Rasio

hasil bagi dari dua bilangan atau kuantitas yang sejenis

Dalam matematika, rasio (bahasa Inggris: Ratio), nisbah atau perbandingan menyatakan berapa kali suatu bilangan termuat pada bilangan lainnya. Sebagai contoh, jika terdapat sembilan jeruk dan enam semangka, maka rasio dari jeruk dengan semangka ialah sembilan banding enam (ditulis , yang setara dengan rasio ). Dengan cara serupa, maka rasio dari semangka dengan jeruk ialah (atau ) dan rasio antara jeruk dan banyaknya buah ialah (atau ).

Rasio antara lebar dengan tinggi dari televisi definisi standar

Bilangan pada suatu rasio dapat menyatakan kuantitas apa pun, seperti banyaknya orang atau objek, atau bahkan ukuran panjang, berat, waktu, dll. Dalam banyak kasus, kedua bilangan dibatasi bernilai positif.

Rasio dapat dinyatakan dengan memberikan kedua bilangan pembentuknya, yang ditulis , atau dengan memberikan nilai hasil baginya, yaitu .[1][2][3] Hasil bagi yang bernilai sama berpadanan dengan rasio yang sama. Suatu pernyataan yang mengekspresikan kesamaan dua rasio disebut sebagai proporsi.

Akibatnya, rasio dapat dipandang sebagai pasangan bilangan yang terurut, suatu pecahan yang bilangan pertamanya ialah pembilang dan yang kedua ialah penyebut. Rasio perhitungan, yang diberikan oleh bilangan asli (tak nol), adalah bilangan rasional, dan mungkin saja merupakan bilangan asli.

Notasi dan terminologi

sunting

Rasio dari bilangan   dan   dapat dinyatakan sebagai:[4]

  • Rasio antara   dengan  
  •  
  •   terhadap   (saat diikuti dengan "sama seperti   terhadap   "; lihat di bawah)
  • Suatu pecahan dengan   sebagai pembilang dan   sebagai penyebut (atau dengan kata lain,   dibagi  , atau  ). Hal ini dapat dinyatakan sebagai pecahan sederhana, desimal, atau sebagai persentase, dll.[5]

Ketika rasio ditulis dalam bentuk  , simbol dua titik diantara   dan   terkadang merupakan tanda titik dua.[6] Dalam Unicode, simbol ini ialah U+003A : colon, walau Unicode juga menyediakan simbol yang dikhususkan untuk menyatakan rasio, yaitu U+2236 ratio.[7]

Suatu pernyataan yang mengekspresikan persamaan dua rasio   dan   disebut sebagai proporsi,[8] yang ditulis sebagai  . Saat kesamaan rasio ini diucapkan secara lisan, seringkali hal ini dinyatakan sebagai

(  terhadap  ) sama seperti (  terhadap  )

Rasio terkadang digunakan dengan tiga suku atau lebih. Sebagai contoh, proporsi campuran yang bagus (dalam satuan volume) untuk fondasi beton ialah  

Untuk campuran (kering)   bagian pada volume semen dengan air, maka dapat dikatakan bahwa rasio semen dan air ialah  , yaitu terdapat 4 kali lipat semen dibandingkan air, atau banyaknya air ialah seperempat (1/4) dari banyaknya semen.

Banyaknya suku dan hubungannya dengan pecahan

sunting

Secara umum, perbandingan kuantitas dari rasio dua entitas dapat dinyatakan sebagai suatu pecahan yang diperoleh dari rasio yang diberikan. Sebagai contoh, jika rasionya ialah  , maka ukuran, volume, atau banyaknya kuantitas dari entitas pertama ialah   kalinya entitas kedua.

Jika terdapat 2 nanas dan 3 mangga, rasio nanas dengan mangga ialah  , dan rasio pisang dengan jumlah keseluruhan buah ialah  . Rasio-rasio ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan: terdapat   banyaknya nanas dari banyaknya mangga, dan   dari banyaknya buah yang ada merupakan buah nanas. Jika konsentrat jus nanas diencerkan dengan air dengan rasio  , maka satu bagian konsentrat dicampur dengan empat bagian air, sehingga menghasilkan lima bagian; jumlah konsentrat jus nanas adalah   dari jumlah air, sedangkan jumlah konsentrat jus nanas adalah   dari total cairan. Baik rasio maupun pecahan, penting untuk menperjelas entitas apa yang sedang dibandingkan, sehingga kesalahpahaman dapat dihindari.

Pecahan juga dapat disimpulkan dari rasio dengan lebih dari dua entitas; akan tetapi, rasio dengan lebih dari dua pecahan tidak dapat secara utuh diubah menjadi satu pecahan, sebab pecahan hanya dapat membandingkan dua kuantitas. Pecahan berbeda dapat digunakan untuk membandingkan kuantitas dari dua entitas yang tercakup dalam rasio yang diberikan. Sebagai contoh, dari rasio  , maka dapat disimpulkan bahwa kuantitas entitas kedua adalah   dari kuantitas entitas ketiga.

Proporsi dan persentase rasio

sunting

Jika semua kuantitas yang terlibat pada suatu rasio dikalikan dengan bilangan yang sama, maka rasionya tidak berubah. Sebagai contoh, rasio   sama dengan  . Seringkali rasionya disederhanakan menjadi penyebut persekutuan terkecil, atau menyatakan rasionya menjadi persentase.

Jika suatu campuran mengandung zat  ,  ,  ,   dengan rasio  , maka untuk setiap   bagian dari  , terdapat   bagian dari  ,   bagian dari  , dan   bagian dari  . Oleh karena  , maka campurannya mengandung   zat   (  bagian dari  ),   zat  ,   zat  , dan   zat  . Jika semua zat yang terlibat dibagi dengan total zat pada campuran, lalu dikalikan dengan  , maka pecahannya berubah menjadi persentase:  ,  ,  , dan   (yang setara dengan menulis rasionya sebagai  ).

Jika dua (atau lebih) kuantitas mencakup seluruh kuantitas pada suatu situasi, maka jumlah seluruh bagian-bagiannya disebut sebagai "keseluruhan". Sebagai contoh, suatu keranjang buah berisi dua apel dan tiga jeruk. Jika tidak ada buah lain pada keranjang tersebut, maka keranjangnya terdiri dari dua bagian apel dan tiga bagian jeruk. Pada kasus ini,   atau   keseluruhan merupakan buah apel, dan   atau   keseluruhan merupakan buah jeruk. Perbandingan antara kuantitas spesifik dengan "keseluruhan" semacam ini dikenal sebagai proporsi.

Jika rasionya hanya terdiri dari duaa nilai, maka rasionya dapat dinyatakan sebagai pecahan, termasuk pecahan desimal. Sebagai contoh, televisi lawas memiliki rasio aspek  , yang berarti lebar televisinya ialah   dari tinggi televisinya (rasionya juga dapat dinyatakan sebagai   atau  , apabila dibulatkan dua angka di belakang koma). TV layar lebar yang lebih mutakhir memiliki rasio aspek  , atau   apabila dibulatkan dua angka di belakang koma. Salah satu rasio yang populer untuk film layar lebar ialah  , atau   saja. Dengan menyatakan rasio sebagai pecahan desimal, maka membandingkan dua rasio berbeda akan jauh lebih sederhana. Saat membandingkan nilai  ,  , dan  , terlihat jelas format mana yang menawarkan gambar yang lebih lebar. Perbandingan semacam ini hanya dapat bekerja ketika nilai yang dibandingkan bersifat konsisten, seperti selalu menyatakan lebar sebagai kelipatan dari tinggi.

Penyederhanaan rasio

sunting

Rasio dapat disederhanakan (sama seperti pecahan) dengan membagi setiap kuantitas dengan faktor persekutuan dari semua kuantitas. Sebagai contoh, makna rasio   akan setara dengan rasio  , yang dapat diperoleh dengan membagi kedua kuantitas dengan  . Secara matematis, hal ini dapat dituliskan  . Kalimat verbal yang setara ialah "40 terhadap 60 sama seperti 2 terhadap 3".

Rasio yang menggunakan bilangan bulat untuk kedua kuantitasnya dan tidak dapat disederhanakan lagi (menggunakan bilangan bulat) disebut sebagai bentuk paling sederhana. Secara matematis, rasio   (atau dalam bentuk pecahan,  ) dikatakan memiliki bentuk paling sederhana jika   dan   saling prima, yaitu  .

Rasio yang irasional

sunting

Rasio juga dapat dibuat antara kuantitas yang inkomensurabel, yaitu kuantitas yang rasionya, saat dinyatakan sebagai pecahan, merupakan bilangan irasional. Contoh paling awal yang ditemukan, ditemukan oleh Pythagoreanisme, ialah rasio antara panjang diagonal   dengan panjang sisi   dari suatu persegi, yaitu akar kuadrat dari 2. Secara simbolis, maka  . Contoh lainnya ialah rasio antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang disebut sebagai  , yang tidak hanya bilangan irasional, namun juga merupakan bilangan transenden.

Contoh lain yang cukup terkenal ialah rasio emas antara dua panjang   dan   yang memenuhi proporsi berikut:   Jika didefinisikan  , maka nilai   adalah penyelesaian dari persamaan   yang memiliki penyelesaian positif irasional   Akibatnya, setidaknya salah satu dari   atau   merupakan bilangan irasional, agar nilai   menjadi rasio emas. Contoh dari kemunculan rasio emas dalam matematika ialah nilai limit dari barisan rasio dua bilangan Fibonacci berurutan: walaupun semua suku barisannya merupakan rasio dari dua bilangan bulat (yang nilainya rasional), nilai limit dari barisan rasio yang rasional ini ialah rasio emas yang irasional.

Serupa seperti sebelumnya, rasio perak dari   dan   didefinisikan sebagai proporsi   yang berpadanan dengan persamaan  . Persamaan ini memiliki penyelesaian irasional positif  , sehingga setidaknya salah satu dari   atau   pada rasio perak haruslah bernilai irasional.

Gasal (seperti dalam perjudian) dinyatakan sebagai suatu rasio. Misalnya, gasal "  lawan  " ( ) berarti peluang terjadinya suatu kejadian ialah   kalinya peluang tidak terjadinya kejadian tersebut. Dengan kata lain, peluang suksesnya ialah  . Dalam setiap sepuluh percobaan, maka diharapkan terjadi tiga kemenangan dan tujuh kekalahan.

Satuan

sunting

Rasio mungkin saja tidak memiliki satuan, seperti pada kasus saat rasio digunakan untuk membandingkan kuantitas dengan satuan yang berdimensi sama, namun satuannya berbeda. Sebagai contoh, rasio satu menit : 40 detik dapat disederhanakan dengan mengganti nilai pertama menjadi 60 detik, sehingga rasionya menjadi 60 detik : 40 detik. Setelah satuannya sama, maka satuannya dapat dihilangkan, dan rasionya dapat disederhanakan menjadi  .

Di sisi lain, terdapat hasil bagi dengan satuan tertentu, yang dikenal sebagai laju.[9][10] Dalam kimia, rasio konsentrasi massa biasanya dinyatakan sebagai pecahan massa per volume. Sebagai contoh, konsentrasi   biasanya diartikan sebagai   zat dalam setiap   larutan. Rasio ini tidak dapat diubah ke rasio tanpa dimensi, seperti massa per massa atau volume per volume.

Lihat juga

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ New International Encyclopedia
  2. ^ "Ratios" [Rasio]. www.mathsisfun.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-22. 
  3. ^ Stapel, Elizabeth. "Ratios" [Rasio]. Purplemath (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-22. 
  4. ^ New International Encyclopedia
  5. ^ Pecahan desimal sering digunakan dalam ranah teknologi dimana perbandingan rasio adalah hal penting, seperti rasio aspek (gambar), rasio kompresi (mesin atau penyimpanan data), dsb.
  6. ^ Weisstein, Eric W. (2022-11-04). "Colon" [Titik dua]. MathWorld (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2022-11-26. 
  7. ^ "ASCII Punctuation" [Tanda baca ASCII] (PDF). The Unicode Standard, Version 15.0 (dalam bahasa Inggris). Unicode, Inc. 2022. Diakses tanggal 2022-11-26. [003A is] also used to denote division or scale; for that mathematical use 2236 ∶ is preferred 
  8. ^ Heath, p. 126
  9. ^ David Ben-Chaim; Yaffa Keret; Bat-Sheva Ilany (2012). Ratio and Proportion: Research and Teaching in Mathematics Teachers (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 9789460917844. "Velocity" can be defined as the ratio... "Population density" is the ratio... "Gasoline consumption" is measure as the ratio... 
  10. ^ David Ben-Chaim; Yaffa Keret; Bat-Sheva Ilany (2012). Ratio and Proportion: Research and Teaching in Mathematics Teachers (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 29. ISBN 9789460917844. Ratio as a Rate. The first type [of ratio] defined by Freudenthal, above, is known as rate, and illustrates a comparison between two variables with difference units. (...) A ratio of this sort produces a unique, new concept with its own entity, and this new concept is usually not considered a ratio, per se, but a rate or density. 

Bacaan lanjutan

sunting

Pranala luar

sunting
  NODES
INTERN 3
Note 1