Unsur identitas
Dalam matematika, unsur identitas (bahasa Inggris: identity element), atau unsur netral (bahasa Inggris: neutral element) dari operasi biner yang mengoperasi di himpunan adalah unsur hmpunan yang meninggalkan setiap elemen dari himpunan yang tidak berubah saat diterapkan dengannya.[1][2] Konsep ini digunakan dalam struktur aljabar seperti grup dan gelanggang. Istilah unsur identitas sering disingkat menjadi identitas (seperti pada kasus identitas penambahan dan identitas perkalian), ketika tidak ada kemungkinan yang membingungkan, namun secara implisit, identitas bergantung pada operasi biner yang terkait dengannya.
Definisi
suntingMisalkan ( S , ∗) adalah himpunan S yang dilengkapi dengan operasi biner ∗. Maka unsur e dari S disebut identitas kiri jika e ∗ a = a untuk semua a di S, dan unsur e dari S disebut identitas kanan jika a ∗ e = a untuk semua a di S.[3] Jika e adalah identitas kiri dan juga identitas kanan, maka e disebut identitas dwipihak (bahasa Inggris: two-sided identity), atau cukup disebut identitas.[4][5][6][7][8]
Identitas terhadap penjumlahan disebut identitas aditif (seringkali dilambangkan sebagai 0) dan identitas terhadap perkalian disebut identitas perkalian (seringkali dilambangkan sebagai 1). Kedua identitas tersebut tidak harus berupa penjumlahan dan perkalian biasa, karena operasi yang mendasarinya dapat menjadi agak sembarangan. Pada kasus, sebagai contoh, di grup, unsur identitas terkadang dilambangkan dengan simbol . Perbedaan antara identitas aditif dan perkalian paling sering digunakan untuk himpunan yang mendukung kedua operasi biner, seperti gelanggang, domain integral, and lapangan. Identitas multiplikatif sering disebut kesatuan dalam konteks terakhir (gelanggang dengan persatuan).[9][10][11] Hal ini tidak boleh disamakan dengan unit dalam teori gelanggang, yang merupakan setiap unsur yang memiliki invers perkalian. Karena menurut definisinya sendiri, kesatuannya tersendiri merupakan satu kesatuan.[12][13]
Contoh
sunting| Himpunan | Operasi | Identitas |
|---|---|---|
| Bilangan real | + (penambahan) | 0 |
| Bilangan real | · (perkalian) | 1 |
| Bilangan bulat positif | kelipatan persekutuan terkecil | 1 |
| Bilangan bulat taknegatif | faktor persekutuan terbesar | 0 (terhadap sebagian besar definisi faktor persekutuan terbesar) |
| Matriks | penambahan matriks | |
| Matriks persegi | perkalian matriks | In (matriks identitas) |
| Matriks | ○ (hasil kali Hadamard) | Jm, n (matriks satuan) |
| Semua fungsi dari himpunan, M, ke dirinya. | ∘ (komposisi fungsi) | fungsi identitas |
| Semua distribusi di grup, G | ∗ (konvolusi) | δ (Dirac delta) |
| Bilangan real diperluas | Minimum/infimum | +∞ |
| Bilangan real diperluas | Maksimum/supremum | −∞ |
| Subhimpunan dari himpunan M | ∩ (irisan) | M |
| Himpunan | ∪ (union) | ∅ (himpunan kosong) |
| String, daftar | Konkatenansi | string kosong, daftar kosong |
| Aljabar Boole | ∧ (logika dan) | ⊤ (kebenaran) |
| Aljabar Boole | ∨ (logika atau) | ⊥ (kepalsuan) |
| Aljabar Boole | ⊕ (disjungsi eksklusif) | ⊥ (kepalsuan) |
| Buhul | jumlah buhul | takbuhul |
| Permukaan kompak | # (jumlah terhubung) | S2 |
| Grup | darab langsung | grup trivial |
| Dua anggota{e, f} | ∗ didefinisikan dengan e ∗ e = f ∗ e = e dan f ∗ f = e ∗ f = f |
e dan f adalah identitas kiri. Namun pada operasi tersebut, tidak ada identitas kanan dan tidak ada identitas dwipihak. |
| Relasi homogen di himpunan | darab relatif | relasi identitas |
Properti
suntingPada contoh S = {e, f}, dengan persamaan yang dinyatakan (lihat tabel sebelumnya), S merupakan semigrup. Contoh tersebut memperlihatkan kemungkinan untuk ( S , ∗) yang mempunyai beberapa identitas kiri. Bahkan, setiap elemen bisa dapat identitas kiri. Dengan cara yang sama, kemungkinan untuk ( S , ∗) yang juga mempunyai beberapa identitas kanan. Namun, jika ada identitas kanan dan identitas kiri, maka kedua identitas tersebut harus ekuivalen, yang menghasilkan identitas dwipihak.
Untuk memperlihatkannya, perhatikan bahwa jika l adalah identitas kiri dan r adalah identitas kanan, maka l = l ∗ r = r. Secara khusus, persamaan tersebut tidak akan pernah ada lebih dari satu identitas dwipihak: jika ada dua unsur, katakanlah e dan f, maka e ∗ f harus sama dengan e dan f.
Hal ini mungkin juga ( S , ∗) tidak mempunyai elemen identitas,[14] seperti kasus bilangan bulat genap terhadap operasi perkalian.[15] Contoh umum lainnya adalah perkalian silang dari vektor, dengan ketiadaan elemen identitas terkait dengan fakta bahwa arah dari setiap perkalian silang taknol selalu ortogonal terhadap setiap unsur yang dikalikan. Artinya, perkalian tersebut tidak dapat memperoleh vektor taknol searah dengan aslinya. Namun, contoh lain dari grup tanpa unsur identitas melibatkan semigrup aditif dari bilangan asli positif.
Catatan dan referensi
sunting- ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Identity". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2019-08-01. Diakses tanggal 2019-12-01.
- ^ Weisstein, Eric W. "Identity Element". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-12-01.
- ^ (Fraleigh 1976, hlm. 21)
- ^ (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 96)
- ^ (Fraleigh 1976, hlm. 18)
- ^ (Herstein 1964, hlm. 26)
- ^ (McCoy 1973, hlm. 17)
- ^ "Identity Element | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-12-01.
- ^ (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 135)
- ^ (Fraleigh 1976, hlm. 198)
- ^ (McCoy 1973, hlm. 22)
- ^ (Fraleigh 1976, hlm. 198,266)
- ^ (Herstein 1964, hlm. 106)
- ^ (McCoy 1973, hlm. 22)
- ^ "Identity Element". www.encyclopedia.com. Diakses tanggal 2019-12-01.
Daftar pustaka
sunting- Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields
, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X - Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (edisi ke-2nd), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
- Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
- McCoy, Neal H. (1973), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225
Bacaan lebih lanjut
sunting- M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 14–15