Isomorfisme

Dalam matematika, isomorfisme adalah pemetaan pelestarian struktur antara dua struktur dengan tipe yang sama yang dapat dibalik dengan pemetaan invers. Dua struktur matematika adalah isomorfik jika ada isomorfisme di antara keduanya. Kata isomorfisme berasal dari Yunani Kuno: ἴσος isos "sama", dan μορφή morphe "form" atau "shape".

The group of fifth roots of unity under multiplication is isomorphic to the group of rotations of the regular pentagon under composition.

Ketertarikan pada isomorfisme terletak pada kenyataan bahwa dua objek isomorfik memiliki properti yang sama (tidak termasuk informasi lebih lanjut seperti struktur tambahan atau nama objek). Dengan demikian struktur isomorfik tidak dapat dibedakan dari sudut pandang struktur saja, dan dapat diidentifikasi. Dalam jargon matematika, seseorang mengatakan bahwa dua objek adalah sama hingga sebuah isomorfisme .

Sebuah automorphism adalah isomorfisme dari suatu struktur ke dirinya sendiri. Isomorfisme antara dua struktur disebut isomorfisme kanonik jika hanya ada satu isomorfisme di antara dua struktur (seperti kasus solusi dari sifat universal), atau jika isomorfisme jauh lebih alami (dalam arti tertentu) daripada isomorfisme lainnya. Misalnya, untuk setiap bilangan prima $p$ , semua bidang dengan elemen $p$ kanonis isomorfik, dengan isomorfisme unik. Teorema isomorfisme memberikan isomorfisme kanonik yang tidak unik.

Istilah isomorfisme terutama digunakan untuk struktur aljabar. Dalam hal ini, pemetaan disebut homomorphism, dan homomorphism adalah isomorphism jika dan hanya jika itu bijektif.

Dalam berbagai bidang matematika, isomorfisme telah menerima nama khusus, bergantung pada jenis struktur yang dipertimbangkan. Sebagai contoh:

Sebuah isometri adalah isomorfisme dari ruang metrik.
A homeomorphism adalah isomorfisme dari ruang topologi.
A diffeomorphism adalah isomorfisma ruang yang dilengkapi dengan struktur diferensial, biasanya manifold terdiferensiasi.
A permutasi adalah automorfisme dari himpunan.
Dalam geometri, isomorfisme dan automorfisme sering disebut transformasi, misalnya transformasi kaku, transformasi affin, transformasi proyektif.

Category theory, yang dapat dilihat sebagai formalisasi konsep pemetaan antar struktur, menyediakan bahasa yang dapat digunakan untuk menyatukan pendekatan pada aspek-aspek berbeda dari ide dasar.

Logaritma dan eksponensial

Maka $\mathbb {R} ^{+}$ jadilah grup perkalian dari bilangan riil positif, dan jika $\mathbb {R}$ menjadi grup aditif dari bilangan real.

Fungsi logaritma $\log \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ memadai $\log(xy)=\log x+\log y$ for all $x,y\in \mathbb {R} ^{+}$ , jadi ini adalah homomorfisme kelompok. Fungsi eksponensial $\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ satisfies $\exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)$ for all $x,y\in \mathbb {R}$ , jadi itu merupakan homomorfisme.

Identitas $\log \exp x=x$ dan $\exp \log y=y$ menunjukkan bahwa $\log$ dan $\exp$ adalah inverses satu sama lain. Karena $\log$ adalah homomorfisme yang memiliki kebalikan yang juga merupakan homomorfisme, $\log$ adalah grup isomorfisme.

$\log$ fungsi adalah isomorfisme yang menerjemahkan perkalian bilangan real positif menjadi penjumlahan bilangan real. Fasilitas ini memungkinkan untuk mengalikan bilangan real menggunakan penggaris dan tabel logaritma, atau menggunakan mistar hitung dengan skala logaritma.

Bilangan bulat modulo 6

Pertimbangkan grup $(\mathbb {Z} _{6},+)$ , bilangan bulat dari 0 sampai 5 dengan penambahan modulo 6. Juga pertimbangkan grup $(\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3},+)$ , pasangan terurut di mana koordinat x bisa 0 atau 1, dan koordinat y bisa 0, 1, atau 2, di mana penambahan pada koordinat x - adalah modulo 2 dan penambahan di y - koordinatnya adalah modulo

Struktur-struktur ini adalah isomorfik di bawah skema berikut:

(0,0) ↦ 0

(1,1) ↦ 1

(0,2) ↦ 2

(1,0) ↦ 3

(0,1) ↦ 4

(1,2) ↦ 5

atau secara umum (a,b) ↦ (3a + 4b) mod 6.

Sebagai contoh, (1,1) + (1,0) = (0,1), yang diterjemahkan dalam sistem lain sebagai 1 + 3 = 4.

Meskipun kedua kelompok ini "terlihat" berbeda karena himpunannya mengandung elemen yang berbeda, mereka memang isomorfik: strukturnya persis sama. Secara lebih umum, produk langsung dari dua grup siklik $\mathbb {Z} _{m}$ dan $\mathbb {Z} _{n}$ isomorfik menjadi $(\mathbb {Z} _{mn},+)$ jika dan hanya jika m dan n adalah coprime, sesuai Teorema sisa bahasa Tionghoa.

Isomorfisme yang memelihara relasi

Jika satu objek terdiri dari himpunan X dengan relasi biner R dan objek lainnya terdiri dari himpunan Y dengan relasi biner S maka isomorfisme dari X menjadi ' 'Y' 'adalah fungsi bijektif ƒ: X → Y seperti:^[1]

\operatorname {S} (f(u),f(v))\iff \operatorname {R} (u,v)

S adalah refleksif, tidak refleksif, simetris, antisimetrik, asimetris, transitif, total, trikotomi, order sebagian, order total, urutan benar, urutan lemah ketat, total praorder (order lemah), an equivalence relation, atau hubungan dengan properti khusus lainnya, jika dan hanya jika R adalah.

Misalnya, R adalah pemesanan ≤ dan S adalah order $\scriptstyle \sqsubseteq$ , maka isomorfisme dari X menjadi Y adalah fungsi bijektif ƒ: X → Y seperti