliki jumlah akar real yang ganjil (menghitung multiplisitas). Demikian pula, polinomial real dengan derajat genap harus memiliki jumlah akar real yang genap. Akibatnya, polinomial real dengan derajat ganjil harus memiliki setidaknya satu akar real (karena bilangan bulat ganjil terkecil adalah 1), sedangkan polinomial genap mungkin tidak memilikinya. Prinsip ini dapat dibuktikan dengan mengacu pada teorema nilai tengah: karena fungsi polinomial adalah kontinu, nilai fungsi harus melewati nol, dalam proses perubahan dari negatif ke positif atau sebaliknya (yang selalu terjadi untuk fungsi ganjil).

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa setiap polinomial derajat $n$ memiliki $n$ akar kompleks, dihitung dengan kelipatannya. Akar yang tidak real dari polinomial dengan koefisien real berasal dari pasangan konjugasi.^[2] Rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah dan hasil kali akarnya.

Himpunan akar

Dalam berbagai bidang matematika, himpunan akar suatu fungsi adalah himpunan dari semua akar fungsinya. Lebih akurat lagi, jika $f:X\to \mathbb {R}$ adalah fungsi bernilai real (atau lebih umumnya fungsi yang mengambil nilai di suatu grup aditif), himpunan akarnya adalah $f^{-1}(0)$ , peta invers dari $\{0\}$ di $X$ .

Co-zero set dari suatu fungsi $f\colon X\to \mathbb {R}$ adalah komplemen dari himpunan akar $f$ (seperti subhimpunan dari $X$ yang nilai $f$ tak nol).

Aplikasi

Dalam geometri aljabar, definisi pertama dari varietas aljabar adalah melalui himpunan akar. Secara khusus, suatu himpunan aljabar afin adalah irisan dari himpunan akar dari beberapa polinomial, dalam gelanggang polinomial $k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]$ atas lapangan. Dalam konteks ini, himpunan akar terkadang disebut zero locus.

Dalam analisis dan geometri, setiap himpunan tertutup dari $\mathbb {R} ^{n}$ adalah himpunan akar dari suatu fungsi mulus yang didefinisikan pada semua $\mathbb {R} ^{n}$ . Himpunna ini meluas ke setiap manifold halus sebagai korolari dari parakompak.

Dalam geometri diferensial, himpunan akar sering digunakan untuk menentukan manifold. Kasus khusus terpenting adalah bahwa $f$ adalah fungsi mulus dari $\mathbb {R} ^{p}$ ke $\mathbb {R} ^{n}$ . Jika akarnya adalah nilai reguler dari $f$ , maka himpunan akar dari $f$ adalah manifold mulus berdimensi $m=p-n$ menurut teorema nilai reguler.